Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Следовательно, отьтечепные особенности в ннх о представляют собой неопределенности типа —,оо — оо и оо — оо о соответственно. Рассмотрим спачала 7с, 7зи 1з в окрестности точки тт = 0 и вы- пишем первые члены разложений соответствующих интегралов в ряды по степеням тт. Воспользовавшись соотношениями (3.1.12) Е (3.1Л5), получим (с учетом четности 7с по тт) 7т= — + 1 1 1 + е 3 Зе' 2 е (1 + е)е (1 — ее)е ~ 2 ~ — + е — — ~ т) + 0(т1 ) для е ~ 1, 1+ е/ (3.1.28) (3.1.29) 128 сопгяженная системА в ньютоновском поле )гл. Ен Аналогично, для интеграла 7з (ЗЛ.22) получим (с учетом и м пе четности 1з по т)) — 3 + те — 5ез — ез уз 20 — ез)з(! ) ) т) ) 0(Ч') для еч= 1, (3.1.32) ее= )5 +0(Ч) „)з для е = '1. (3,1 33) Для раскрытия неопределенности в окрсстпостл точки 0=180.
ярв е ( 1 полояевм з) = !80' — ЛЧ (3) е) и выпишем первые члены разложения соответствующих пвтегра лов по степеням ЛЧ в окрестности точки ЛЧ = — О. Поскольку раз лозковие функции (3.1.35) у = агс1ях в окрестоостн точек х = -~ оо имеет впд я ! 1 /)) р = — и!Яп х — — + — — + 0 ( — з), 2 х 3 хз )хз)' (ЗЛ.30) получим для последнего члена в (3.1.15а) при Ч -е- '!80' т/! — е Ч) я асс!8('у — 1я 2) = — з)япЛЧ— 1+е ! — етя Ч З ~! — е/,яз Ч „Ез Ч 2 2 ~, 2,) Используя разложение (ЗЛ.З7) и делая замену (3.1.34), получим аналогично тому, как это сделано выше, при е ( 1 в окрестности точки Ч = 180' 1 без I я .
) — 1+е+5ез+ Зез Ьлз 1 = — — ~ — з1яп Лт) )Лт)+ (! — е)з (1 ез)з/3'( 2 ) (1 — е)(1 — ез)з 2 — + + 0 (Лз)з) (3.1.38) (1 ез) З72 (1 — ез)зз ЗЛ.З. О записи решения в различных системах координат. К»к следует из общих результатов, приведенных в Приложении, вид и решение сопряженной системы уравнений зависят от выборе вектора фазовых координат. При замене переменных, входяп!Ях состав фазового вектора, можно, зная решение сопряженной с, " ся- стемы для исходного фазового вектора, найти с помощью ляпая ного преобразования (см формулу (П.41) Приложения) соотв твез" евшее Решение сопРяженной системы 129 1 з.с1 твующее решение сопряженной системы для измененного фазового вектора.
При рассмотрении траекторий КА в ньютоновском гравитацирпном поле используются, как правило, три основные системы координат: (1) инерциальная прямоугольная декартова система координат Охуз, рассмотренная в разделе 1.3.1 (см. уравнения (1.3.1)— (1.3.6) ); (2) подвижная декартова система координат Огтз, рассмотреняая в разделе 3.1.1 (см. рис. 3.1.1); (3) подвижная цилиндрическая система координат Огфз (рис. 1.3.1), рассмотренная в разделах 1.3.1, 1.3.2 (см. уравнения (1,3.12) — (1.3.19) в общем случае и уравнения (1.3.46) — (1.3.55) при липеаризации уравнений движения относительно круговой орбиты) .
Можду системами (1) Охуз, (2) Огтз, с одной стороны, и системой (3) Огфз, с другой стороны, имеется существенное различие. В каждой из систем Охуз и Огсз фазовыми векторами являютоя радиус-вектор г и вектор скорости аппарат Ч, заданные своими декартовыми компонентами на о~си системы Охуз или системы Огтз. Что ~касается системы (3) Огфз, то здесь, как это следует из систем уравнений (1.3.12), (1.3.13 )и (1.3.46), (1.3.47), фазовым вектором является вектор у=(г,ф,з,Ч), (3.1.41) отличный от фазового вектора (3.1.42) х=(г, Ч), использованного в первых двух системах. Покажем, что в случае систем (1) Охуз и (2) Огтз сопряжениые векторы р и з пе зависят от выбора той или другой системы координат для записи уравнений двиясения. Проведем зти рассуждения для уравнений движения КА в произвольном стационарном гравитационном поле, рассматриваемых в двух декартовых системах координат: инерциальной и вращающейся относительно нее с угловой скоростью ю.
Будем обозначать полную производную векторов †,, †, в инерКиальной системе коордипат через р, з соответственно, а полную кРоизводную зтих же векторов во вращающейся системе коордиь Иат — через р, з соответственно. Тогда (3.1.45) р.=р+[ю р[ з = — й+[аь, и]. (3.!.44) 1в А. Ильин, Г. Е. Кузиьк 1ЗО сопгяжвнная спствмл в ньютоновском полк ~гл Л. щ Зг ЛЧ Обозначим полные производные —, — в иперциальной и вращая'а ющейся системах координат также через г, Ч и г, Ч соответственно.
Поскольку г =-г+[ю,г], Ч .= Ч + [ю, Ч], (3.1.47) (3.'1.48) запишем, подставляя (3.1.47), (3.1.48) в (2.1.22), (2.1.23), уравнеппя движепия аппарата во вращающейся системе координат: г =Ч вЂ” [ю, г], (3.1.49) Ч = я (г) — [ез, Ч]. (3.1.50) Ооозпачая соответствующие сопряженные переменные во вращающейся системе координат через р и з и гамнльтопиан системы (3.1.49), (3.1.50) через Й, имеем Н = (р, Ч) — (р, [ю, г)) + (е, я(г)) — (з, [ю, Ч]). (3 1.51) С учетом известного свойства смешанного произведения трех векторов уравпения для определения векторов р и з записываются в виде -"= — "=-(-") ~ -~ Нз дй дг дЧ вЂ” = — — = — р+ [е, ю~.
(3,1 52) (3.1.53) Поскольку производные по г в (3.1.45), (3.1.46) и (3.1.52), (3.1 53) вычисляются в одной и той же вращающейся системе координат зтн уравнения тождественны и р=р, з=е. Заметим, что в разделе 31.1 исходная сопряженная систем" (3.1.1), (3.1.2) записана в инерциальной системе координат ОХУЯ а в процессе ее решения векторы р и а спроектированы на ос Подставляя (3.1.43) и (3.1.44) в (2.2.21), (2.2.22) соответствепво получим систему уравнений для определения векторов р и з з„ вращающейся системе координат: Реч[рю! (3 1.45) е = — р+ [е, ю]. (3 1 46) ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СОПРЯЖЕННОЙ СИСТЕМЫ 1З1 с з.п Рх Рсс (ЗЛ.55) схс 'сс гле матрица перехода В(ц) имеет вид 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 созч — впч 0 0 зппп саад 0 О О О 1 — вп Е саз В вп0 0 соз и 0 (3.1.56) 0 рассмотрим теперь связь между сопряженными векторами при записи уравнений движения в произвольной инерциальной декартовой прямоугольной системе координат (1) Охуз и подвижной цилиндрической системе координат (3) Огсрз.
В соответствии с обЩими результатами Приложения для этого надо найти матрицу коби А (П, 31) преобразования (П.29) фазового вектора из зс вращающейся системы координат Огтз. Согласно сказанному вы,пе, те же уравнения для определения векторов р и з получаются, если уравнения движения сразу жс записать во вращающейся системс координат Огтз. Введем в качество стандартной яяерциальной декартовой прямоугольной системы координат Ох,у,з, систему, плоскость Ох,у, которой совпадает с плоскостью кеплеровой а дуги, ось Ох, направлена в пери- центр орбиты, а оси Оз, и Ог в системах Ох,у,з, н Огтз совпадают (рис.
3.1.2). Переход от проекций векторов р, з яа оси системы координат Огтз Рис. 33.2. (ЗЛ.6) — (ЗЛ.8), (3.1.16) — (3.1.18) при е = 0 или (3.1.9) — (3.1Л1), (ЗЛ19) (31.21) при е чь 9 к проекциям векторов р, з на оси системы Ох,у,г, осуществляется с помощью соотношения 132 соптярееннАЯ снстеыА в ньютое10вскоз1 пОле ртл. ! П1 системы координат Оггрг в систему координат Охуг.
Указаен преобразование имеет вид (см. рис. ЗЛ.2) х = гсов <р, 1 у =- ге!П»р, )г~ = р г соз гр — )г, в!п <р, 1'„= )г„з1п»р+ !г»сов »р. ~ (3 1.57) Компоненты г и У, в обеих системах одни и те же. Связь между вариациями фазовых векторов (ЗЛ.41) и (3.1.42) в системах Ог»рг и Охуг соответственно дается соотношением (3.1.58) ΠΠΠΠΠΠ— »в!и ~р О г сов»р ΠΠ— (рг з!п»р+у сов»р) О + Р( сову — У в!Е»р) О О О сов»р в!и ~р О О (3.1.59) сов»р — вш ~р в!Е»р сов»р О О Заметим, что (3.1.66) де1А = г и при Чг, удовлетворяющем условию 0 ( г „( г ( г „, < со (см.
соотношение (2.2Л) ), матрица А невырождена. Если произвольная система Охуг совпадает со стандартной системой Ох,у,», (см. рис. 3.1.2), то в этом случае (3,1.61) и в матрице А достаточно заменить !р на т!. /р! Обозначим через ! в )» ! в ) и ! з ! фундамсп/Ог»» (...)О»»з»»» (» )Огп» тальпые матрицы решений сопряженных систем уравнений в системах координат Огтг, Ох,у,г, и Огв!г соответственно. Здес~ Ох,у,г, представляет собой стандартную инерциальную декар тону прямоугольную систему координат, а Огв!г — цилиндр" ческую систему координат при условии (3.1.61) (см.
рис. 312) бх бу б» бу бк ! б!г, где матрица А имеет вид бг бр б» б!г, б!» овщве Ркшвнт!к сопгяжянно!г систвмы 1ЗЗ 1 хи 0 евидпо, что ( з ) представляет собой фундаменталы!ую матогт~ Р пу решений, полученную Лоуденом. В соответствии с общими зультатами Приложения имеет место связь (см. соотношение (П, 41)) (3.1.62) где А(!)) имеет вид (3.1.59) с учетом (3.1.61).
Учитывая, что .. (Р) вежду матрицей ( з )о„, и матрицей ( з ) имеет место связь ,)от~у * огтг (3 1.55), получаем, подставляя (3.1.55) в (3.1.62): (Р) Ат( )В( )(Р) А (ц) В(ц) = СИ), (3 1.63) Обозначая (3.1.64) имеем на основании (3.1.56) и (3.1.59) с учетом (3.1.61) 1 О О О О О О г Π— У !'„О О О 1 О О О О О О 1 О О О О О О 1 О О О О О О 1 (3 1.65) С(Ч) = (3.1.66) (3.1.67) где м и"трица В(!Р) совпадает с матрицей (3.1.56) с заменой !1 на <Р, Пусть теперь Охуз — произвольная инерциальная декартова пРямоугольная система координат, плоскость Оху которой совпадает с плоскостью кеплеровой дуги, а ось Оз совпадает с осью Оз системы координат Огтз (см. рис.
3.1.2). Пусть цилиндрическая система координат (3) Ог<рз рассматривается по отношению к системе Охуз, оси Оз обеих систем совладают. Система Ог!Рз отличается от системы Огцз началом отсчета полярного угла !р Ф ц. Обозначим через ( з ) и ( е ) ве о т* о т. е"торы фазовых переменных в системах Охуз и Ог!Рг соответств твенно. Тогда, как и выше, имеем 134 сопгяжвнная систкыл в ньютоновском полз юл, зн а матрица А(гр) имеет вид (3,1.59).
Подставляя (Зг!.66) в (3,1 67) получаем ! (:) =' (:) (3.1.66 где матрица с(р)= л'«р) в(р) (3.1.69) по-прежнему имеет вид (3.1.65). Таким образом, в тех случаях, когда плоскость Оху инерциал ной декартовой прямоугольной системы координат совпадает плоскостью кеплеровой дуги, вид матрицы С(ц) (3.1.65) не зази сит от того, является лн система координат Охуз стандартнои (ц = ~р) или нет (ц Ф гр). Этот результат естественен, поскольку в этом случае начала систем координат и координатные направ лепна системы Огтз, с одной стороны, и систем Огцз и Ог~рз, с другой стороны, совпадают, различается лишь выбор векторов фазовых координат.
Пусть, теперь Охуз представляет собой произвольную ннерциальную декартову прямоугольную систему координат (1), а цилиндрическая система координат (3) Ог~рз рассматривается относительно этой системы координат (см. рис. 3.1.2). Обозначим вектор сопряженных переменных в системе координат Охуз также через ( з ) ° Тогда векторы ( з ) и ( з ) связаны соотно)Охзх ) Оххх (~ )Охуг шепнем вида (3.1.66): ( Р ) = В ( Р ), (3.1.70) где матрица В аналогична матрице (3.1.56), однако узке пе равна этой матрице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
