Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Поскольку в выбранных апсндальных точках (выбор ц) е достигает максимума, па всей траектории удовлетворяется условие (2.2.87) . Так как начальная н конечная точки на рассматриваемых траекториях также являются апсидальными для соответствующих кеплеровых дуг, в этих точках выполнены условия (2.2.88), (2.2.51) и на основании принципа окаймлепия выполнены условия трансверсальности (2.2.62), (2.2.63) . Таким образом, единственным условием, которое еще не рассматривалось, является условие Вейерштрасса — Эрдмана (2.2.44) непрерывности вектора р в момент сообщения импульса тяги КА. Это условие в апсидальных точках кеплеровых дуг, как следует нз (3.2.18), (3.2.19), (3.2.44), (3.2.45), сводится к непрерывности компоненты р, в этих точках.
При «склеивании» в апсидальпой точке двух кеплеровых дуг, входящих в состав оптимальной траектории, зто условие дает дополнительное соотношение для определения постоянной интегрирования Р на круговой орбите и постоянных интегрирования В и Р на кеплеровой дуге (см. раздел 3.2.4). 3 2.3. Векторы и и р на кеплеровых дугах, проходящих через бесконечно удаленную точку. Уточним полученные в разделе 2.2.4 результаты, основываясь на явном аналитическом представлении вектора з (3,19) — (3.1.11) и ~вектора р (3.1.19) — (3.1.21). На основании сказанного в конце раздела 2.2.4, для того чтобы н"ели место предельные соотношения (2.2.138), (2.2.139), достаточн оч"о, чтобы функция е(г) была ограничена при г-л- со (см. зна 2 136)).
Но тогда, как показано в разделе 2.2.4, предельные ачення гамильтониана (2.2.29) Н„ =- 1пп Н = 1пв ~(р, У) — (в, — л )~ = О. (3.2.46) 1 + У-~ 1О ' А Нлллл Г, Ь Кгл„лл 146 сОпРяженнАя система В ньютоновском пОлк шл, гц Учитывая, что во всех точках кеплеровой дуги, проход„ через бесконечно удаленную точку, имеетместо первый икте дящек (2.2.69) и гамильтониап (2.2.29) непрерывен во всех точка„ дуги, включая бесконечно удаленную точку, на основании (3,2 46 ' х отой получаем, что постоянная С' в (3.1.5) и, следовательно, пост„„ ная С = ~ С' в решении (3.'1.9) — (3.1А1), (3.1,19) — (3121) равна нулю: С = 0 (3.2.47) независимо от того, входит лн зта дуга в состав оптимальпой тр ектории или нет.
Поскольку при ге- оо продолжительность дю, жепия по кеплеровой дуге, содержащей бесконечно удаленнуз, точку, неограниченно возрастает, рассматриваемые кеплеровм дуги могут входить в состав оптимальпой траектории только прк незаданной продолжительности перелета. В атом случае равенство (3.2.47) следует из общих свойств оптимальных траекторий с пе заданной продолжительностью перелета (см.
(2.2.70)), Из (1.3.27) следует, что траектория аппарата проходит через бесконечно удаленную точку при условии соя ц — ~ — —. (3.2.48) е На основании сказанного исследуем свойства решения (3.1.9) — (3.1.11), (3.1.19) — (3.1.21) при условиях (3.2.47), (3.2.48), предполагая лить ограниченность функции е (ц) = = з(е(т~)) (см. (2.2.136)): )г(ц)1(Ме.
Со при сояц — — —, 1 (3.2.49) Из (3.2.52) п (3.1.2) получаем 11ш я = я (3 2 53) и пе предполагая пока, что рассматриваемая кеплерова дуга входит в состав оптимальной траектории. Чтобы при условии (3.2.48) функция г(ц) была ограничеппой между постоянными А, 17, Е и Е должны выполняться соотношение ехе — )Ге' — 1А = О, (3,2 56) — Е + ) ез — 1Е = О. (3,2.51) Подставляя (3.2.50), (3.2.51) в (3.1.19) — (3.1.21), получим для любой кеплеровой дуги, проходящей через бесконечно удаля" ную точку, из ограниченности функции г(ц) при г-+. Оо следу (2.2.138), о,52) 11ш р = р = О. (3..5 147 пгнмкгы непользования Решгния й йдем продольное значение (3.2.53) вектора я = ~я«,г,я из я) (3.2.54) Ае Ге з~т — „~ я а — у, (3.2.55) для параболической же дуги имеем Л = В = Е = Е = О.
(3.2.56) таким образом, в случае параболической дуги, проходящей через бесконечно удаленную точку, вектор я(ц) всегда имеет внд г, = Вя1пц, (3.2.57) я, = В (1 + соя д), (3.2.58) я, = — О. (3.2.59) Из (3.2.57) — (3.2.59) следует, что предельное значение вектора э всегда (см. (2.2.150)) я„= О.
(3.2.60) Предположим теперь, что параболическая дуга, проходящая через бесконечно удаленпуто точку, входит в состав оптимальной траектории перелета, и с учетом полученных выше соотношений Уточним общие результаты раздела 2.2.4. Проанализируем типичлмй случай, когда в конечной точке приложения импульса рассматриваемая параболическая дуга соединяется с некоторой кеплеровой дугой. Тогда в этой внутренней точке приложения оптп"ального импульса должны иметь место условия (2.2.46), (2.2.51). 9ти условия могут выполняться только в перицентре при»1 = О, нрнчем )в! =— 2 (3.2.61) 1 э„= + — япц, (3.2.62) г, = + —, (1+ соя ц), (3.2.63) где э знак ю+» соответствует разгонному трансверсальному имнульс У~ а знак « — » — тормозному трансверсальному импульсу. Поколь, Рансве ьку импульс в перицентре параболы прикладывается по сэерсали, точкой перехода на соседней дуге может быть толы;о я гиперболы и параболы.
Для этого достаточно раскрыть в для о 1 ( 31.10) н (3.1.11) ноопределонпости типа — прн соя»1 — —— о е учесть соотношения (3.2.50), (3.2.51). В результате для гиперб лы получим е„„= — — + В)/ е» вЂ” 1, 148 сопгяжкпнля спствмх в ньютопог;ком понг ~гл „, апслдальная точка этой кеплеровой дуги. Из (3.2.62) (3 2 следует, что во всех точках параболической дуги выполи„„', условна строгой локальной оптимальности (2.2.88), (2,2,89) попепты сопряженного вектора р (3.1.19) — (3.1.21) на расом ом ваемой параоолической дуге с учетом (3..56) и (3.2.61) эап матрн пнсы ваются в виде 1 Р„= + з з (1+ с~зЧ), Рт = — О, Рг = О.
(3.2.64) згз/з н па рассматриваемой гиперболической дуге, проходящей через бесконечно удаленную точку, вектор а(п) имеет компонепты е„= Ве з1п д, (3.2,66) е, = В (1 + е соз и), (3,2.67) е, = О. (3 2,68) Из (3.2.66), (3.2.67) и (2.2.46), (2.2.51) получаем )В) =— 1 '1+ е' (3,2.69) откуда (3 2,70) (3 2,71) е г = + — з1пп, — 1+ е 1 з, = + —,(1+ есозд), 16-е Отметим, что в отличие от анализа, проведенного в раздел 3.2.1 и 3.2.2, компланарность рассматриваемой параболическоа дуги с примыкающей к ней кеплеровой дугой выступает не в ьа честве предположепия, а следует из условия (3.2.49), выполняю щегося, как показапо в разделе 2.2.4, па оптимальных траекторн ях.
Кроме того, в отличие от сказанного в разделе 3.2.2, то обстоятельство, что импульс прикладывается в общей апсидальной точке параболы и примыкающей кеплеровой дуги, следует не из сделанного в начале раздела 3.2.2 предположения, а является следствием пообходимых условий оптимальности перелета в точке приложения внутреннего импульса. Для движения по гиперболической дуге получить апалогичпые результаты в общем случае пе удается, поскольку соотношения (3.2.50), (3.2.51), по существу, не упрощают вид решения (3.1.9) — (3.1.11). Поэтому здесь, как и в разделе 3.2.2, ограничимся рассмотрением случая, когда гиперболическая дуга, проходящая через бесконечно удаленную точку, комплапарна с примыкающей к ней кеплеровой дугой и импульс в конечной точке навей прикладывается в перицептре при ц = О.
Тогда па основании (3.2.20) и (3.2.50) А=В=О (3.2.65) пгимвгы использования Рвшзння 149 «»»9 где знак «+» соответствует разгонному трансверсальному импульу а знак « — » — тормозному трансверсальному импульсу. Компопепты р, н р, вектора р в рассматриваемом случае равны (3.2.72) где знаки «-~-» совпадают с соответствующими злаками в (3.2.70), (3 2.71) . 1 | Иа (3.2.70), (3.2.71) следует, что в промежутке ~0, агссоз( — — ~1 функция з(Ч) монотонно убывает с ростом Ч, достигая максимума г = 1 при Ч = О.
Поскольку ~гг е — 1 ( 1 |ге ) '1, (3.2.73) зо всех точках рассматриваемой гиперболической дуги, кроме перицентра, импульс прикладываться не может, причем во всех точках гиперболической дуги выполняются условия строгой локальной оптимальности (2.2.87) — (2.2.89) . Сравнивая компоненты (3.2.70), (3.2.71) вектора 3 с соответствующими компонентами скорости аппарата Ч (1.3.37), (1.3.38), замечаем, что па рассматриваемых гиперболических дугах имеет место равенство (см. соотношения (3.2.36) — (3.2.38)) з (Ч) — т (Ч). '»' Р 3.2.4. Оптимальность гомановского и бизллиптического перелетов. Рассмотрим оптимальный переход КА между компланарными круговыми орбитами. В соответствии с полученпыми выше общими результатами такойпереходпри условии конечности радиуса-вектора аппарата должен совершаться по некотоРому числу полузллипсов, все апсидаль- «У, вые точкикоторыхлежатна одной прямой (все импульсы сообщаются КА на л 4 конечном расстоянии от центра тяготеннл).
Простейшим переходом такого типа является перелет по полуэллипсу, зу« "асательному в апсидальных точках к заданным круговым орбитам (рис. 3.2.3) . то условие полностью определяет Рнс. Зт«3. указанный перелет (см. Эрике (71) . Перелет такого типа впервые исследовался Романом (11, по гую низки которого назван го.чановским перел«тол|. Исследуем стро- ую локальную оптимальность гомановского перелета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
