Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В случае параболы Т:= О и направление д ижения аппарата до импульса не определено, после же конечного импульса аппара. переходит на асимптоту некоторой гиперболы, характеризуемую вектором У . Па основании сказанного условие (2.2.7) попадапеа + траектории на заданное конечное многообразие л1 можно зале сать в виде откуда (2,2.158) (2,2.157), а„=(з (=1. Из непрерывности гамильтониана Н(г) в точке г = оо и как и при выводе (2.2.51), получим г = 11ш г (1) = О, 1-~ о что, очевидно, следует из (2.2.138). Переходя в (2.2.63) к пределу, с учетом (2.2Л38), (2.2.154), (2.2Л56) получим условие трансверсальности печно удаленной точке: (з , 6 т ) = О, где бт"+ вычисляется с учетом связи (2.2.155).
В рассматриваемом случае выполняется и принцип ния. Чтобы показать зто, рассмотрим задачу с краевым (2,2Л59) (2,2Л39), в бсско- (2.2,169) окаймла условиеи У, ЕМ (2.2.155) Характеристическая скорость для рассматриваемых траекторий дается функционалом (2.2.12) при ЛУ вЂ” = О. (2.2.156) В основе всех рассмотрений в разделе 2.2.1 лежат соотношения (2.2.23), которые прн установленной непрерывности р(г), з(г) и Н(г) в точке г = оо справедливы и для кеплеровой дуги, проходящей через бесконечно удаленную точку.
Повторяя почти дословно все рассуждения, проведенные в разделе 2.2Л при выводе необходимых условий оптимальности, получим для рассматриваемой траектории с импульсом в бесконечно удаленной точке все необходимые условия оптимальности 1', 2' (2.2.44), (2.2.45), 3' (2.2.46), 4' (2.2.47) — (2.2.51), 5' (2.2.59), 6' (2.2.62). Условие оптимальности импульса в бесконечно удаленной точке запишется в виде, аналогичном (2.2.60): от' (2,2 157) НКОВХОДИМЫВ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ з г.з1 (2.2.155) в виде Тогда Ч+ = Ч = сопев. 6Ч+= 0 (2.2 161) (2.2.162) и условие (2.2.160) удовлетворяется при любом векторе з„. Но многообразию (2.2.161) па бесконечном удалении от центра тяготения соответствует сколь угодно длительное движение аппарата без затраты топлива по вырожденной кеплеровой дуге — прлмой с направляющим вектором Ч+, являющейся асимптотой некоторой гиперболы.
Следовательно, к рассматриваемой траектории применим принцип окаймления. Таким образом, бесконечно удаленная точка с импульсом в ней всегда может считаться «внутренней» точкой траектории. Этот геометрический результат соответствует, очевидно, тому, что для любой рассматриваемой кеплеровой дуги имеет место (2.2.159). Из сказанного следует, что едипственным существенным условием оптимальности импульса в бесконечности является условие (2.2.157), условие же (2.2.159), являющееся следствием общих свойств решения сопряженной системы на оптимальной траектории, может не учитываться. Поскольку для параболической дуги всегда имеет место (2.2.150), на основании изложенного приходим к выводу, что оптимальный конечный импульс в бесконечности может сообщаться КА только на гиперболической дуге (см.
ниже). Рассмотрим наряду с исходной траекторией с импульсами в конечных точках, удовлетворяющей в них условиям строгой локальной оптимальности, варьированную траекторию, полученную из исходной приложением в бесконечно удаленной точке малого импульса (см. (2.2.72) ) 6АЧ = 6Ч+ — 6Ч (2.2.163) боЧ Ы=(6АЧ ) 1 — г, ~ " ) .
(2.2.164) " ~бау„() ' Из (2.2.164), как и при выводе необходимого условия оптимальности 7' (см. соотношения (2.2.79), (2.2.83) — (2.2.85)), получим: Если г <1, (2.2.165) где 6Ч~, 6Ч вЂ” вариации вектора скорости КА на бесконечности справа и слева соответственно. Тогда, повторяя практически без изменений все рассуждения, проведенные при получении соотношения (2.2.78) в разделе 2.2.1, получим для вариации функционала 66, обусловленной импульсом (2.2.163), аналогичное соотношение: ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПИЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ юл. и то приложение конечного малого импульса скорости в бесконеч удаленной точке в рамках линейного анализа нецелесообразно Если же г„= 1, (2.2,166) то достаточно малый импульс бпч, удовлетворяющий условя, 6ЛУ ~в, (2.2.167) не нарушает стационарности исходной траектории.
Любой же дру гой малый конечный импульс в бесконечно удаленной точке з рамках линейного анализа ухудшает функционал. Если скорость аппарата на бесконечности отлична от нуля; ')'г' !) О, (2.2.168) т. е. аппарат движется по асимптоте гиперболы, то для оптимальной Х-импульсной траектории, уход на бесконечность вдоль которой осуществляется по гиперболической дуге, оказывается справедливым необходимое условие оптимальности 7' (2.2.87)— (2.2.89).
Пусть теперь дугой оптимальной и'-импульсной траектории, уходящей на бесконечность, является парабола и У„= О. (2.2.169) Поскольку для параболы имеет место соотношение (2.2 150), в этом случае в бесконечно удаленной точке нельзя, на основании сказанного, приложить ионечный импульс. Но если КА сообщается исчезающе малый импульс бпУ вЂ” О, (2.2.170) то он, как ато следует из (2.2.164), никогда не нарушает условия стационарности, так как 11ш бс7 = О.
(2.2.171) ~ЬАЧ )- О Поскольку вектор скорости аппарата в бесконечности У на исходной параболе равен нулю, с помощью исчозающе малого импульса (2.2 170) можно получить вектор скорости У+ = О, (2.2 172) ориентацию ноторото можно считать,сколь угодно сильно отличающейся от ориентации вектора 1г (2.2.169). В результате с помощью исчезающе малого импульса можно получить параболиче скую дугу, сколь угодно сильно отличающуюся от исходной параболической дуги. Если зта дуга, в свою очередь, принадлея'ят некоторой импульсной траектории, во всех конечных точках кото рой выполняются условия строгой локальной оптимальности, т то 105 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ Онтныапвиоотн 1ЕП « вся траектория в целом, состоящая из двух траекторий — исход«ой и полученной с помощью исчезающе малого импульса (2.2.170) в бесконечно удаленной точке — являетсн строго ло«ально оптимальной.
Из изложенного следует также, что оптимальная параболичес«ая дуга не может перейти в оптимальную гиперболическую дугу «обратно с помощью оптимального импульса па бесконечпости. Допустив возможность такого перехода, придем к тому, что вектор з(1), вследствие (2.2.150), (2.2.158), будет разрывен во внутреп«ей точке траектории г = оо, что недопустимо па оптимальной траектории (см. условие 2' (2.2.45) в разделе 2.2.1). Заметим, что исчезающе малая вариация вектора скорости илп радиуса-вектора в любой точке траектории, согласно (2.2.78), (2,2 164), не нарушает стационарпости функционала.
Однако в любой конечной точке опа оставляет траекторию движения неизменной, поэтому ее рассмотрение имеет смысл только в бесконечно удаленной точке, где она приводит к конечным изменениям в траектории. Проведенный анализ позволяет сформулировать для практического решения задач оптимизации траекторий, имеющих в своем составе параболические илп гиперболические дуги, проходящие через бесконечно удаленную точку, следующие правила: а'. Оптимальный конечный импульс может сообщаться КА в бесконечно удаленной точке только на оптимальной гиперболической дуге, при этом гиперболическая дуга может перейти только з оптимальную гпперболическу»О дугу.
б', На оптимальной параболической дуге в бесконечно удаленной точке КА может сообщаться только исчезающе малый импульс, при атом параболическая дуга может перейти только в оптималызу«о параболическую дугу. 'Таким образом, для строго локально оптимальных траекторий перелетов КА, имеющих в своем составе бесконечно удаленные ~очки, должны выполняться все необходимые условия оптимальности, полученные в разделах 2.2.1, 2.2.3, включая соответствую%ив условия оптимачьности конечного импульса (2.2.157), (2 2.158) в бесконечно удаленной точке на гиперболической дуге.
Рассмотрим теперь траектории, проходящие через бесконечно Удаленную точку в «точном» гравитационном поле (1.1.17). В этом случае при всех конечных )г;! и достаточно больших (г( гравитационное ускорение (1.1.17) представимо в виде д(г,1) =- — — ", ~'„р, — , 'О~ —,' '). (2.2.173) 1=1 Из (2 2.173) получаем, что любое «точное» поле при достаточ больших г сколь угодно близко к ньютоновскому полю 106 ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ ,'гл „ с потенциалом (2.2.174) Поскольку второй член в (2.2.173) представляет малую более в, сокого порядка по сравнению с первым, он не оказывает влияния на оценки (2.2.140) — (2.2.146).
Из этого для случая произвол» ного «точного» поля (1.1.17) следуют предельные соотпо|пепаа (2.2.138), (2.2 139), а с ними и все общие результаты, относящие. ся к необходимым условиям оптимальности траекторий, проходя щих через бесконечно удаленную точку. Поскольку для рассматриваемого поля Ишя(г,1) = О, (2.2 175) г.го скорость аппарата на пассивном участке фазовой траектории, ухо дящем в бесконечность, при г — ~,оо стремится, как и в ньютоновском поле, к конечному пределу Пш Ч (г, 1) = Ч ==- совз1. (2.2 176) Это дает возможность различать пассивные дуги, для которых )Ч„!)О, (2.2.177) н пассивные дуги, для которых (2.2.178) )Ч ) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
