Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Как п матрица (3.1.56), матрица В в (3.1.70) состоит из двух матриц перехода от системы осей Огтз к системе осей Охуз. Строками каждой из указанных матриц перехода являются паправляюгцие косинусы осей системы Охуз относительно осей системы Огтз. В рассматриваемом случае, как и выше, получаем ( Р ) = А' (~р) В ( Р ), (3 1 71) где А'(~р) по-прежнему имеет вид (3.1.59).
Однако теперь Уже л (р) в ~ с(ц), (3.1.72) где С(ц) — матрица (3.1.65), поскольку плоскость Оху по созна епвв дает с плоскостью кеплеровой дуги и координатные направлеп в системах Огтз и Ог~рз не совпадают друг с другом. яеПри практическом применепии приведенных результатов лере лесообразно системы координат Охуз и Ог~рз для каждой кеплеР ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СОПРЯЯ(ЕННОН СИСТЕМЫ 135 $ай г= 1, У,=О, Р",=1, (3.1.73) в она принимает впд О О 0 О 0 О 1 Π— 1 0 0 о о т о о о =~)ООО 1ОО ! ,,ооо ого ',ООО ОО1 (3.1.74) В случае круговой орбиты всегда можно считать, что имеет место соотношение (3.1.61). Подставляя (3.1.74) в (3.1.63), получим связь между векторамн фундаментальных матриц сопряженной системы уравнений в системах координат Огтз и Ог~рьс рг ' р — з > Р~ч рт з 'г (3.1.75) '', омм з Огт~ Записывая решение (3.1.6) — (3.1.8), (3.1Л6) — (3.1.18) в виде ввй наиной комбинации векторов фундаментальной системы решен (зт С.
Понтрягин [1]), получим фундаментальную матрицу „- дуги выбирать так, чтобы плоскость Олу совпадала с плос„стью кеплеровой дуги, поскольку в атом случае пересчет сопряаоя нных векторов (з) в сопряжепные векторы ( ) проис!р) (р1 ~%". Огзя . дят с помощью соотношения (3.1.68), в котором матрица С(ц) мест достаточно простой вид (ЗЛ.65). При переходе от одной „еплеровой дуги траектории аппарата к другой кеплеровой дуге, е лежащей в той же плоскости, что и предыдущая дуга, сопряИенные векторы, с учетом их непрерывпости, можно пересчитывать из одпой прямоугольной системы координат в другую, а затем, с помощью приведенных соотношений,— в соответствующие цилиндрические системы координат. Проиллюстрируем полученные общие результаты на примере сопряженной системы для круговой и произвольной кеплеровой орбит.
В соответствии со сказанным выше считаем, что плоскость Оху системы Олух совпадает с плоскостью орбпты. По определению сопряжеппая система для круговой орбиты совпадает с сопряженной системой для уравнений движения, линеаризовапных относительно круговой орбиты. Для круговой орбиты в матрице С (3Л.65) 136 СОПРЯЯ(ЕННАЯ СИСТЕМА В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛГ !гл !и сопряженной системы уравнений в системе координат Огтьс ~Р5 Рт о о о о о О 5!и и — соз и о о о о о О соз и 9!и и — 9!и 11 — Оч СО9 5! 5!П Ч о С05 11 о о 2 — Зч о Рз 9 Г (3 1 76) соз !! 9!и 1! — 2 5!и 11 2 соз и О О При записи (ЗЛ.76) учтено, что на круговой орбите при уело вин (3.1.73) в соотношениях (3.1.16) — (3.1.18) а=1.
(3.1.77) Подставляя векторы матрицы (3.1.76) в соотношение (3.1,75) и учитывая, что для круговой орбиты (см. (1.3.45) ) !р ть (3.1.78) (ЗЛ.79) Подробно вопрос о замене переменных и преобразовании ре шения сопряженной системы проанализирован в книге В. В. Иваш кина !4]. Аналогичные вопросы (в несколько ином аспекте) рассмотрены в книге В. С.
Новоселова (1]. з 3.2. Примеры использования решения сопряженной системы Материал настоящего параграфа носит в основном иллюстра тинный характер. Приведенпые примеры заимствованы из моно графин Лоудена [24] с рядом изменений и дополнений, Более подробный анализ решения сопряженной системы и другие пр" меры читатель найдет в упомянутой монографии Лоудена !92' 9241, в его работах (9, 19, 20, 22], в работах С. В.
Дубовского (2] Прассинга (1]. получим фундаментальную матрицу векторов, входящих в решения (1.3.56), (1.3.57). Непосредственно также видно, что общее решение (3.1.6) — (3.1.8), (3.1.16) — (3.1.18) с помощью преобразования (ЗЛ.75) переходит в общее решение (1.3.56), (1.3.57) (этим объясняется выбор констант в (1.3.56), (1.3.57) и в (3.1.6) — (3.1.8), (3.1.16) — (3.1.18) соответственно).
В общем случае движения по произвольной кеплеровой дуге получаем па основании (3.1.65), (3.1.68) и (3.1.69), что в фундаментальных матрицах !5] и ! ) для цилиндрической Ь Ощс !9 Огт~ и прямоугольной систем координат совпадают все строки, кроме вторых, для которых имеем Ртйо 95=(гР г 99+у~95)О, ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕШЕНИЯ г г.г1 127 Предположим, что 1' время перелета не задано, функционал С =~~~АР„; 2' начальным и конечным многообразиями ((2.2.6) и (2.2.7)) являются кеплеровы дуги, полон<ения начальной и конечной точен Перелета на них не фиксированы и подлежат оптимизации.
Всюду, за исключением раздела 3.2.3, принимается, что 3' все кеплеровы дуги, входящие в перелет, компланарны. Следуя Лоудену, примем, что на всех кеплеровых дугах, входящих в перелет, В(г) =С=О. (3.2.1) Равенство (3,2А) имеет, в частности, место, если перелет начинается или кончается на круговой орбите, поскольку в системе координат Огт краевые условия можно записать в виде т'7„=0, Ут = сопяг, г~т„=сопят, гт-,=О, где 1 = 1, й = — или 1= Ж, й.= +, не зависящеи от времени. Равенство (3.2.1) выполняется также для перелетов, включатощих бесконечно удаленную точку (см.
(3.2.47)). 3.2А. Векторы я и р на круговой орбите (с=О). На круговой орбите при С = О получаем из (3.1.6) и (3А.7) з„= Асов т1+ Вя(пт) == Л я1п(т~+ и,), (3.2.2) з, = 2В соя т1 — 2А я1п т~ + Р =- 2Л соя (т~ + т1,) + Р, (3.2.3) На плоскости я„з, геометрическим местом точек вектора я — годографом вектора я — являетс" эллипс (рис. 3.2.1) ® + ' , = 1. (3.2.8) '1з Рис. 3.2.1. рис. 3,2.1 и (3.2.6), (3.2.7) следует, что при Р ) О шаха достигается при тт = О, при Р ( О шаха достигается при Ч = я, (3.2.9) (3.2.16) Л = )/Ат + В' (3.2.4) я1п т)о =А/Л, соя т~ю =В/Л. (3.2.5) Поскольку на круговой орбите все точки равпоправпы, полярную ось отсчета всегда можно совместить с направлением т)з„т.
е. всепда можно считать цз —— О. Тогда (3.2.2) и (3 2.3) перепишутся в виде я„= Л ятпт~, (3.2.6) я, = 2Л соя т)+ Р. (3.2.7) 138 со««гя«««кнная снстГыА в ньютое«Овском полГ ~гл „, при 0 = О «паха достигается при 8 = О и «1 = л. (3 2 ° и) Рассмотрим важный для практики случай, когда КА старту ртует с круговой ороиты или выходит на кругову«о орбиту. В этом чае па круговой орбите КА сообщается один импульс. В соот слу ствин со сказанным в разделе 2.2.2 (см. (2.2.88)) в точке призе женил импульса достигаетсл шах г и г = 1. (3 212) (3.2Л5) Рассмотрим при С = О вектор р па круговой орбите.
Перепишеъ«(3.1.16) н (3.1.17) с учетом (3.2.4) и (3,2.5) в виде р, = — з«.,(11 сов ««+ 0), 1 1 Рт = — и., В з1п«1. (3.2.17) Если КА сообщается импульс па круговой орбите, то, аналогично (3.2ЛЗ), (3.2.14), (3.2Л8) (1:» 11) з«п ««. 2а (3 2,19) Рассыотриы теперь предельные значения Р = О и 0 = ~ 1 Случай 0 = О также описывается формулами (3.2.13), (3.214) (3.2.18), (3.2.19). Прп этом точке «1 = О соответствует разгонный трапсверсальпый импульс, а точке «« = и — трансверсальпый тор мозпой импульс. Этот случай реализуется, если круговая орбита являетсл промежуточной кеплеровой дугой на оптимальной траеь торин н па пей КА сообщаются два импульса тяги. Если 0 = ~ 1, верхний и пил«пий знаки соответствуют раз тонному и тормозному трансаерсальному импульсам, г.
— = О Используя (3.2.6), (3.2.7), (3.2.9) — (3.2.12), получим з, = з«п«1, 1:Р Р (3.2ЛЗ) г, = (1 ас О) соз «1 + 0, (3.2Л4) где зпак « — » перед 0 соответствует разгоппоиу импульсу (0)О) сообщаемому КА в точке «« = О, а знак «+» — тормозпому им пульсу, сообщаемому в точке «« = и (Р ( О). Прп этом ~0! (1. 139 ПРНМКРЫ ИСПОЛЬЗОВАННЯ РКШКННЯ (3.2.20) А=О и на кеплеровой дуге г, = Вез(п 1), ., = В (1 + с с з Ч) +, + „сз „.
Р (3.2.21) (3.2.22) Проведем анализ зависимости г(т)) на кеплеровой дуге, следуя в основном Лоудену (241. Однако, в отличие от Лоудена, прн отборе возможных вариантов включения кеплеровой дуги в оптимальную траекторию будем сразу учитывать полную совокупность необходимых условий строгой локальной оптимальности. С помощью (3.2.21), (3.2.22) получим гз = В1 (1 + ез) + 2ВВ лл 2В1Х + ((+ Х)1' РДе обозначено (3.2.23) (3.2.24) (3.2.25) Х = е сов 1). Предположим сначала, что В Ф О. ~огда (3.2.23) можно переписать так: а р = 2Х + ((+ х)2 (3.2.26) -~- 1. В этом случае во всех точках круговой орбиты ) з) = 1 необходимые условия строгой локальной оптимальности (22 87) — (2.2.89) на круговой орбите не выполнены.
Яа основании сказанного случай (А1( = 1, при котором а круговой орбите не выполняются необходимые условия опти„альности приложения дискретных импульсов, в дальнейшем рас-. матриваться не будет. Таким образом, в дальнейшем на круговой орбите, входящей в состав оптимальной траектории, считаем доаустимымн значения Р, удовлетворяющие неравенству (3.2.15). При этом всюду на круговой орбите выполняются необходимые условия оптимальности (2.2.87) — (2.2.89) . В любом случае, при выходе на круговую орбиту, прн сходе с нее в оптимальной точке па орбите (С = 0), вектор скорости КА до импульса или после импульса соответственно ортогоналеп к радиусу-вектору аппарата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
