Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Е. Эльясберг 11, 2] и раздел 5.1.4). Мо,кп добиться некоторых упрощений в вычислениях, если лппсари, вать варьпрованную траекторию отпосительно опорной и испол зовать аппарат переходных матриц (см. раздел 2.3.2). Однако и этом случае, особенно при болыпом количестве импульсов, вьшвс пения оказываются достаточно громоздкими. Определение же вектора ягай6 (2.3.64) с помощью рошшцш сопряжонной системы, удовлетворяющего условиям (2.3.36), осе бенно с использованием известных аналитических решений сопря женной системы (см.
~ 3.1), может оказаться значительно прощ~ Существенным преимуществом использования сопряженной св стемы по сравнению с прямой оптимизацией в фазовом прострап стве является важная дополнительная информация, позволяющая в процессе и результате вычислений устанавливать либо строгую локальную оптимальность самой У-импульсной схемы, лпбо целесообразность перехода к другой схеме перелета за счет введения дополнительных промежуточных импульсов. Примеры, иллюстрирующие применение изложенных выше общих положений для оптимизации схем меншлапетных перелетов ПА, рассмотрены в $10.4 и $12.5. Подробное изложение конкретных алгоритмов и результатов вычисления оптимальных перелетов с использованием сопряжеппой системы читатель найдет в упомянутых статьях Ежевски [1], Ежевски, Розендаала 11], Минкоффа, Лайона 11], в работе Гросса, Прассинга (1].
., ГЛАНА Ш СОПВЯЖЕННАЯ СИСТЕМА В НЬЮТОНОВСКОМ ГРАВИТАЦИОННОМ НОЛЕ $ 3.1. Общее рсшснпс сопряженной системы Сопряжепная система (2.2.21), (2.2.22) при известпой фазовой траектории представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Прн движении КА в ньютоновском гравитационном поле под действием имвульспой тяги система (2.2.21а), (2.2.22) рассматривается па фазовых траекториях, представляющих в общем случае дуги конических сечений — ксплеровы траектории. Оказывается, что на кеплеровых траекториях можно найти общее рсшсгие системы (2.2.21а), (2.2.22) в достаточно простой аналитической формо. В настоящее время можно указать на два подхода и интегрированию сопряженной системы.
В первом подходе интегралы сопряженной гпстоиы уравнений ва ксплеровых дугах получены путом непосредственного интегрирования спстеиьг (2.2.21а), (2.2.22). Втот подход принадлежит Лоудену [7, 9]. Полное излолзенпе своего метода и основных результатов Лоудон дал в работе [24]. Другие способы решения сопряженной системы в рамках этого же подхода рассмотрены в работах Бернса [Ц, Глэндорфа [Ц, Гравье, Маршала. Калпа [1, 4], Хемпела [Ц, Экенуилсра [Ц. Во втором подходе решение сопряженной системы в ньютоновском гравитационном поле получается па основе известных связей "ежду решениямп систем дифференциальных уравнений и соответствующих систем уравнений в вариациях и сопряженной систеим (Биркгоф [Ц, Пуанкаре [Ц, Уиттекер [Ц). Изложение поРзченных здесь результатов дано в статьях В.
И. Чарного [1, 2, 3]. яд Результатов, относящихся непосредственно к системе (2.2.21а), (2222), в этом направлении был получен в работах С. В. Дубов- кого [1, 2], Лайопа, Хзнделсмена [Ц, Пауэрса, Тэпли [Ц. Воросы решения сопряженной системы уравпений на кеплеровых ду ах в рамках кеокдого из указанных подходов подробно рассмотв книге В.
С. Новоселова [Ц. ете ~ 1 1. Решение Лоудена. Как было показано в разделе 2.2.1, си ма Уравнений (в оезразмерпых переменных) (2.2.21а), (2.2.22) 134 сопгяжгн!!вя систяв!в в пыотоповсном !вот!в !г,'! и для определения сопряженных векторов р и в в ньютоновском витацнонпом поле имеет впд гр в 3 — — — (в, г) —,г, гн ге г*' (3.13) гв — — — р. Ш (,'! ) !) Кистома уравнений (3.1.'1) н (3.1.2) определяет вокторы сспря жснных переменных р и в па всей траектории в случае ттвтпут!ь .
пой тяги (см. 3 2.2) и па пассивных участках движения КА в слу час конечной тяги. Исключая из (3.1.1) и (3.'1.2) р, получим линейное уравпсввс второго порядка для г: гтв в 3 — = — — 3+ —.. (в~ т) т'. (3.1.3) Для интегрирования уравнения (3.1.3) рассмотрим его в проекциях на оси подвижной декартовой системы координат Огтг (рис. 3.1.1), начало которой совпадает с центром притяжения, плоскость Огт совпадает с плоскостыс кеплеровой дуги траектории КА, ось Ог направлена по радиусу-вектору центра масс КА, трансверсаль т направлена в сторону движения аппарата, нормаль к плоскости орбиты Ог дополняет систему до правой. В проекциях на эти оси г = (г„г„г,).
(31.4) Н = ( в', У) + (в, —,) = С' = сопв1. (3 1.5) Обозначим через р и е фокальный параметр и эксцсптрисптст кеплеровой дуги соответственно, через т) — истинную апомаля ятс КА при движении по этой дуге. В случае движения КА по круговой орбите общее решевв' уравнения (ЗЛ.З) для вектора г (3.1.4) записывается в впдс г,=А сов тт+В втп тт+2С, (ЗЛ.6) г,=26 сов т1 — 2Л в!и тт —,эСтт+О, (3,7 1,7) г,=Е сов т)+Гати т), (3.1. ) ,1.6) Так как рассматриваемое гравитацвгис. 3.1.1.
онпое поле стационарно, система урав- нений (3.1.1) и (3.1.2) имеет первый интеграл (2.2.69), который запишем в виде овщвк нвшвнив сопюштктшои снствмы 125 А В, С, В, Е, Р— постоянные, причем С' в (3.1.5) совпадает , С в (3 1 6) (о 1 7). Заметим, что решепие (3.1.6) — (3.'1.7) с точностью до обознаиия произвольных постоянных совпадает с решением (1.3.56) (6.1.9), полученным при липеаризации движения КА в окрестсти круговой орбиты. При еФО общее решение уравпепия (3.1.3) имоот вид в, =А сов т)+Ве вш т)+С1,, (:!. !.9) в, .= — Авшт)+ В('! -)- асов т!) — ! + Сд, (3.1 КО) '! -!- е гов ~! Г.
сов т! -, 'я его Ч 1.)- е гов ч (3.1Л1) где т т =-- в(тт л~! т) 3 в(втт! (1+ е сов т!)'-" (3.1Л2) 7в 'Яч +1+'"'Ч1,. (ЗЛЛЗ) е(1+есовт!) египт! входящего в 7т, сводится, как известно, к интегрированию рациоаального выражения заменой х=1я —" (Л. д. Кудрявцев 11), т. 1). Проведя непосредственные выкладки, получим (Лоуден [91): при е Ф 1 1 ) 1 фо 2(1 — е)е " 2 1 1 ее в(п т! 2 (1 -)- е)в Ч (1 — е")' 1+ е сов т! вяжиЂ 2 ав атс16 ! у —,(я —,! для е(1, (ЗЛ.15 а) (! ее)в' е (У '1-(-» 2 При вычислении интеграла ет аддитивную постоянную надо считать равной нулю, поскольку в соотношениях (3.1.9), (3.1ЛО) сна уже учтена.
В (3.1.9) — (3.1.11) А,В,С,В,Е и Р— постоянные интегрирования, постоянная интегрирования С в (ЗЛ.9), (3.1.10) отличается от постоянной С' в интеграле (3.1.5) множителем р/е. Вычисление интеграла (3.1.14) ,! влРт) (1+ е сов т!)в' 128 сопгяжсннля систеыл В ньютоновском поле 1тт 1 т! 1 1 ев вшт! — е)е 2 2 (1+ е)в т! (1 — ев)Я 1+ е сов Ч .18... + 18— 2 2 (1 бея — 1я — + — (с — + — (я я Ч 1 з Ч 8 40 2 8 ь 2 8 —,") для е 1; (3.!.15 б) Ч 1 818 — ! 2 для е — 1, (3.
! С)8) где евшгЧ вЂ” соа Ч 1 ее (3 1 22) е в(в т! (1+ е сов тбв е вш т) Другие формы записи решения сопряженной системы пррсс депы в работах Глзндорфа [1], Гравье, Маршала, Калпа [1, 41 С. В. Дубовского [1, 2], Хемпела [1], В. И. Парного [2, 3], Вкс нуилера [1]. ЗА.2. Особенности решения в апсидальньтх точках кеплеровой дуги. Входжцие в решение сопряженной системы интегралы 1!, 1г, 1з содержат особенности при Ч=О.
В случае эллиптическоп кеплеровой дуги необходимо также рассмотреть особенное™ я указанных интегралах и при Ч = 180'. В случае параболпчсско" и гиперболической,дуг прп Ограничении (см. (2,2А)) г( оо (3 1.~ ') (;.!.)бв) Используя полученные решения для вектора в, найдем с по. мощью (3.1.2) соответствующие соотношения для проекций все. тора р яа оси г, т, г. Прн е=0 с учетом того, что безразмерная угловая скорость т) =а "', где а — безразмерный радиус круговой орбиты, получаем 1 Р =,зтг( — Ая!пЧ+ВсовЧ вЂ” ЗСЧ+П), (3.!.16) ! Р, = емг(Л соя т! + В вш т! -! С), (3. ! .17) Р, = зтг( — Е соз т)+ Ея(п Ч).
Прп е Ф 0 имеем Ъ'л [ — Ав)пч+1т +В СХ) ге ( 1+есовт! 1 Р, = зтг (А (е + сов т!) — Ре в(п Ч вЂ” С соя т!), (ЗЛ 20) Р 1 Р = за(Еа(пт! — Р(саят)+е)), (3.1.21) Овщее Решентте сопРяткеетнои сттстемы 127 ( 1,3.27 ) следует: 1 соз Ч) — —, (3.1.21) (3.1.25) (3.1.26) то при е)1 дает Если же т~ < 180'. 1 г — е- ~о, т.е. сов т7-е- — —, то таким траекториям соответствует бесконечная продолттсительность перелета (см. раздел 3.2.3), в результате чего С=О ЗЛ.27 ~с= — — + — т1 — — ~ — ! + 0(т) ) для е = 1 1 2 1 тт с~ е 4 4 12~2/ Заметим, что удержание трех явных членов в разложении (3.1.29) необходимо для раскрытия соответствующей неопределенности а интеграле 1з. Используя разложения (3.1.28), (3.1.29) для раскрытия пе'пределенности типа оо — со в интеграле 7з (ЗЛЛЗ), получим (с Учетом печетпости 1з по т7) 7,= ( ) + тт+0(т1з) для а~1, (3.1.30) уе = — Ч ) 0(т)т) длЯ е = 1.
2 (3.1.3!) ( ) и интегралы 1с, 7з и 7з по входят в решение сопряженной системы. давим образом, для параболической и гиперболической дуг в рас- смотрении особенностей в 7ь 7Е 7, при условии (3.1.20) нот не- обходимости, Как указывалось ранее (см. раздел 1.2.3), при условии 0(г< <оо решение сопряженной системы всюду является ограничен- ным и достаточно гладким, постону при т7-е-0 и тт-+.180' (по- следнее для е(1) интегралы 1ь 1з и 1з должны стремиться к ко- нечным пределам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
