Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(2.2.47) ), (2.2Л08) перелетов Н(4 ) = Н(го). Функция переключения (1.2.35) длн импульсных с учетом (2.2.99) записывается в виде д = з — 1. (2.2 109) Рассмотрим гамильтениан (1.2.74), который с учетом (1.2.34), (1.2.35) запишем в виде Н =(Р, Ч)+(Я, й(г,г))+ ио — О. (2.2100) Переходя в (2.2.100) к пределу при гпахЛс„-с-О, й = 2... ..., 2У вЂ” 1, получим с учетом (2.2.90), (2.2.93) Н=(р, У)+(я,й(г,с)) Усоп [12,2й 11. (2.2.101) Совершая формально аналогичный предельный переход для активных участков, примыкающих к концам траектории, получим на основании (2.2.90), (2.2.95), (2.2.96) Н, = Н (21 — 0) =- ((р, У)+(в, й(г,г))]с + о(1), (2.2.102) Нс = Н(гс + 0) = — ](р, У) + (в, й(г, с))]1+о + О(1).
(2 2 103) По, как показано в разделе 2.2.1, в случае импульсных перелетов сопряженные переменные вводятся длн связи вариаций фазовых координат только на участках [саь, со+11. При этом предельные значения сопрнженных переменных при й — О, гс+О не рассматриваются, следовательно, не рассматриваются и предельные значении Нс (2.2.102) и Н,+.
(2.2.103). Поскольку Т [21+ + 0) = О. Т [гР~ — 0) = О, (2.2Л04) неовходиыые услОВия Оптпмллъности Наличие интеграла ( 2.2.99 ) и запись функции переключения в виде ( 2.2 109) фактически исключают переменную р, из дальнейшего рассмотрения. При шах бг,— «О функция переключения ,э из показанной па рис. 2.2.3, а переходит непрерывно в показанную на рнс. 2.2.3, б. Обозначая через ~, точки прилоя1ения импульсов, получаем (см. (2.2.46), (2.2.59), (2.2.60)) г(1,) =1, я=1,2,...,Х (2.2.110) Поскольку э е= Сэ [Гь 111, из геометрических соображений следует, что для внутренних импульсов (см.
(2.2.51) ) э'(г,) = О, й = 2, ..., 1Ч вЂ” 1; (2,2,111) что касается крайних точек, то здесь в общем случае г(1,) М О, г(~,) М О. (2.2.112) Оптимальная ориентация импульса определяется по-прежнему соотношением (1.2.34) (см. (2.2.46), (2.2.59), (2.2.60)). Из (2.2.109), (2.2.110), (2.2.111) предельным переходом получаем (см. рис. 2.2.3), что для оптимальных импульсных перелетов имеют место неравенства (2.2.87), (2.2.89): з(1) <1 И е= (1д+, 1ь+1), й = 1, 2,..., 1Ч вЂ” 1.
(2.2.113) Таким образом, полученное выше условие 7' строгой локальной оптимальности импульсных перелетов (см. соотношения (2.2.87) — (2.2.89)) эквивалентно условию максимума гамильтониана на оптимальном управлении, позволяющем среди всех стационарных управлений выделить управление, доставляющее минимум функционалу. При предельном переходе в условии трансверсальности (1.2.40) следует учесть, что 1) переменные р, и д уже исключены иэ рассмотрения '(см. соотношения (2.1.20) и (2.2.99) ); 2) вектор г непрерывен в точках 11 и 16 3) вектор Ч рассматривается на начальном и конечном многообразиях до и после импульса соответственно, т. е. в (1.2.40)' надо подставить Ч (й) = Ч(ц — 0) в начальной точке и Ч+(Г1) = = Ч(~1 + 0) з конечной точке; 4) для сопряженных переменных р, э и гамильтониана э точках й и 1, надо брать, на основании сказанного выше, предельные значения справа и слева соответственно.
П результате .для функционала (2.2.12) приходим к условиям трансверсальностн (2.2.61) — (2.2.63) в начальной и конечной точках. Поскольку переменные д и р, исключаются из рассмотрения, оответствующая краевая задача для оптимальных импульсных перелетов имеет 12-й порядок (ио числу компонент векторов г, ОПТПЗ1ЛЛЬНЫЕ ПТШУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ !Г.Л 1 Ч, р и з) вместо 14-го для конечной тяги (см.
конец раздета 1,2, ), '1етоды решения краевых задач оптимизации импульснь, перелетов подробно рассмотрены в з 3.3. Другой вывод необходимых условий оптимальности импуль сных перелетов из условий оптимальности перелетов с конечнок тягой, основанный на разложении последних в ряд по степенят малого параметра ~ АЕь и предельном переходе при ~'.~ АЕ„- О Ь=1 а=1 приведен в книге В. С. Новоселова [1]. 2.2.3. Условия трансверсальности при оптимальном выборе начальной или конечной точки перелета. Принцип окаймле ния. Рассмотрим условия трансверсальности (2.2.62), (2.2.63) для задач оптимизации импульсных перелетов в ньютоновском гравитационном поле при старте КА с заданной орбиты ИС плл вь1ходе на заданную орбиту ИС. Подробно одна из таких задач рассмотрена в гл.
Х. Будем считать, что 1) момент старта с орбиты Е1 и (или) момент выхода на ор- биту ЕУ не заданы и подлежат определению нз условий опти- мальности перелета (2.2.59) — (2.2.63), 2) функционал (2.2.12) задачи имеет вид а = ~ч", Ар„, (2. 2Л14) 3) краевые условия таковы, что Н~(Е1) = 0 или Н (Е;) = 0 (см. Я 3.2, 10.4). Рассмотрим для определенности задачу о старте КА с заданной орбиты ИС.
В начальный момент времени Е1 = 0 до импульса должны выполняться условия г(Е1) = р(Е,), (2.2Л15) Ч (Е1) ив м Ч(Е1 — 0) = р(Е1), (2.2Л16) где р — радиус-вектор точки на орбите ИС. Пусть орбита ИС задана тремя ортами, характеризую1цпмя ее ориентацию, фокальным параметром р и зксцентриситетоп с (см. з 10.1). Задачу рассматриваем в безразмерном виде, относя все линейные размеры к Вэ = р (2.2. 11 ') а скорости — к (2.2.118) где Е1 — гравитационная постоянная планеты. Правую ортогональную систему планетоцентрическпх коор динат Охуз выберем так, чтобы ось х была направлена в пери центр орбиты ИС, ось г была параллельна моменту коли 1естза движония ИС (см.
раздел 10.1.2). неОвходнл!ые хсловия Оптнв1вльности Па основании предположения 3) Н (1 ) = 0 н нз (2.2.70) Н (1)=Н(1,+0);=(Р~,Ч )) (в з~)1 =0 (22119) В этом случае для функционала (2.2.114) с учетом (2.2.119) условие трансверсальности (2.2.62) записывается в виде (р+, бгт) + (в+, 6Ч, ) = О.
(2.2.120) Из (2.2Л20), (2.2.115) и (2.2.116) получаем (р+ бр) 11, + (в+, бр) )1, = — О. (2.2.121) Вапншем с учетом (2.2.115), (2.2.116) гамильтониан (2,2.29) для р+ (11), в+ (11 ), Чт .' Н(р~,в~,г.,Ч )(1, =(р+,р)(1,— '(вв, — з)! . (22,122) 1 Входящие в (2.2.121) и (2.2.122) векторы р, р, бр, бр удобно выразить в виде функций истинной аномалии тт точки на орбите ИС. В рассматриваемой системе координат (см. з 10.4) п впч (2.2.123а (1+ е сов ч' 1+ е сов ч' (..
а) р = ( — втп тт, е+ сов Ч, О)„„, (2.2Л23б) еч=ч бр = ( — сов тт, — втп тт, О)„' „бтт. (2.2Л24б) Подставляя (2.2.123) в (2.2.122) и (2.2.124) в (2.2Л21), замечаем, что правая часть равенства (2.2.122) с точностью до ножителя,, совпадает с равенством (2.2Л21), следо- О + е сов Ч) з вательно, Н (р+, зе, °, Ч )11, — — (ре, Ч )1,, — (в+, — з)( = О. (2.2.125) Вычитая (2.2.125) пз (2.2.119) и повторяя выкладки (2.2.48)— (22.51) (с заменой рз нар," н в„на з+) с учетом (2.2.52), получим (2.2.126) елее общий вывод соотношения (2.2Л26), не использующий предположения 3), дан в разделе 2.3.3 (пример 2').
Сравнивая (2.2.52), (2.2Л26) с (2.2.46), (2.2.51), приходим " следующему результату. 96 Оптимальные иыпульсныв пвгклкты !гл и Рис. 2.2.4. (2.2.62), (2,2.63) в крайних точках эквивалентны условиям (2.2,126) п (или) (2.2.127) соответственно.
Полученному результату можно дать следующую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим для определенности оптимальный перелет из оптимальной точки 1 на орбите ИС в точку !т' на некотором конечном нсзчм многообразии (рис. 2.2.5) . Этому перелету соответствует оптимальная продолжительность с!У = !с — !!. Пусть заданная продолжительность перелета (2 2 128) ссв ) Гьт. ! ~~-!)!лезгФ' Тогда оптимальным является перелет, состоящий из движения по начальной орбите в течение пРомежУтка вРеменн Зсл — Г!У точки О до оптимальной точки схода 1 и Рпс.
2.2.6 по найденной ранее октимальной тр век торин перелета 1!т', поскольку прн успев"и (2.2.128) для соответствующих функционалов 6(1ол) ) 6(Г!л) = 1п16(ззл) У2сл ) 2 л (2 212 ,2 129) Таким образом, в оптимальной импульсной траектории прп ус лозин (2.2.128) к ранее найденной траектории добавляется "ас сивный участок перед импульсом на орбите (рис. 2.2 4), Ри этом импульс схода с орбиты оказывается внутренним и д. ля Если траектория оптимального импульсного перелета начп нается и (или) кончается в выбираемых оптимально точках ка орбитах ИС и начальный и (или) конечный моменты времени перелета не заданы, то годограф вектора з(!) в точках с! н (или) гу касается единичной сферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
