Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Чтобы записать необходимые условия оптимальности в симметричной форме, воспользуемся методом Лагранжа (Л. Д. Кудрявцев (11, т. 11). Вычитая из (2.2.14) левые части У вЂ” 1 равенств (2.2.28) и прибавляя к (2.2.14) У вЂ” 1 соответствующих правых частей (2.2.28),получим 66 = бй)У, + ~ ', бр+~ — бу1 ) — (р+, бг,) — (з~ь, бр+) + ~ ау,)' ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ 82 [гл и Условие стационарности (2.2.31) должно выполняться отно сительно любой системы вариаций, совместимой со связями. Рассмотрим сначала варьированные траектории, для которых па чальная (до импульса) и конечная (после импульса) точки за креплены, т.
е. положим бГ,= — бг,=бр, =бгн=бгн —= бУн=0. (2.2.чо) + Поскольку исходная траектория удовлетворяет всем связям, си степа вариаций (2.2.40) с ними совместима. При этом люоая варьированная траектория может быть получена, если, например, соответствующим образом задать вариации й„бгм й=2, 3, ..., Ж вЂ” 1. Вследствие (2.2.40) в (2.2.34) останутся только члены, стоящие под знаком суммы, а также члены с вариацией бу1 в начальной точке и с вариацией 67н в конечной точке. Выбором сопряженных переменных вь, рь1 й = 2, 3, ..., )1' — 1, распорядимся следующим образом: часть из пих, входящую в коэффициенты при зависимых вариациях (2.2.33), определим так, чтобы этп коэффициенты обратились в нуль.
Тогда для выполненпя условия (2.2.31) необходимо, чтобы коэффициенты при оставшихся независимых вариациях тоже обратились в нуль. Подчеркнем, что такой выбор сопряженных переменных всегда осуществим. В самом деле, на каждой пассивной дуге решение системы уравнений (2.2.21), (2.2.22) шестого порядка определяется шестью краевыми условиями. Следовательно, количество задаваемых компонент сопряженных переменных на концах каждой пассивной дуги совпадает с количеством зависимых вариаций в системе вариаций (2.2.33), что и позволяет осуществить указанный выбор. В результате для всех внутренних импульсов (й = 2, 3, ..., Й вЂ” 1) получаем з =3 ь = ь (ЛУ,~' (2.2.41) р~,.' = р~.. (2.2.
42) (2.2.43) Рассматриваемое решение сопряженной системы наиболее удобно определить с помощью равенств (2.2.41) (см. з 2.3). Таким образом, необходимые условия оптимальности импульсных перелетов для внутречних импульсов скорости формулируются на основании (2.2.21), (2.2.22), (2,2,41) — (2.2.43) следующим образом.
1 Векторы сопряженных переменных р и з между импульсами удовлетворяют системе уравпеиий (2.2,21), (2.2,22). 2'. Векторы сопряженных переменных р и а на всей тра екторнп для лзобого г ~ (гь г,;) непрерывны, включая точил зги нковходнмык хсловия оптимальности импульсов: р- (~„) =- р (~„ — 0) = р (~„ + 0) = р+ (~„), й = 2, 3, ..., Х вЂ” 1, (2.2.44) (гд)=-в(~д 0) = е(гь ~ 0):в+(гь) й = 2,3, ... М 1.
(2.2.45) 3'. В точках приложения импульсов вектор з совпадает с единичным вектором импульса скорости: ау„ (г ) = ау =е ' й =2'3' '''У 1' (2'2'46) ~ау ~ 4'а. Если момонты приложения импульсов гм й = 2, 3, Н вЂ” 1, не заданы, то гамильтонпан (2.2.29) при переходе чсроз импульс непрерывен: Н (Гз) — = Н(Г,— 0) =Н(Г,+0) — = Н+(т,). (2.2.47) Запишем условие (2.2.47) в более удобной для приложений форме. На основании (2.2.29), (2.2.44), (2.2.45) и (2.2.47) имеем Нь' — Н~ = (рд, Уь — Уь ) =(ры ЛЪ'ь) = 0 (2 2.48) 1Лз (2.2.48) и (2.2.46) следует: 4'б. В момент внутреннего импульса векторы р п з ортогональны: (р„, з,) = О, й = 2, 3,..., Н вЂ” 1.
(2.2.49) Воспользовавшись уравнением (2.2.22), получим пз (2.2.49) (рд, вь) = — ~ — „~, вд) = — — — ') / = (з —,) / =- О. (2.2.50) Из (2.2.50) с учетом (2.2.46) н гладкости функции г(~) следует: 4'в. В момент внутреннего импульса функция г(Г) = )з(Г) ( достигает экстремума: з(г) ~с„= О. (2.2.з1) Перейдем к выводу необходимых условий оптимальности импУльсной траектории в крапннх точках траектории.
Во-первых, из (2.2.34) при условии (2.2.40), как и при выводе (2.2.41), получим (2.2,52) ау = ен. й = ~ау„ (2.2,53) ОПТИМАЛЬНЫЕ 11ЫПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ 84 ~гл и Поскольку условия 1' — 4', (2.2.52), (2.2.53) должныиметьместо для любой системы вариаций, совместимой со связями, в даль нейшем полагаем их выполненными.
В результате в выражении (2.2.34) для вариации 61 останутся только члены, соответствую щие вариациям фазовых координат в начальной и конечной точ ках траектории. Во-вторых, из (2.2.31) и (2.2.34) с учетом (2.2.52), (2.2,53) получаем условие трансверсальности: 6АЧд+ Н~16Гд — (Р~~, бг,) — (з+,, 6Ч1 )+66)гк — Нгг61к + + (Рк, бгм) + (зн, 6ЧЕ) = О. (2,2.54) Входящие в (2.2.54) вариации бгь бгь 6Ч1 и бгк, бгк, 6ЧЕ вычисляются с учетом принадлежности фазовых векторов (1Ь гь Ч1 ) и (~к, гк, Чк) начальному М1 (2.2.6) и конечному М, (2.2.7) многообразиям. Вариации 6АУ'1 и 6А)гк определяются по формулам (2.2.35), (2.2.36) .
В общем случае системы варнаций фазовых координат в начальной и конечной точках связаны друг с другом и должны рассматриваться совместно (см. раздел 12.2.2). Предположим теперь, что многообразии М~ (2.2.6) и М '(2.2.7) не связаны друг с другом, как и системы вариаций фавовых координат в начальной и конечной точках. При етом для получения необходимых условий оптимальности в начальной точке 1 = 11положим сначала Ме — = бгп — = 6ЧЕ =— О.
(2.2.55) Соотношение (2.2.54) с учетом (2.2.55) дает условие трансверсальности в начальной точке: 6АЧ1+ Н~16~1 — (Р~1, бгг) — (з~~, 6Ч1 ) = О. (2.2.56) Аналогично, полагая в (2.2.54) 6Г1= бг, = 6Ч1' = О, (2.2,57) получим в конечной точке траектории при г = 1у условие трапс- версальности 6АКр,— Нкб~к+ (Рк,бге) + (зк,бЧт) = О. (2,2,58) Итак, необходимые условия оптимальности импульсных траекторий в начальной и конечной точках траектории прн наличии импульсов скорости в зтих точках на основании (2.2,52) (2.2.53), (2.2.54), (2.2.56), (2.2.58) формулируются следующпг1 образом. 5'.
Предельные значения вектора з справа в начальной точ ке и слева в конечной точке совпадают с едппичнымп векторами НКОВХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ 85 2 2.21 (2.2.60) в случае независимости систем вариации ЬГьбг„бЧ1 иб2л,бгя, ЬЧД Ьбр„(2пгиЧ, ) + Н, Ь~,— (Р1', бг,) — (а~~,бЧ, ) = О, (2.2.62) Ьбул (1л, гл, Чл) — Нр~б|л+ (Рл, бгл) + (вл, ЬЧ+и)= О, (2263) где Н+ = Н (г, + О), Н- = Н (2„— О), р~ = р (П + О), (2.2.64) р„— = р(2, — О).
С помощью функции Гамильтона (2.2.29) систему уравнений движения (2.1.22), (2.1.23) и сопряженную ей систему (2.2.21), (2.2.22) можно записать в гамильтоповой форме: (2.2.65) дч дп де ' др дН д2 дг ' (2.2.68) (2,2.66) соответственно. В ньютоновском гравитационном поле система (2.1.18), (2.1.19) автономна, для нее на каждой кеплеровой дуге между л-м н (я+1)-м импульсамп имеет место первый интеграл (см. соотношение (П.54) Приложения) Н(2) = (р, Ч) — (в, — ', )= сопз1 = С. (2.2.69) Поскольку функционал (2.212) не зависит от моментов приложения промежуточных импульсов дь й = 2, 3, ..., М вЂ” 1, имеет место непрерывность гамильтониана (2.2.47) и, следовательно, постоянная С в (2.2.69) одна и та же для любого 2~ (гь г ).
импульсов скорости: в(г, + 0) = е1 = — == е„ + ау, (ау,~ аул е(2к — 0) = вл = у — — — ел. = ~ау,,~ = 6. В начальной и конечной точках траектории выполняются условия трансверсальиости: в общем случае ббуг + НГЬ2, — (Р1', бг,) — (а+, ЬЧ, ) ( бдр„ — НИЬ2л+ (Ря,бги)+(ал ЬЧЯ = 0; (2,2.61) ОПТИЗ!ЛЛЬНЫЕ 1П!ПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ 86 ШЛ. 1, если моменты времени 11 и (нли) ь не заданы и не связа ны друг с другом, а Л(«1, Л(«„в (2.2.12) и М! (2.2.6), Мл (2.2,7) не зависят от г! и гл соответственно, то из (2.2.61) — (2.2.63) еле дует, что в (2.2.69) постоянная С = 0 и, следовательно, вдоль оптимальной импульсной траектории Н (!) = 0 у! ее (Ип !Е]. (2.2 70 ) Заметим, что непрерывность векторов сопряженных пере менных р и з вдоль оптимальнойимпульснойтраектории (2.2.44) (2.2.45) следует, вообще говоря, из общих свойств этих векторов (1.2.68), (1.2.69).
Перейдем теперь к выводу необходимого условия оптималь ности, связанного с установлением оптимального количества пм пульсов 1Ч на траектории. Предположим, что наряду с 1Ч-импульсной траенторией, для которой выполнены все выписанные ранее необходимые условия оптимальности, рассматривается близкая к ней (!Ч+ 1)-импульсная траектория (см.
$ 2.3), полученная пз походной траектории приложением на кеплеровой дуге между й-и и (1+ 1)-м импульсамп в момент г~ (гн 1„1) в точке г(!) = «(!)„+ бг, (2.2.71) где г(!)„— радиус-вектор аппарата на исходной 1Ч-импульсно!7! траектории, малого импульса 6ЛЧ = 6Ч+ — 6Ч; (2.2.72) здесь 6Ч+, 6Ч вЂ” вариации вектора скорости аппарата Ч(1)л на исходной 1Ч-импульсной траектории справа н слева от точки 1 соответственно (см.
рнс. 2.3.1). Вариацию характеристической скорости перелета в этом случае можно записать в виде Ы = 66. + ) 6Ч+ — 6Ч ), (2.2.73) где 66л — вариация характеристической скорости на исходной Ж-импульсной траектории, определяемая соотношение!! (2.2.14) Учитывая, что вариация (2.2.72) является <шариацией в точке'> (см. (2.2.27) прп бг, = 0), добавим к системе равенств (2.2.28) два аналогпчных равенства на пассивных дугах (!о 1) и (д г„,): (Р~,',бгь)+ (зь,бЧ!, ') — Нь6!1, =-.
(Р (!), бг)+ (з (!),6Ч ) = (2.2.74) (р (!), бг)+( (!),6Ч') = (р„э1, бг1ч,) + (з,. ! 6Ч1„!) — Н,„!6|1,.! = О. (2.2'э) Проделав те же выкладки, что п прп выводе соотношеп" пня 87 неовходныые условия Оптимальности з 2.2! 66 = 3 6ДЧ! [1 ~ (2). $ ~~~ 3М. (2.2.78) Из (2.2.78) следует, что если всюду на пассивных дугах исходной У-импульсной траектории з(2) < 1 У2~ (гь 22) В (22, 22) () ° ° () (гз-ь гз), (2.2.79) то исходная траектория локально не может быть улучшена добавлением (У+ 1)-го достаточно малого импульса. Коли же на некотором промежутке Лг внутри 1-й пассивной дуги з(г) >0, Сен Лгс (гь гьм), (2.2.80) из (2.2.78), (2.2.80) следует, что, прикладывая прп уг е= Лг про- извольньш малый импульс 6ЛЧ, для которого ( () бау) (2.2.81) получим на основании (2.2.78), (2.2.81) 66<0, (2.2.82) е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
