Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Однако всюду в дальнейшем полагаем, что суммарное действие тяговооруженности на всех активных участках и, следовательно, полное изменение характеристической скорости + И РА Лд= ~ ~ лба (1.3.50) А=1— системе уравнений Сопряженные векторы р и з удовлетворяют НР„ — = — 3 +Р др 9 =О, (1.3.54а) (1.3.54б) НР ~Ы йр„ лр Нр лр лр (1.3.54в) (1.3.
55а) (1.3,55б) (1.3,55в) а~р Рг — 2з„— р,р, представляют малую того же порядка, что и (1.3.42). Заметим, что если величина Лд (1.3.50) не мала, то скорость КА не может быть всюду на траектории близка к скорости Уа (1.3.40). Поэтому при сделанном вьппе предположении о блиаости скорости аппарата к У величина Лд должна быть мала по сравнению с 1 и проведенная линеаризация уравнений движения корректна. Векторы сопряженных переменных р и з задаем компонентами, сопряженными к Лг, Л<р и Лз: Р=(Р, Р Р) (1.3.51) В = (г„, ге, г,).
(1.3.52) Гамильтониан имеет вид Н = Р„ЛУ, + ре( — Лг+ ЛУ,)+ Р,ЛУ, + г,(ЛР+ 2ЛУ,)+ + г ( — ЛУ,) + г, ( — Лз) + па — [(в, е) + рз[. (1.3.53) 1 !.з! углвннпня 3 !да~!я В ноогдинАтноя Фогт!к 63 Условия оптимальности ( 1. 2.34) — ( 1.2.45 ) остасотся в силе. Сопряя'енная переменная р„ как и ранее, удовлетворяет либо уравнению (1.2.38), либо уравнению (1.2.39). Система уравнений (1.3.46), (1.3.47) для фазовых переменных является неоднородной:пи!ейной системой уравнений с постоянными коэффициентами, а система уравнений для сопряженных переменных (1.3.54), (1.3.55) —. однородной линейной системой.
Существенно, что система (1.3.54), (1.3.55) не зависит от системы (1.3.46), (1.3.47) (что, естественно, является следствием того, что опорная орбита круговая). Простота структуры системы уравнений (1.3.54), (1.3.55) позволяет непосредственно получить ее решение (1'. К.
Кузмак, и. 3. Брауде 11]). Уравнение (1.3.54б) дает р,= сопвС. Уравнения (1.3.54в) и (1.3.55в) интегрируются независимо от остальных уравнений системы. Дифференцируя (1.3.55а) по С с учетом того, что р, = сопвс, и используя (1.3.54а), (1.3.55б), найдем г,(с).
После этого находятся р,(с) из (1.3.54а) и г,(с) из (1.3.55б). В результате общее решение системы уравнений (1.3.54), (1.3.55) записывается в виде р, = — А в!и с+ В соя с — 3Сс+ Р, (1.3.56а) р,= — С, (1.3.56б) р. = Ея!пс — Есояс, (1.3.56в) г, = А сов с + В вш с + 2 С, (1.3.57а) г, = — 2А яш С + 2В соя с — ЗСс + Р, (1.3.57б) г. = Е соя си Е ясп (1.3.57в) где А, В, С, Р, Е п Р— произвольные постоянные.
Заметим, что система уравнений (1.3.54), (1.3.55) совпадает с точной системой сопряженных уравнений (1.3.18), (1.3.19) на круговой орбите (см. раздел 3.1.1). В разделе 3.1А будет приведено полученное Лоуденом решение сопряженной системы уравнений для круговой орбиты (3.1.6) — (3.1.8), (3.1.16) — (3.1.18). С учетом равенства (1.3.45) для аргументов с в системе (1.3.56), (1.3.57) и ц в Решении Лоудепа нетрудно заметить, что оба решения близки между собой, хотя н не совпадают. Последнее объясняется различным выбором векторов фазовых переменных при получении Решений (1.3.56).
(1.3.57) п решения Лоудена. Рассмотрим теперь уравнения (1.2.38) и (1.2.39) для сопряженной переменной р,. В том случае, когда управлением является тяговооружеппость (уравнение (1.2.39) ), к решению (1.3.56), (1.3.57) добавляется интеграл р, = сопяС (1.3.58) и для функционала (1.2.20) рд = — 1 Ус е= Пн сс]. (1.3.59) ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА Н ОПТПТП!ЗАЦШ1 ТРАЕКТОРИЯ ЮЛ Для случая, когда управлением является тига, рассмотрим уравнение (1.2.38), которое перепишем с учетом (1.2.4) и (1.2 33) в виде сРт Т 1 — т= — и — — (р ч а).
Ш е т с «.3.60) На 1с-м пассивномучастке (1А,~А+1] Т = 0 пвследствие непрерыв ности р, (см. (1.2.44)) рт — — сопз1 = рт (11 ) . (1.3.61) Рассмотрим уравнение (1.3.60) па й-и активном участие [ — + 1+А1 оптимальной траектории. Вследствие (1.2.36а) па этом активном участке Т=сопеФ=Т „. (1.3.62) Из (1.1.3) имеем (все величины размерные) Нт Т= — с —,. Ж ' (1.3.63) Следовательно, на любом активном участке оптимальной траектории расход массы постоянен и равен максимальному (по модулю) значению т = — = сопзс. Ит Ж (1,3.64) Приводя соотношение (1.3.63) к безразмерному виду, получки (опуская черточки у безразмерных величин) и Т= — ст.
( 1.3.66) С учетом (1.3.66) уравнение (1.3.60) перепишем в виде "Рч т и т (Ра т з) (1.3,671 Вследствие (1.3.64) текущая масса аппарата на л-м участке т=т +т(т — ~„) Уз~ [г~,г+1, где активном (1.3.68) (1.3,60) т — = т(с1 ). Обозначая (1.3.70 С вЂ” й1, -- т., Размерный расход массы т связан с безразмерным т соотношепием (1.3.65) 65 1 1.1! УРАВНЕНИЯ ЗАДА'П1 В КООРДИНАТНОН ФОРМЕ перепишем (1.3.67) окончательно в виде уравнения та + ~ат (1.3.71) Кто общее решение на й-и активном участке с учетом непрерывности р, (см. (1.2.44)) записываетснв виде (Л. С.
Понтрягин (1]) с р,= 1+ — "' (с — г,,)( рч (г„)+ — ) ~ВА— т1, ( 1.3.72) Если с помощью (1.3.57) вычислить функцию г(й) п подставить ее в (1.3.72), то получающийся прн этом интеграл не Вьгражается через элементарные функции. Подынтегральная функция настолько громоздка, что вычисление р, на активных участках целесообразно проводить путем численного интегрирования уравнений (1.3.60) илн (1.3.67), а не с помощью интеграла в (1.3.72) . !Лнтегрирование уравнения для р, приводит к появлению в общем решении сопрнженной системы еще одной постоянной— р,а.
Таким образом, решение системы уравнений для сопряженных переменных р, з н р, включает семь постоянных интегрнровання: А,п, С,)7 Е Р Рз. (1,3.73) Поскольку уравнение (1.2.38) прн линеаризацни уравнений движения остается неизменным, полученные для него результаты справедливы и для исходной сопряженной системы (1.2.28), (1.2.29), записанной в любой из рассмотренных систем координат. Заметим, что если тяга аппарата велика, а продолжительность активного участка мала, то траектория аппарата близка к импульсной.
В этом случае (см. гл. 11, 1У) на активном участке з(а) 1 тге= (га,га~. (1.3.74) Этим обстонтельством можно воспользоваться длн приближенного вычисления интеграла в (1.3.72). Перейдем к системе уравнений (1.3.46), (1.3.47) для фазовых Переменных. Рассмотрим сначала соответствующую однородную систему на пассивных участках траектории. Уравнения (1.3.46в) В (1.3.47в) интегрируются независимо от остальных уравнений. дифференцируя (1.3.47а) по 1 и используя (1.3.46а) и (1.3.47б), Лолучим уравнение относительно ЛУ„после чего последовательно В.
А. Ильма, Г. Н. Ктаман 66 ПРОБЛЕЭ1Л СИНТЕЗА И ОПТИЭ1ИЗЛЦИП ТРАЕКТОРИИ »ГЛ, 1 находятся Л»»„(1)„Л»»,(1) и Лг(»). Подстановка Л»'„(~) в Лг(Г) в (1.3.46б) дает интеграл для Л»р(»). В результате на пассивных участках траектории общее реше иие однородной системы (1.3.46), (1.3.47) записывается в виде Лг = А» зш à — В» соз à — 2С», (1.3.75а) Лд» = 2А» соз Г+ 2В»зш Г+ ЗС»Г+ Р», (1 3 75б) Лз = Е» з»п» — Е» соз», (1.3.75в) ЛР, = А»созГ+В»з»п1, (1.3.76а) Л)»„= — А»з1П1+ В» соз Г+ Сп (1.3.765) ЛУ. = Е» соэ Г + Е» зш (1.3.76з) где А», В», С», Р», Е», Е» — произвольные постоянные. Уравнение (1.3.48) для характеристической скорости д при с = сопз1 интегрируется в виде (1.1.12); поэтому, если Т»па», т = сопзФ ть О, » ~ [»л, г~л~, (1.3.77а) Т= О, т= О, » е= »»»»,', 1~~.1~, (1.3.77о) то дополнительно к (1.3.75), (1.3.76) имеем интеграл д =: с1п, ', ~ е= [»»,, ~л"), (1.3.78а) »»»л -»- т (» — »», ) д = д(гл), г ~ [Ц, гл Д.
(1.3.78б Для решения неоднородной системы (1.3.46), (1.3.47) на активных участках можно применить метод вариаций произвольных постоянных А», В», С», Р», Е», Е» (Л. С. Понтрягин 111). Получающиеся при этом интегралы не выражаются через элементарные функции. При практическом решении задач целесообразно на активных участках непосредственно интегрировать систему уравнений (1.3.46), (1.3.47). гллвл и ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ й 2.1. Импульсные перелеты (2.1.2) Пусть ~», г», й = 1, 2,..., Ьо — соответственно начало н конец й-го активного участка оптимальной траекторип аппарата при ограничении тяги. Интегрируя уравнения (2.1.1) — (21.3) и используя при интегрировании (2.1.2) теорему о среднем, с учетом ограничения (1.2.48) и того, что единичный вектор тяги е(1) на основании (1.2.34) и (1.2.36) на актлвном участке à — +1 1»н ~гд, г») является непрерывным, получим '» Аг» = г(гд) — г(г» ) = ) У (г) й, »» му пт» =7 (гд ) — т'(г» ) = — ( —,1 (㻠— г» ) —,'- се,р!и —,, (2.1.5) (» /ср Ао = — д(г+») — д(~„) = — с1п —, Г»,", (2.1.6) где т» = т(~» ), тд = т(г» ).
Пусть теперь длительность активного участка Агд=с» — г,, О, (2.1.7) (2.1.8) 2Л.1. Импульсные перелеты в гравитационном поле. Перепишем безразмеряую систему уравнений движения центра масс КА в ньютоновском гравитацпон ~ом поле (1.2.10) — (1.2.12): т==у (2.1.1) лу г, т + л» ю ы и ' —,=и (2.1.3) оптпылльные импульсные пегелеты тп 1, 68 так что г †„ ~д — О, ь, - г„ + О, (2.1.9) где гд 1= (гд, гд 1 — некоторый фиксированный момент времени при атом считаем гдд — = сонэк д (2.1.10) В этом случае из (2.1.4) — (2.1.6), (2 1.8) — (2.1,10)' получаем Ьгд = г-д — г — =.
О, (2.1 11) год ЬЧд = Ч,.г — Чдт= ее(гд) 1п —, = е(~д) Адд, (2.1,12) пг11 ! гл; (2.1.13) (2.1.14) гд = г(гд+ 0), гд = г(1д — 0), Ч+. = Ч(~д+ 0), Ч;,.= Ч(~д — О). Расход массы КА на оптимальном активном учатке с тягой Т „ вследствие (2.1.10) Атд=- т г, — тг = — '(т) (г~д — гд ) = сопзтг (2.1.15) поэтому из (2 1.8) и (2.1.15) получаем Ппг ~ ~ „= Пт ( ат, ! Юд- О " Агд- О а 1д Следовательно,и Ппг (Тд)„„„= 1пп с~гид ~ =- + со. Агд О Юд О (2.1.16) (2,1.17) В связи с рассмотренным предельным переходомвастродинамике, по аналогии с классической теорией удара (см. Аппель (1], Валле Пуссен 111, Л. Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
