Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пз (1.2.14), иметь в виду вместо нее величину я. Из (1.2.73), то все зги соотношения остаются в силе. Для системы (1.2.70) — (1.2.72) функция Гамильтона имеет вид (см. (1.2.27)) Н = (р, Ч) + (з, л (г, г)) + па — [(Б, е) + рч], (1.2. 4) где р, Б и р,— сопряженные векторы и сопряженная переменная к г, Ч и д соответственно. Система уравнений для определения сопряженных переменных запишется в виде (см. (1.2.28) — (1.2.30) ) (1.2.75) (1.2.76) (1.2.77) НОР д1 дп дч ' (1.2.78) и = и(г), то для такого поля система (1.2.70) — (1.2.72) автономна и дл" соответствующего гамильтониана (1.2.74) имеют место интегралы (1.2.46) и (1.2.47). Как и в разделе 1.2.3, при анализе гладкости решения сопря женпой системы сначала считаем выполненным ограничение (1.2.49). Для того чтобы в произвольном гравитационном поле получить соотношения (1.2.50) — (1.2.52), (1.2.54), (1.2.55) В (1.2.75) ' — матрица ЗХ3, злементами которой в дя (г, 1) некоторой инерциальной прямоугольной декартовой системе коорддд1 динат являются производные; (1, 1 = 1, 2, 3) компонент вектора К = (д1, дз, 41) по компонентам вектора г = (л1, хз, хз).
Сравнивая (1.2.74) — (1.2.77) с (1.2.27) — (1.2.30), замечаем, что все остальные соотношения (1.2.34) — (1.2.45) и результаты, приведенные в разделе 1.2.2, остаются в силе. Если гравитационное ускорение д(г, 1) явно не зависит от К з!.3! УРАВНСНПЯ ЗАДАЧИ В 1!ООРДИНАТНОП ФОРЗ1С 55 (1.2.65) — (1.2.69), Необходимо, как это следует пз (1.2.25) и вычисления производной — „,Р (см. ('1.2.53) ), потребовать, чтооы гравитационное ускорение я(г, 1) имело по меныпей мере пепродзз дзб рывные производные $ 1.3. Уравнения вариационной задачи в координатной форме (1.3.16) (1.3.2а) г — '== — — +ив — е, д! г' лъ (1.3.2в) РДе г = ргхз .+ уз -+ зз (1.3.3) 3десь и ниже х, у, з; !г„, згз, зг,; е„, е„е,— проекции векторов г, и и е на оси хуз соответственно. Уравнения (1.2.28), (1.2.29) для сопряженпых векторов р п з в координатной форме имеют вид дРх 1 3 —" = — г — (з,г) — х, д! гз Р 3 —" = — г — (з, г) — у, д! гз Рз 1 3 — '= — г — (з г) — з д! гз * ' гз (1.3.46) 1.3Л.
Прямоугольная декартова и цилиндрическая системы координат. В тек случаях, когда траектория КА является прост- ранственной и решение задачи проводится численными мотодамн, уравнения вариационной задачи удобно записывать в прямоуголь- ной декартовой системе координат. Пусть Охуз — некоторая правая прямоугольная декартова сис- тема координат, начало которой совпадает с притягнвающизт центром. Безразмерные уравнения движения центра масс КА (1.2.10) и (1.2Л1) в проекциях на эти оси имеют вид дх х ду — = )гу ! +д=р* х Т вЂ” "= — — +и — е., гз + Ф зз х у т — = — —, + и — ею (1.3.26) 56 ПРОБЛЕМЛ СННТЕЗЛ П ОПТИМИЗЛЦ1П1 ТРЛЕКТОРИН 1гл.
1 где (1.3.5) =- г„х + ггу + г,г, (з, г) Нг 11 (1.3.ба) (1.3 53б) (1.3.бв) Нг — '= — Р ос г„, г„, г„р„ч р„, р, — проекции векторов а и р на оси хуг. Если движение КА близко к некоторой плоскости (что имеет место во многих практических задачах), целесообразно записывать уравнения двпясения аппарата в цилиндрической системе координат Огфг, начало 0 у которой совпадает с притягивающим Р центром, плоскость Огф совпадает с указанной плоскостью, со стороны оси г углы ф растут при движении х против часовой стрелки (рис. 1.3.1) . Р В проекциях на радиальное направление г, трансверсаль т (к г в плоскоРис.
1.3.1. сти ху) и ось г уравнения движения центра масс КА (1.2.1), (1.2.2) имеют вид (см. А. И. Лурье [1)) — =У„, ЙГ Ж (1.3. а) Нф г — = У Ж ив — .-=У, ж д$'„Усг Лс1 —" — — =д(Л )(>1 — — ") —,) Л „ Г„У, —" + —" — д(Л„) п~, ж с Ы$', / Л-"г '1 — ' = л(Л„) (в — — ). гс Ф ( * рз )' 11.3.3) У„У„У. — проекции вектора Ч. В приведенных соотношениях У гг ( гг (1.3.-5) (1.3.2в) (1.3.3а) (1.3.Ьб) (1 3.3в) 57 з ЕЗ) Векторы тяги ) (Т„, Т„Т,) и тяговооруженности п(и„и„и,) ~вязаны соотношением (1.2.17), откуда с учетом (1.2.4) ея7е Тг~ тее(В„) ея7е тег (В,) ея/е п, = — Т,.
(1.3 10в) тег (В*) (1.3 10а) (1.3.10б) Запишем уравнения (1.3.7), (1.3.8) в безразмерном виде, введя те же безразмерные переменные (1.2.8), что и при записи уравнений (1.2.10) — (1.2.12): г Ч Уее — т е' е е В„' У„' В.„' т„' Те' У,„' )'е ' (1.3.11) Опуская над безразмерными переменными черточки, имеем г," =у (1.3.12а) (1.3.12б) Ые ==у ж т г Ре у„)' гу.
,и т„ + пв — ", т, +п —, ег' л~ е ел т, и э те е — — + Ре 7' ле —. т нз Н1 (1.3.14) (1.3.15) (1.3 16) компонентами, сопряженными к г, ~р и 2, запишем гамильтониан для системы (1.3 12) — (1.3 14) в виде е 2 + г„~ — — "')+ ге~ — —,)+ пе — [(з, е)+ Р,[. (1.3.1 ) РРАВнен!1я ЗАдАчи В НООРдинАтноп «РОРыв Задавая векторы сопряженных переменных Р = Р(Р. Ре Р*) з = а(г„г„г,), (1.3.12в) (1.3.13а) (1.3 13б) (1.3.13в) 58 ПРОБЛЕЫЛ СПНТВЗА П ОПТИЪ1ИЗАЦПИ ТРАЕКТОРИИ [ГЛ.
1 Выбор обозначений р, и г, в (1.3Л5), (1.ЗЛ6) обусловлен топ, что в качестве фазовой переменной, соответствующей трансвер сали т, выступает угол гр (см. уравнение (1.3.12б) ). Сопряженные векторы (1.3.15), (1.3.16) удовлетворяют систе ме уравнений дРг дЕГ гг —" = — — = — '[р — Р' г + У г ) + — ' — 3 —,(г г+ г г) дг гг ~ Р гз т'г) рз дь г (1.3.18а) (1.ЗЛЗб) (1.3.18з) (1.3.19а) (1.ЗЛ9б) «.3.19з) дП вЂ” — =О, д<р ан дг рз 'дН г — 3 —, (г,г —; г,г), 1г Рг + д1 дУг дН вЂ” (р + 21",гг — гт,г ), а1 дЪ'„ дгг дН ж дк Сопряженная переменная р, удовлетворнет либо уравнению (1.2.38) (управление — вектор тяги Т), либо уравнению (1.2.39) (управлепие — вектор тнговооруженности п).
На пассивных участках траектории уравнения движения (1.3.12), (1.3.13), как известно, могут быть проиптегрированы в конечном виде. Движение КА в этом случае происходит по кеплеровым траекториям — дугам конических сечепий в ньютоновском гравитационном поле. Теория невозмущенпого кеплерова движения с достаточной полнотой изложена в ряде руководств по небесной механике и астродинамике (Бэттип [2), Г. Н.
Дубошпп [1, 2). М. Ф. Субботин [2), П. Е. Эльнсберг [2), Эрике [5), Эскобал [1)). Основные результаты теории невозмущенного кеплерова движения, используемые в настоящей книге, подробно рассмотрены в книге Эрике [5). Здесь же кратко остановимся на пекоторых основных соотношениях теории кеплеровых движении. Совмещая плоскость ОР1р цилиндрической системы коордипат с плоскостью кеплеровой траектории КА, получим из (1.3.12), (1.3ЛЗ) (Т = О, з = О, г = — р) обычно рассматриваемые в небесной механике уравпепия задачи двух тел: Рг ~йр )з ! (1.3.2О) «.3.21) при е)1 (Ь)0) (1.3.33) орбита (1.3.27) является гиперболой.
Из геометрических свойств эллипса и гиперболы следует, что фокальный параметр р и зксцентриситет е связаны с большой (или действительной) полуосью а эллипса (или гиперболы) со отношениями р = а(1 — е'), (1.3.34) р = а(ез — 1) (1.3.35) соответственно. Из (1.3.30), (1.3.34), (1.3.35) с учетом (1.3.31) (1.3.33) получаем следующую связь между постоянной интегра ла энергии й (1.3.24) и величиной а: а= —. (Ь!' Дифференцируя (1.3.27) по времени, получаем для радиальной скорости точки с учетом (1.3.26) выражение У = — = ее(пц=.
ЙГ . 4 г е .у — ' (1.3.37) Трансверсальная и угловая скорости движения по кеплеровой дуге на основании (1.3.26) и (1.3.29) равны соответственно У =г— ет Ур д~ г (1.3.39) (1.3.36) (1.3.38) На пассивных участках траектории вдоль кеплеровых дуг системы уравнений для сопряженных переменных (1.3.4), (1.3.5) я (1.3.18), (1.3.19) также могут быть проинтегрированы (см.
разделы 3.1.1, 3.1.3). Система интегралов сопряженной системы пграет важную роль в общей теории оптимальных импульсных перелетов. Относящиеся сюда вопросы подробно рассмотрены в гл. И1. 1.3.2. Линеаризованные уравнения в цилиндрической системе координат. Предположим, что движение КА мало отличается от движения в плоскости Огу по круговой орбите радиуса Ве со ско- ростью (1 3 40) Такого типа траектории рассматриваются в задачах о маневргро ванин КА между близкими околокруговыми орбитами. Обжав теория таких перелетов рассмотрена в гл. У1, У11. Аналогичязя 60 пговлвмл синткзл н оптимизации тглвктогии ~гл ~ углвнкнпя злдлч11 В коогдиыхтноп Фогмя 61 з ьз] ситуация может иметь место и для гелиоцентрических участков траекторий мех<планетных полетов (подробнее см.
гл. Х11). Следуя работе Г. Е. Кузмака, А. 3. Брауде (Ц„представим переменные системы (1.3.7), (1.3.8) в виде г = Хе (1+ Лг), з = 77„,Лз, ю = с~,„+ Л~р, У,=У Лтт„, У =У (1+ДУ), У =УЛГ,. ! Здесь ЛГ, Лг, Л~, ЛР, Луч ЛГф (1.3.42) — безразмерные, малые по сравнению с 1, величины, %е = Л~ (1.3.43) — угловая дальность полета по круговой орбите радиуса Ве. Введем безразмерное время т = — "г. Л~ Заметим, что в силу (1.3.43), (1.3.44) г =%э.
(1.3.45) (1.3.44) (1.3.46в) (1.3.47б) Уравнение (1.3.14) для безразмерной характеристической скоРости остается, очевидно, неизменным: ь| т = ме Й8 т (1.3.48) Безразмерные массу ~и, тягу Т, скорость истечения с и характеристическую скорость д введем согласно (1.3.11). Линеарнзуя систему (1.3 12), (1.3 13)и опуская здесьив дальнейшем черточки сверху у безразмерных величин, получим для рассматриваемых движений КА следующую систему уравнений: — „, = Лг'„ (1.3.46а) лат=ЛУ,— Лг, (1.3.46б) Поз — = Лг' ,и т —,' = Лг+ 2ЛУ, + иа — ", (1.3.47а) на г' Т вЂ” '= — ЛУ + ие — ' сй е *ж' Т (1.3.47в) 62 ПРОБЛКМА СИНТЕЗА И ОПТИМИЗАЦИИ ТРАВКТОРИЙ ~гл. р Компоненты тяговооруженности ир связаны с компонентами тяги Т; формулами т а„тр И; = Лр — = — ' ЕР!', рр мр Входящие в правые части (1.3.47), (1.3.48) тяговооружон- Т НОСть И = Па — И ЕЕ КОМПОНЕНТЫ ПО Ло П„ВООбЩЕ ГОВОРЯ, НЕ Малые величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
