Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 23
Текст из файла (страница 23)
соотношение (2.3.15) ) определена г аг г гФ~ l-а юпуггг Р-З гагке г', ггу Ряс. 2.3.2. быть не может. В работах Ежевски [11, Ежевски, Розендаала [11 в вариации функционала учтены члены второго порядка малости от независимых вариаций, что позволяет приближенно найти велячину промежуточного импульса. Условие (2.3.18) указывает на целесообразность перехода от )г импульсной траектории к (гЧ+1)-импульсной траектории. При том вопрос о строгой локальной оптимальности (гЧ+1)-импульсИои траектории остается открытым и может быть выяснен после ре'пения соответствующей краевой задачи и изучения поведения функции з(г) на полученном решении. ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ И2 багга и Все сказанное остается в силе, если неравенство (2.3.18) им место сразу па нескольких участках траектории ЛГЬ г=1, 2, и (рис. 2.3.2, в). В этом случае целесообразен переход к (гЧ+и) им пульсной траектории, где 1('и, причем вопрос об оптимальное этой траектории, в частности о выборе числа п, должен выяснят„ ся путем решения соответствующей краевой задачи и изучения поведения функции в(г) на этом решении.
Пусть теперь в некоторой точке гв, отличной от точек прил жения импульсов )с=1, 2,..., гЧ, достигается (рис. 2.3.3, а) шах з(г) = з(гз) = 1, (2.3.22) ь зрюга Ьг) причем во всех остальных точках, отличных от точек приложения импульсов, имеет место (2.3.16). Тогда из (2.3.15) и (2.3.22) следует, что для любой вариации бйЧ(1э) 60)0, (2 3 23) причем знак равенства в (2.3.23) достигается лишь при условии бй Ч(г,)// а (г,), (2.3.24) аналогичном условию оптимальности (2.2.46). Следовательно, если достаточно малый импульс в точке ~э удовлетворяет условию ге гй/ l / гг г гг гг г г) Рис. 2.3.3. (2.3.24), то он не нарушит стационарности траектории.
Любой другой импульс в этой точке, как и всякий импульс в любой дру гой точке траектории, приводит к увеличению функционала. Таким образом, в случае (2.3.22) в линейном приближении нельзя судить о целесообразности перехода от )Ч-импульсной траектории к (гЧ+1)-импульсной траектории. Для решения этого вопроса на до решить задачу оптимизации перелета для траектории с )Ч+ импульсом, задавая в качестве начального приближения траекто рию перелета, близкую к исходной, с малым, но конечным импуль сом в точке гэ, удовлетворяющим условию (2.3.24), и сравнить полученный функционал Свы с исходным 6в. Проведенные рассуждения очевидным образом обобщаются н на случай, когда равенство (2.3.22) имеет место в нескольких точ"э ках хз| улучшвнив неоптнз|альных пкэелетов 2|З а траектории (рис.
2.3.3, б). Если равенство (2.3.22) достигается процессе решения задачи оптимизации перелета, непрерывно ависящей от вектора параметров, при некотором значении этого ектора, то можно показать, что в точке Г„опти»гальным является есконечно малый импульс 6ЛЧ (подробнее см. ния|е). Рассмотрим вопрос о практическом применении полученных результатов. Отметим, как и при выводе необходимых условий оптимальности (см. раздел 2.2.1, условие 7'), «односторонний» характер полученных критериев: все они позволяют судить о целесообразности перехода от Ж-импульсной траектории к траектории с большим количеством импульсов.
Поэтому надо начинать решение задачи оптимизации перелета с рассмотрения траекторий с минимально необходимьп| количеством импульсов, постепенно, в случае надобности, увеличивая количество импульсов. Заметим, что если количество импульсов не задавать, а определять в процессе решения краевой задачи, то полученные решения задач оптимизации оконечными импульсами могут быть таковы,что в них часть «старых» импульсов (соответствующих исходной траектории) может отсутствовать. Поэтому в результате применения рассмотренных выше критериев могут быть получены оптимальные траектории с меньшим, чем на исходной траектории, количеством импульсов. Пусть решение задачи оптимизации перелета КА зависит от некоторого (для простоты — скалярного) параметра с, принимающего значения из некоторой области П.
Будем полагать, что параметр с входит в краевые условия задачи и правые части системы уравнений движения так, что решение вариационной задачи непрерывно зависит от с (Л. С. Понтрягин (1)). Предположим, что ври некоторых заданных Г«и АР найдено строго локально оптимальное решение задачи оптимизации перелета КА. Будем теперь непрерывно изменять параметр с в области В, начиная со значения с = са. При этом решение сопряженной системы, з частности вектор э(2, с), будет непрерывно меняться в зависимости от с.
Заметим, что в рассматриваемом случае решение задачи при г«ы=с|+Лс, целесообразно проводить, используя итеративные Катоды типа метода непрерывности (по параметру с) (Моррей |1|, 'а"омпкинс (1) ). При нахождении решения краевой задачи «ла с=см| в качестве начального приближения используется рва|ение задачи при с=се Если окажется, что во всех точках траектории, исключая точки Эркложепия импульсов, 2(г с) (1 усеед, (2.3.25) )«-импульспые траектории строго локально оптимальны для гех с~В, в а. Нлъвм, Г. В. Куамаа ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ ~гл. и Пусть теперь в некоторой точке траектории»е Г (», (рис.
2.3.4) г(»„, с .) = 11ш г(»с, с) =. 1 — О, (2.3.26) с-»с» — 0 причем г(»», сс) = О. Таким образом, в точке» = »з при с =се+О выполпяются все пе. обходимые условия приложения (Л»+1)-го импульса. Но вследствие (2.3.26) и (2.3.27) полученную траекторию можно по-прежнему считать Л»-импульсной»~аекторией, так как босконечио малым с( l Е сс„<с Рис. 2.3.4. изменением с можно осуществить бесконечно малое упеаьшение з(»с, се). В результате получаем, что при с = с + О рсгзсние вариационной задачи соответствует (Л»+1)-импульсной треск торин с бесконечно малым импульсом, пркложетпплм в точке Положим (2 3,30) с —.-- св + Лс, Лс ) О, гдо Лс достаточно мало. Коли теперь решить вариационную зад ч .
для )т'-импульсной траектории при указанном с, то вследс™ (2.3.27), (2.3.28) придем для функции з(», с) к ситуации, рз дс(»», с) / дс )с с» Неравенство (2.3.27) означает, что при с) ности са г(», с))1 в некоторой окрестности точки» = »с. Поскольку для любого сз=Р вектор з(», ренцируем по», в точке»=»е достигается (2,3тП) се в некоторой окрест- (2.3.28) с) непрерывно диффе шах г(»,с ) и (с) (2.3.29) «ьн глгчшкнив нвоптизыльных пвгвлвтов 115 ~отренной выше в общем случае при анализе перехода от Ф-и»«- ульсной траектории к ()Ч+1)-импульсной траектории. В резульате для определения дополнительного импульса бЛЧ имеем соотяо1пения (2.3.20), (2.3.21).
Из проведенных рассуждений следует, го величина импульса )бЛЧ) при соответствующем выборе Лс достаточно мала. Вто позволяет при определении ()Ч+1)-импульсной траекторпи применять итеративные методы, используя в качестве исходного приближения решение задачи при с = с«Решив задачу оптнмизации ()Ч+1)-иьгпульсного перелета при с=с»+Лс, например, с помощью экстремального подхода (см.
раздел 3.3.2), снова анализируем для нее функцию з(Г, с), после чего описанный зьппе процесс повторяегся,и т. д. Поскольку в рассматриваемом случае импульс бЛЧ можно всегда выбором Лс сделать достаточно малым по модулю, для решения задачи можно использовать линеаризацию искомой траектории относительно исходной У-импульсной траектории (Ежевски [1], Ежовскп, Розепдаал [1], Лабом, Хэнделсмсн [1], Мйнкофф, Лайон [1]).
Прн этом для записи связи между вариациями фазового вектора па кеплеровой дуге между й-и и (й+1)-и импульсами можно использовать аппарат переходных матриц (см. формулу (П.17) Приложепия, Бэттпп [2), В. И. Чарный [2, 3), П. Е. Эльясберг [2]). Проведенные рассмотрения остаются в силе, есзп решение вариацконпой задачи зависит от вектора параметров с. В этом случае (2.3.31) Пусть, как и рапее, 1»и сэтаковы, что па псходпой )Ч-импульсной тРаектории г(гв, с ) =1, (2.3.32) ягай г(г, с) ) =~ О. (2.3.33) (с) )с=«», с=с» В качестве вектора Лс в соотношепии, аналогичном (2.3.30), кожно рассматривать любой достаточно малый по норме вектор с для которого (Лс, ягайг(1», с )) ) О.
(2.3.34) усл (с) кач словие (2.3.33) является обобщением условия (2.3.27). Если в ачестве Лс взять вектор Лс)) огай з(г, с»), (2.3.35) )') гэ ц Ря заданной порно ~)Лс)) = у(Лс, Лс) вектору (2.3.35) соотз„ствует наиболее «глубокий» переход в область (»Ч+ 1)-имльсиых траекторий. 116 ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ юл „ 2.3.3.Исходная )т'-импульсная траектория неоптимальна. П, Усть исходная )у-импульсная траектория не удовлетворяет всей соз овокупности необходимых условий оптимальности перелета. Как у,„ Уже отмечалось в разделе 2.3.1, задавая различные условия для опр деления решений сопряженной системы, можно получать развя, пые выражеппя для вариации Ы (2.3.7). Распорядимся произво лом в выборе этих условий, чтобы получить достаточно удобно для практического использования выражение 66.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
