Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 11
Текст из файла (страница 11)
соотнопгение (П. 51) Приложения): г Т Н =(р, Ч)+ [з, — — +ив — е~+ рчие — = гп и! ) и! ! ! Т = (р, Ч) — (з, —, г) + ив — ((з, е) + рз). По правилу дифференцирования скаляра по вектору систему урав- нений для сопряженных переменных запишем в виде (см. соот- ношение (П. 18) Приложения) др дН 1 3 — = — — =з — — (з, г) — г, Ш дг гп ' гп дз дН р дг дЧ дрч дН г!1 дз ' Исходпые уравпенпя (1.2.10) — (1.2.12) можно записать так: (1.2.31) (1.2.32) (1.2.23) (1.2.30) дч дН Ш др' (1.2.33) Управлением является либо вектор Т, либо вектор и (1.2.17).
Оптимальное управление паходится из условия шахН по Т илп 4в ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА П ОПТИЬШЗАЦПП ТРАЕКТОРИИ !ГЛ. 1 1 И ОПТПЫПЗлЦПЯ В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ ~нопечНАЯ ТЯГЛ) откуда 49 е][з. Введем функцию переключения 6 = г+р,. (1.2.34) (1.2.35) Тогда оптимальная величина Т или и определяется условиями Тмах з1Т~[0, Т О, (1.2.36а) (1.2.36б) (1.2.36в) 6)0, 6= — О, 6(0, или И па ау 6)0, Уие [О,и,„], 6.— — О, О, 6 ( О. (1.2.37а) (1.2.376) (1.2.37в) Когда управлением является Т, (1.2.30) с учетом (1.2.4), (1.2.34) и (1.2.35) можно записать в виде а Ыà е«зэ — « = — иа — — 6. и та« Еслп управлением является и, то, согласно (!.2.17), Н пе зависит от д и (1.2.30) переходит в — „,'=0 (1.2.39) Граничные условия определяются из условий трансверсальности [+ бб — Нб| -"; (р, бг) + (е, бЧ) + р«бд](1 =- О.
(1.2.40) (1.2.41) Р«1 Из принципа макспмума имеем также, что 1) векторы р, з и р, ни в одной точке траектории не должны одновременно обращаться в нуль; 2) во всех точках траектории, включая точки разрыва управ- "ения, должны выполпяться условия Вейерщтрасса — Эрдмана 4 А. Ильин, Г. Е. Куэьик Здесь знак «+» перед полной вариацией 66 берется в конечной точке, а знак « — » в начальной. Полные вариации, «вариации точки» (см. В.
Л. Троицкий [1]), бг, бг и бе' находятся с учетом заданных многообразий в начале и в конце траектории; бС зависит, согласно (1.2.26), от этих же вариаций (см. (2.2.14) ). Из (1.2.40) получаем для функционала (1.2.26) пепрорывпостп сопряя«енных перопоппых п функция Н: р(! — 0) = р(!+О), з(! — О) =з(!+О), и«(! — О) =- р«(!+О), Н(! — О) = Н(г+ О) ! (1.2.42) (1.2.43) (1.2.
44) (1 2.45) ьп е= (!и !!). Кроме того, пес«ольку система (1.2.10) — (1.2.12) автономна, вдоль оптимальной траектории существует 1-й пнтеграл Н = сопзп (1.2.46) Из (1.2.40) и (1.2.46) получаем, что если функционал и коночные многообразия по зависят от г, и г, а й н (плн) г, не задан!,!, то для оптималыюй траектории Н = 0 у«е= (г«, г!) . (1.2.47) В дальнейшем при анализе оптимальных траекторий перелета будут рассматриваться либо рея«имы ('1.2.36а), (1.2.37а), соответствующие максимальной величине тягп, либо режимы (1.2.36в), (1.2.37в), соответствующие минимальной величине тяги. При выполнении условий (1.2.36б) или (1.2.37б) среди режимов управления тягой или тяговооруженностью могут быть особые и скользящие режимы (Брайсоп, Хо Ю-Ши [1], Р. Габасов, Ф.
М. Кириллова [1], Г. Л. Грод«овский, Ю. Н. Иванов, В. В. Токарев [2], В. Ф. Кротов, В. 3. Букреев, В. И. Гурман [1], А. М. Летов [1], Лоуден [24]). Отметим, что реализация особых режимов управления требует применения двигателя с регулируемой тягой, работающего в общем случае на режиме переменной тяги достаточно продолжительное время. Реализация же скользящих режимов управления тягой требует работы двигателя в режиме «включено — выключено» с достаточно частой сменой режиа«ов. Особые и скользящие режимы управления тягой или тяговооруженностью в дальнейшем не рассматриваются, за исключением 3 6.
2, где получены конструктивные результаты для частного класса перелетов. 1.2.3. Степень гладкости фазовых н сопряженных переменных. В соответствии с принципом максимума, при наличии на оптимальной траектории точек переключения управления фазовые и сопряженные переменные вдоль траектории имеют кусочно-непрерывные первые производные. При атом точки разрыва производных, очевидно, соответствуют моментам переключения управления, а сами разрывы представляют разрывы первого рода («скачкиз) функций.
бо пговлкма сннтезл и оптимизация тганктогпп !гл. ! 1Д ОПТИМ1ИЛЦНЯ Н НЫОТОНОВСКОМ ПОЛН 11'ОНКЧНЛЯ ТЯГЛ) 51 Однако для конкретных динамических систем степень гладкости фазовых и сопряженных переменных может быть выше, чем в общем случае. Степень гладкости этих функций имеет важное значение при численном решении соответствующих краевых задач. Кроме того, свойства гладкости фазовых и сопряженных переменных существенным образом используются при приблнягенном построении решения вариационной задачи с конечной величиной тяги по известному рептению соответствующей вариационной задачи в импульсной постановке (см. гл.
1Ч). Установим степень гладкости фазовых и сопряженных переменных как функций 1 вдоль оптимальной траектории. Вследствие ограничения (1.1.18) здесь и всюду в дальнейшем при движении КА в ньютоновском гравитационном поле полагаем )г) > Г„„) О. (1.2.48) Кроме того, нрп анализе гладкости сопряженных переменных бу- дем считать ) г ) <'г < со. (1.2.49) С учетом (1.2.48), (1.2.49) из условий Вейерштрасса — Эрдмана (1.2.42) — (1.2.44) следует ограниченность сопряженных векторов р, з и сопряженной переменной р,на отрезке [г Оо г Если дополнительно к условиям Вейерштрасса — Эрдмана ввести ограниченность р, з и р, при г-а.со (см.
раздел 2.2.4), то приводимые ниже результаты будут справедливы и без предположения (1.2.49) для всех г ~ [г „, оо). Учитывая, что, согласно сказанному выше в разделе 1.2.2 н (1.2.36), функция Т = Т (1) кусочно-непрерывна, получим из (1.2.10) — (1.2,12) . г(~) е— : С1 [~я 1Д, г" кусочно-непрерывна; (1.2.50) 2' Ч(а) ~ Се[Ге а1], Ч' кусочно-непрерывна; (1.2.51) 3 д(~) е— = Се[~Я 11), д'(а) кусочно-непрерывна. (1.2.52) Здесь и ниже через Са[а, Ь) обозначен класс функций, непреРывных вместе с й-й производной на отрезке [а, Ь).
Дифференцируя (1.2.28) по Г, получим с учетом (1.2.10) и (1.2.29) Л1, = — Р— —;(з(г, Ч)+ г((з, Ч) — (р, г)) + —,'- (з, Г~Ч вЂ” 5 — (г, Ч)]~. (1.2,53) Отсюда, с учетом (1.2.50), (1.2.51), условий Вейерпгтрасса — Эрд1аана (1.2,42), (1.2.43) и уравнения (1.2.29), следует: 4' р(~) ~ Сз[г» Ц, р"'(г) кусочно-непрерывна; (1.2.54) 5' з(1) е= Сз[~„Г1), а1т(Г) кусочно-непрерывна. (1.2.55) 4а 52 птовлвмл спптвзл и оптпмпзлцшд тглвктовт|и ~гл. д Разрывы в производных г, Ч, д, р п з происходят в моменты начала 6, 0 конца гд й-го активного участка. Если управлением является тяговооружепность п, то, согласно (1.2.39), ('1.2.41), вдоль всей оптимальной траектории р„ = сопзд = — 1.
(1.2.56) В этом случае, принимая во внимание (1.2.35) и 5', имеем: 6'а р, е= С„[гь г,); (1.2.57) 7'а О ~ Сз[Г„»,), Оде кусочно-непрерывна. (1.2.58) Пусть теперь управлением является тяга Т с разрывами пер.ь вого рода в моменты 1д и Гд, соответствующими началу п концу ее-го активного участка. Наряду с (1.2.38), (1.2.35) рассмотрим уравнение (1.2.12), переписав его, благодаря (1.2.4), в виде (1.2.59) Поскольку на оптимальной траектории в моменты ~да разрыва величины тяги Т согласно (1.2.36) функция переключения Оф) =О, (1.2.66) »Р, то правая часть (1.2.38) и — непрерывны всюду на оптпле мальной траектории р ~С [гд,М (1.2.61) Из (1.2.61), (1.2.35) и (1.2.55) следует, что на оптимальнойтра- Ю ектории производная ед всегда непрерывна: О(г) епС,[ги 1,[.
(1.2.62) Дифференцируя (1.2.38) по 1 на участках Т = сопзс, найдем с учетом (1.2.59) »ДРЕ Т (еее Т е»Г»М~ —,е = — ие — ~ — лв — О+ — — ). (1.2.63) зд' е ~ е е д» ед) Поскольку в общем случае 6'(г,+;) + О, (1.2.64) на основании (1.2.63), (1.2.35) и (1.2.55) закщочаем, что 6' б рч е= Сд [го ~д[, р кусочно — непрерывна; (1.2.65) 7' б О еп С, [~д, 1г[, О" кусочно- непрерывна. (1.2.66) Разрывы в соответствующих производных р, и д обусловлены разрывами в Т. Если рассматривать по отдельности каждый нз участков (1.2.36) траектории, то внутри каждого из участков (1.2.36а) и (1.2.36в) все фазовые и сопряженные переменные и з Ьи ОПтИМИЗЬЦПЯ В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛК <КОНВЧНЛЯ ТЯГЛ> бд — =- Ч, сЛ т —,= я(г, ~)+ я (1.2.70) (1.2.71) (1.2.72) функцию переключения 6 можно считать функциямп, дифферендяруемыми произвольное число раз (при ге= [г,„, г„.„] н соответствующей дифференцируемости орта вектора тягл е(1), что можно предполагать на основании (1.2.34)).
Допустим теперь, что Ч(~) может иметь разрывы первого рода (см. $2 1). Тогда нз аналогичных рассмотрений получаем: 1'а г(1) с=Сз[Г„1~], г' кусочно-непрерывна; (1.2.67) 4'а Р(Г) ~ С~ [~ь ~Д, Р" (~) кУсочно-непРеРывна; (1.2.68) 5'а з(~) ~ Сз[Г„ГД, а"'(1) кусочно-непрерывна. (1.2.69) Точно так же на участках между разрывами Ч(г) все фазовые и сопряженные переменные можно считать непрерывно дифференцируемыми произвольное число раз (при ге= [г пь г „,]).
Подробный анализ поведения сопряженных переменных на оптимальных траекториях для случая г-+. со при наличии у Ч(г) разрывов первого рода дан в разделе 2.2.4. Применение принципа максимума Л. С. Понтрягина сводит рассматриваемую варнационную задачу к двухточечной краевой задаче. Из проведенных рассмотрений видно, что кРаевые задачи, возникающие при оптимизации перелетов КА в центральном поле, в общем случае имеют 14-й порядок — по числу фазовых г, Ч, д и сопряженных р, з и р, переменных. Для решения этих краевых задач можно использовать стандартные методы и приемы нелинейного программирования и методы решения систем трансцендентных уравнений (Г.
Л. Гродзовский, Ю. Н. Иванов, В. В. Токарев [1], С. И. Зуховицкий, Л. И. Авдеева [1], В, К. Исаев, В. В. Сонин [1], Кюнци, Крелле [1], Ланс [1], Р. Ли [1], Маррей [1], Розен [1], Томпкинс [1], Уайльд [1], Хеппи [1]). 1.2.4. Обобщение на случай движения в произвольном гравитационном поле. Рассмотрим поставленную в разделе 1.2.1 вариационную задачу оптимизации траектории КА при движении его в произвольном гравитационном поле. В этом случае вектор гравитационного ускорения я(г, г) считаем, как и для «точного» гравитационного поля (1 1.17), достаточно гладкой функцией своих аргументов в рассматриваемой области изменения г и г.
Безразмерные уравнения движения КА аналогично тому, как это сделано в разделе 1.2.1, можно записать ввиде (см. (1.2 10)— (1.2,12) ) пРОБлва|л спнтвзл и Оптимизлцип тРлгктоРии П:1. 1 Здесь д ( г, 1 ) — безразмерное гравитационное ускорение, от в е . сенное к г аз = р„ (1.2.73) где В. и Р'. — характерные линейные размер и скорость, не сея ванные, вообще говоря, соотношением (1.2.9). Если во всех соотношениях з 1.2, з 1.3 и ниже, иуда входит величина д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
