Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 9
Текст из файла (страница 9)
А. Егоровым [1, 2~. Что касается траекторий полета к планетам, то в большинстве первых исследований в основном использовался более простой модифицированный метод сфер влияния (см. ниже, раздел 1.1.5). Как показали многочисленные расчеты траекторий полета КА к Луне и планетам, МСВ обеспечивает вполне приемлемую точность на этапе общего анализа и предварительного выбора траекторий н параметров. Особенно эффективным и точным МСВ оказался при расчете траекторий полета к планетам вследствие малости размеров сфер влияния планет по сравнению с их расстоянием от Солнца. Наряду с отмеченными достоинствами следует указать, что использование МСВ при решении краевых задач астродкнамики встречает определенные трудности. В самом деле, применение МСВ сводит решение краевой задачи к решению, вообще говоря, достаточно сложных систем конечных трансцендентных уравнений, что, как правило, может быть сделано численно с помощью ЗЦВМ.
При этом МСВ позволяет использовать конечные связи между параметрами траектории в характерных точках, например начальной, конечной и промежуточной точке на сфере влиянии, в то время как прн использовании «точных» методов эти связи получаются в результате численного интегрирования уравнений движения. Поэтому в тех случаях, когда с помощью МСВ не удается в явном видо аналитически полностью или частично решить "Раевую задачу, 51СВ принципиально не отличается от «точных» методов решения краевых задач на ЭЦВМ, хотя н приводит к су'цествеппой экономия машинного времени. Отметим, что последнее обстоятельство па практике зачасту«о оказывается решающим.
Вернемся теперь и оценке метода сращивания аснмптотичоски ""х разложений. Прпводя к тем же трудностям при решении краевых задач, что и МСВ (метод сращивания кеплеровых траекторий), он в то же время не обладает рядом важных достоинств последнего. Практика решения задач астродинамики подтвердила возможность использовапия МСВ и его упрощенных вариантов для получения исходных приближений, от которых непосредственно можно переходить к «точному» решению краевых задач. Все сказанное привело к сравнительно малому использованию метода сращивания асимптотических разложений в астродинамике. 1Л.5.
Модифицированный метод сфер влияния — ММСВ. До- пустим, что в (1.1.53) -~) ' (1.1.75) Рассмотрим семейство кеплеровых траекторий а, 5, 7, б, ... в поле планеты Рь начинающихся в некоторой точке г; ка расстоянии порядка»« = )㻠— г,! от плапеты Рз и заканчивающихся внутри и на сфере влияния планеты Р«в точках р» (рис. 1.1.4). Ркс. П1.4.
Здесь г; — радиус-векторточки отпосительпоцептра планеты Рс а р, — радиус-вектор точки относительно центра планеты Р». Траектории семейства дчя )р,) ( р «строятся без учета прпгнжепкз планеты Рз. Для однозначного определения каждой иэ ннх пеооходимо задать одно скалярное условие, например время движения, которое будем считать одним н тем же для всех траекторий семейства.
В этом случае параметры траекторий семейства з. всех точках, характеризующихся одной и той же величиной дуги, отсчитываемой вдоль траектории от точки г; до рассматриваемой точки на траектории, будут отличаться на величину порядка Рс»Ю. Сопоставим между собой любую траекторию семейства, окапчивающуюся па сфере влияния планеты Р» нли внутри пее, и траекторию, попадающую в центр планеты Рь Из сказанного выше и иэ (1.1.74) следует, что параметры, характеризующие движение аппарата в конечных точках этих траекторий, различаются 40 пговлкмх синткзь и оптимпзлцпи тглкктогии ~гл» ! и ПРПБЛП!КЕНПЬП! МЕТОДЫ РАСС11ОТРЕНПЯ ТРЛЕ!'ТОРИН 4! на величину порядка р„„!Тг, в частности, (1,1.76) где Ч(О) — значение Ч(р,) прн р1 = О.
Если пренебречь влннпнем члена порядка р,з/В, то вместо семейства можно рассматривать единственную траекторию, попада1ощую в точку р, = О. Очевидно, что зто эквивалентно следующему предположению; (1) при рассмотрении кеплеровых траекторий внешней задачи, оканчивающихся на сфере влияния планеты Рп радиус сферы влияния можно считать равным нулю. Из условии (1.1.77) Ч(р,) = Ч(0) и равенства (1.1.63) следует, что для всех кеплеровых траекторий внутренней задачи, явллющнхся продолжением соответствующих кеплеровых траекторий внешней задачи, вектор скорости КА па сфере влияния один н тот же и равен Ч,я — — Ч (О) — П.
(1 1.78) Поскольку точка па сфере влиянии, в которой сращиваются решения внешней и внутренней задач, не задана, вектор Ч„ь (1.1.78) свободно перемещается параллельно самому себе по сфере. Если считать вектор Ч,ь свободным параметром, то для внутренней задачи приходим к следующей стандартной постановке: (П) при задапномпа сфере влиянняпланеты Рз свободно перемещающемся параллельно самому себе векторе Ч,з требуется построить траекторию КА во внутренней задаче, удовлетзорвюпГую поставленным ограничениям и оптимальную в каком-либо смысле. Примеры такого рода задач рассмотрены в гл.
Х. Здесь же отметим, что для ряда важных задач, таких, как облет планеты, выход на орбиту ИС планеты или посадка на поверхность планетьд можно получить достаточно простые аналитические решения задач или сформулировать простые алгоритмы их численного решения (см. гт, Х, Х1). Таким образом, (П1) решение внутренней задачи с параметром Ч„, полностью или частично проводится независимо от решения внешней задачи. В свою очередь, (1Ч) решсппн внутренней задачи, зависящие от параметра т, используются для решения впешней задачи при заданных "раевых условиях и условии оптимальности; (Ч) после рсшенин внешней задачи паходнтсн окончательно в~втор р,, и определяется траектория внутренней задачи, соот- 42 пговлвнл сзштезл и оптпыизлц!ш тглвктогип ~гл.
з ветствующая поставленной задаче. При заданной величине р,„ па сфере влилння находится (приближенная) точка сращивания кеплеровых траекторий внешней и внутренней задач. Упрощенный вариант метода сфер влияния, осповаппьш на использовании положепий (1) — (Ч), назовем модифиуироеакяььл методом сфер слияния (ММСВ). Прн использовании ММСВ для решения краевых задач оолета Луны и планет две кеплеровы дуги внешней задачи соединяются в центре планеты Рв При этом воздействие гравитационного поля планеты Рз на облетающий ее КЛ заменяется мшзовенным преобразованием вектора скорости аппарата в момент подлета У, в вектор скорости КА в момент отлета Уз (рис.
1.1.5]. ММСВ нашел широкое применение кри решении задач полета к планетам вследствие малости относительных размеров сфер Рис. 1Л.5. влияния планет. Идея применения ММСВ для анализа траекторий КА была высказана впервые, по-видимому, в работах Лоудена 18, 10). Однако в этих работах Лоуден ограничился применением схемы ММСВ для энергетических оценон и анализа возможного изменения вектора скорости КА при облете планеты.
Систематическое применение ММСВ для анализа траекторий межпланетных перелетов началось в 1958 — 1959 гг., в частности, Бэттином 111, Крокко 11), Мекелем '12]. Среди этих работ следует отметить статью Бэттина 1Ц, где была изложена в достаточно полном виде схема синтеза траекторий облета планет в рамках ММСВ. Что касается полетов к Лупе, то, вследствие немазости относительных размеров ее сферы влияния (см, таблицу1.1т1). ММСВ для этих задач практически не примепялся, а сама возможность его применепия подвергалась сомнению (см., например, Бэттин 12), стр.
186). В. А. Егоров 11) указал на возможность пренебрежения гравитационным полем Луны при расчете траекторий попадания в Лупу. Для исследования траекторий облета Луны ММСВ был применен впервые, по-видимому, в работах В. А. Ильлна 13 — 5) (см. з 11.2). ММСВ, обладая достоинствами МСВ, имеет перед последним существенное преимущество: во многих случаях он позволяет З ~ П пигвлнжвнныв мвтоды глссмотгвния тглвктогин 4З получить полное или частичное аналитическое решение краевых задач астродинамнки или записать весьма простые алгоритмы нх решения (см. гл. Х вЂ” ХП).
Отметим, что, как следует из (1)— («), в решение краевой задачи радиус сферы влияния р»» практичесни не входит, поэтому вопрос об оптимальном выборе велнчины р„», нч«еющнй определенное значение в МСВ, здесь оказывается совершенно несущественным. Основным вопросом, связанным с применением ММСВ в астродипамике, является вопрос о его точности. Сравним сначала МСВ и ММСВ для траекторий полета к планетам. Из (1.1.74) и (1.1.65) следует, что (~„)зд (1.1.79) Из (1.1.79) и (1.1.76) следует, что при решении впешпей задачи ошибка, обусловленная заменой «точного» уравнения (1.1.31) уравнением (1.1.38), в )~р,фаей раз меньше «геометрической» ошибки порядка р»/Л в (1.1.76).
Таким образом, при определении условий па сфере влияния из решения впешпей задачи точвость ММСВ определяется «геометрической» ошибкой порядка р,»/Л, обусловленной положением (1). Что касается точности решения внутренней задачи, то здесь, как следует из (1.1.65), (1.1.66) и (1.1.76), ошибка, связанная с заменой «точпого» уравнения (1.1.32) уравнением (1.1.40), в (р»/»») "» раз больше «геометрической» ошибки на сфере влияния порядка р,«/В в (1.1.76).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
