Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Большое значение для разработки методов решения задач оптимизации в астродинамике, в частности задач оптимизации импульсных перелетов, имел цикл исследования Лоудена [1 — 24), выполненных им в 1950 †19 гг. Фундаментальные результаты, относящиеся к общей теория оптимизации импульсных перелетов в гравитационном поле, изложены Лоуденом в работе [7) (1953 г.). Хотя Лоуден в этой работе явно не пользуется сопряженной системой, необходимые условия оптимальности импульсных перелетов сформулированы Ім с помощью специальных переменных и, и, совпадающих по смыслу с компонентами вектора з, сопряженного к вектору скорости, в некоторой декартовой системе координат, плоскость ху которол совпадает с плоскостью перелета. Среди основных результатов [7) следует указать на полученное явное решение для и, г па кеплеровых дугах при незаданном времени перелета.
В работе [91 (1954 г.) сопряженная система проинтегрирована для плоских перелетов в общем случае при заданном времени перелета (см з 3.1). В этой работе Лоуден впервые употребил для вектора с компонентами и, и (т. е. для вектора з) название «ргнпег» (бу" вально — инициатор, зачинатель), прочно вошедшее в эарубея« ную литературу по оптимизации импульсных траекторий НД' З злп НМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ Лоуден так объяснил выбор этого названия. Когда в некоторой точке на траектории выполняются условия (2.2.87) и (2.2.88), л и Р нниЦииРУют ЛРиложение в етой точке импУльса скоРости (<и апд и ась аз рг1тегг, 1П1Г1а0пд 111е зЬогГ рег1ойз о1 агавы>).
В 1959 г. вышла в свет статья Лоудена [19), представляющая собой обзор основных ранее полученных автором результатов, связанных с оптимизацией траекторий КА и ракет. К этому времени были опубликованы известные работы Чикала и Мьеле [1), Мьеле [1 — 31, в которых задачи оптимизации траекторий ракет успешно рассматривались в рамках формализма вариацпонной задачи Майера. Для изложения своих результатов Лоуден также (впервые) использует аппарат задачи Майера. При этом сразу же выяснилось, что множители Лагранжа, соответствующие компонентам вектора скорости КА у' (т.
е. компоненты вектора з), суть не что иное, как компоненты введенного ранее Лоуденом в [7, 9) вектора и, л. Дается полное решение сопряженной системы уравнений (для векторов з и з) в пространственном случае при движении по кеплеровым траекториям (см. з 3.1). Цикл исследований Лоудена в области разработки теории оптимизации траекторий КА и ракет завершает широко известная монография [24) (1963 г.). В ней обобщены и изложены с единых позиций все основные ранее опубликованные результаты автора.
Рассмотрение, как и в работе [191, ведется на основе задачи Майера классического вариационного исчисления. Одна из первых попыток построения общей теории импульсных перелетов в рамках классического вариацнонного исчисления была предпринята также Хэйнесом [1) (1961 г.). Эта и другие аналогичные работы, в которых задача оптимизации импульсных перелетов с разрывными фазовыми координатами искусственно сводилась к задаче классического вариационного исчисления, в результате чего возникали определенные трудности и усложнения, не нашли практического применения. Для обхода указанных трудностей в работах Брейкуэлла [11, Контенсу [11, Марека [1) в качестве новой независимой переменной использовалась характеристическая скорость, в качестве фазовых координат — элементы орбиты.
Эффективный путь получения условий оптимальности импульсных траекторий нз условий оптимальности перелетов с конечной тягой был намечен в работах Лоудена (см. монографию [24)) и Вебека н Геертса [1). В монографии Лоудена [24) импульсные перелеты рассматриваются как предельные для переле~ов с конечной тягой при (Т,) „-+.оо (см. выше) в рамках "лассического вариационного исчисления. Применительно к имУльсным перелетам в основном исследуется сопряженная систе"а Уравнений, в частности, достаточно подробно рассмотрены ее 74 оптнэ1Альные иыпульсные пвгелпты «л н интегралы (см. раздел 3.11).
Следует отметить, что в атой ра. боте, как и в других работах Лоудена, не приведены в оощо„ случае условия трансверсальности импульсных перелетов и не рас сматриваются в общем случае краевые задачи для импульсных перелетов, В работе Вебека и Геертса [1] аналогичный предель ный переход с использованием принципа максимума Л.
С. Понт рягпна применяется прн решении задачи об оптимальном много- импульсном переходе между орбитамп с заданной энергией и мо ментом количества движения. Предельный переход к пмпульспоп тяге в рамках принципа максимума с использованием липеарпззции уравнений движения (см. ниже) применен Санномией и Нпсикавой [1].
Достаточно полное изложение современной теории оптвппза ции импульсных перелетов в рамках указанного подхода дано з книге В. С. Новоселова [1]. Решения задач оптимизации траекторий КА большой тяги здесь отыскиваются в виде рядов по степеням малого параметра ~э А1ю В пределе мрп Х Ага — -0 ь=~ ь=~ получаются условия оптимальности для импульсных перелетов и решения соответствующих задач. Аналогичным предельным переходом от конечной к импульсной тяге получены необходимые условии оптимальности импульсных перелетов в монографпп В. В. Ивашкина [4]. Другой эффективный путь был предложен С. В. Дубовская [1], который дал прямой вывод условий оптимальной импульсных перелетов на основе рассмотрения задачи оптимизации лпнамических систем с разрывными фазовыми координатами.
Его метод позволяет другим путем вывести условия, ранее полученные Лоуденом, а также достаточно просто выписывать условия трансверсальностп в общем случае. С помощью полной совокупности необходимых условий оптимальности в работах С. В. Дуоозского [1, 2] рассмотрены интересные примеры оптимизации импульсных перелетов.
Важное значение для развития общего подхода к исследованию оптимальных импульсных траекторий имели примеры нз >- гоимпульсных, с количеством импульсов более двух, перелетов. более экономичных, чем одпонмпульсные и двухимпульсгг е Первый пример такого трехимпульсного перелета между комп."- нарными круговымн орбитами — так называемый биэллиптическпй перелет — был построен А. Штернфсльдом в 1954 г.
[1], Х тке ром и Зилбером [1] и Эдельбаумом [1] в 1959 г. Биэллиптическпй перелет между компланарнымп круговымп орбитами состоят нз двух полуэллипсов, один из которьх касателеп к внутренней ор' бите, а другой — к внешней орбите; эти полуэллипсы соединяю~' ся в общей апсидальной точке, в которой сообщается промежуто' ный импульс.
В обзоре Эдельбаума [2] рзссзштрены полученные 75 пэшульсные пегялвты зхя я тому времени (1967 г.) примеры опгнмальных многоимпульсяых перелетов. Следует отметить, что подавляющее большинство этих примеров представляло скорее теоретический, а не практический интерес, поскольку: 1) время перелета не задавалось, 2) допускался либо вылет на со, либо подлет неограниченно близко к центру тяготения; 3) начальные и конечные условия выбирались специальным образом (например, симметрия в расположении начальной и конечной орбиты).
Основные результаты яо оптимизации многонмпульсных перелетов между компланаряыми эллиптическими орбитами с незаданной ориентацией больших осей получены Тингом Лу [1, 2]. В последнее время с помощью численного анализа построены примеры оптимальных трехнипульсяых перелетов в ряде практически инторесных задач (см. раздел 10.11, з 12.1, Вин [2], Гербрахт, Пензо [Ц, Гобец, Долл [2], Долл, Гобец [Ц, Уиллис [Ц). Интереснь.е примеры многонмпульспых перелетов приведены в работах С. В. Дубовского [1, 2], ддельбаума [5]. Следует также отметить, что результаты численного анализа показывают, что во многих важных практических случаях оптимальные перелеты характеризуются малым числом нмпульсов— не более трех (см. обзор Гобеца, Долла [Ц, работы С. В. Дубовского [1, 2], Мойера [Ц, Тинга Лу [1, 2], а также за 10.4 и 12.5 настоящей книги).
Трудности построения оптимальных иногоимпульсных перелетов либо с помощью общей теории импульсных перелетов, либо путем численных расчетов привели к разработке Лайоном, Хэнделсиевом [Ц специального метода построения оптимальных многоимпульсных перелетов, развитого затем в работах Ежевскн, Розендаала [Ц, Еягевски [Ц, Мннкоффа, Лайона [Ц. Метод Лайона, Хэнделсмена основан на использовании выражения для вариации характеристической скорости при переходе от)у-импульсного перелета к (У+1)-импульсному, полученному с помощью сопряженной системы. Общая теория применения сопряженной системы для улучшения неоптимальных импульсных перелетов изложена в $2.3.
Некоторые примеры применения этой теории Рассмотрены также в $10.4 и $ 12.5 и в работах Гросса, Прассинга [Ц, Минкоффа, Лайона [Ц, Пельтье [Ц, Хэзелрига [Ц. Изучение оптимальных многоимпульсных перелетов в нелинейной постановке представляет значительные трудности н, как правило, может быть проведено лишь с помощью трудоемких расчетов. Среди различных оптимальных перелетов важное практическое значение имеют перелеты между близкими околокруговы"в орбитами. К этому классу относятся задачи околопланетного "аневрпрования, а также задачи о перелетах с Земли на бли- Ж" айшне планеты — Марс и Венеру. Для решения такого рода задач весьма эффективной оказывается липеарнзаппя уравпшшй ОПТИЗ1АЛЬНЫЕ ИЫПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ ~ГЛ 1, движения относительно некоторой промежуточной круговой ор биты.
Идея линеаризации для анализа многоимпульсных переле тов впервые, по-видимому, предложена Г. Е. Кузмаком [1] (1964 г.). В этой работе дано полное решение ряда задач оптимизации плоских перелетов. В дальнейшем линеаризация эффектна но использовалась во многих исследованиях импульсных переле. тов (Р. Ф. Аппазов, В. И. Огарков [1], Е. И. Бушуев, А. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
