Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 33
Текст из файла (страница 33)
2 . 6 1 ) — ( 2 . 2 . 6 3 ) в начальной и коусло очной точкат траектории и условие ( 2 . .89 ) . .о. Если все перечислеппые условия выполнены, то рассматриваеая У-импульсная траектория является строго локально оптимальной. Если какие-либо из перечисленных условий нарушаются, то рассматриваемая фазовая траектория пе является локально оптимальной. В этом случае информация, даваемая решением сопряженной системы, как это показано в разделах 2.3.2, 2.3.3, позволяет установить «источник» и «степень» неоптимальности фазовой траектории. Так, невыполнение условия (2.2.89) свидетельствует о целесообразности перехода от Х-импульсной траектории к траектории с большим количеством импульсов (см.
раздел 2.3.2), невыполненные условия (3.3.31) или (3.3.32) свидетельствует о неоптимальном выборе радиуса-вектора г; или момента приложения импульса соответственно (см. раздел 2.3.3). Обращаясь к записи вариации функционала (3.3 18) в виде (2.3.8), замечаем, что полученное решение сопряженной системы может быть использовано длн численного зпределения частных производных функционала (3.3.19) по компонентам вектора к (3.3.7) и нахождения вектора ягаб 6(х) (см.
раздел 2.3.3). Укажем па один частный случай применения изложенной схемы для проверки оптимальности заданной траектории перелета. Пусть задана фазовая траектория,на одном или обоих концах которой к КА прилагают импульсы скорости. Тогда приведенная выше схема определения решения сопряженной системы может быть применена сразу ко всей траектории в целом. Ввиду наличия на кан«дом из концов траектории условий трансверсальностп (2.2.61) — (2.2.63), вектор р'з' (~1 + О) или р'«'(Гк — О) будет удовлетворять некоторым связям. При этом может возникнуть ситуация, как правило, типичная для таких задач, когда количество свободно задаваемых параметров, например компонент векторов Ров (Г1 + О) или риз (Ьл — О), меньше количества краевых условий, которым надо удовлетворять на другом конце траектории. Если заданная фазовая траектория перелета строго локально оптимальна, то путем соответствующего подбора свободных параметров на одном конце траектории удается удовлетворить всем условиям на другом конце траектории, несмотря на то что свободных параметРов меньше, чем удовлетворяемых условий.
Пример такой задачи приведен в $10.4. Рассмотренный подход к оптимизации траектории импульсного перелета в произвольном гравитационном поле,по существу, основан на сочетании и последовательном применении экстремального и вариационного подходов. )'Л А ПА 1У П1'ИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЫ1ЫХ ПЕРЕЛЕТОВ С КОНЕЧНОЙ ТЯГОЙ в 4Л. Приближенное построение оптимальной траектории при изменении ограничения на величину тяги 4.1Л.
Постановка обратной задачи импульсной аппроксимации. Поскольку траектории КА с конечной н импульсной тягой озкзки между собой, естественно использовать решение краевой:юдачи в импульсной постановке в качестве походной ипформак. я при решении задачи оптимизации перелета с конечной тягой (см., например, Пайпс !1), Хэнделсмен [1!). В связн с этим можш поставить следующую задачу: Задача !.
Известно решение вариационной задачи опгпмизации перелета в импульсной постановке. Требуется на основапии имеющейся гшформацин приближенно с минимальной возмоягной ошибкой построить соответствующую оптимальную траекторию прн конечной тяге, пе решая для нее краевой задачи. Оценки, приведенные в начале раздела 2.1.1, покаэыва~от, что отличие траектории Qри конечной тяге от соответствующей импульсной траектории составляет величину порядка длины активного участка. Поэтому а ргйог! ясно, что точность решения задачи 1 должна быть по крайней мере такой нге. Если ограпваитьсн указанной точностью, то, как следует из сказанного в разделе 2.1.'! и как будет показано ниже, решение задачи 1 можег быть получено достаточно просто: активные участки надо распозожит~ так, чтобы точки приложения импульса паходилнсь внутри соответствующих активных участков, а паправлепне вектора тяги должно незначительно отклоняться от направления вектора пм пульса.
В связи со сказанным возникает вопрос; нельзя ли так рас"о рядиться имегощимся произволом в расположении активных уча стков и ориентации вектора тяги, чтобы повысить точность роше играя задачи 1 по сравнению с указанной выше? Выяснешзо Ус" вий, при которых на этот вопрос можно дать положите и""" ответ, составляет основное содержание проводимого ниже рас смотрения задачи 1. П и!'пв.пп! К!шок пес!Ровны!с пеи изменении тяги 165 ! с,! Й вЂ” " т' <и (4.1.1) — д (г, !) -!Р не ( — ) + по ~( —,, ) — ( — ) ~, (4 1.2) и ие( — ) + п„~( — ) — ( — ") ~, (413) Пот е было Ребусм, чтосы ра:пичне пожду векторами тяговооружеппостей енто о малым в том смысле, чтобы фазовые переменные вдоль траоРий 1 и 2 отлпчалпсь бы для любого ! незначительно.
Постаююпвую шщачу естествоппо назвать обратной задачей цяульсиой аолролсишации. Впервые обратная задача в близкой куказанной постановке рассмотрона Роббипсом [1). В это!! работе с помощью формулы Ьлпсса (см. ниже) указан метод построении тр раекторни с попс и!ой тягой, близкой к оптимальной итшульсной траокторип, однако, по анализируется близость постро! пнэй траектории с коне шой тягой к строго оптимальной.
Приведенная постановка обратной задачи (задачи 1) и ее решение для случая движения КА в малой окрестности круговой орбиты в ньютоновском гравитационном поле при пе.саданпой продолжительности перелота даны Г. Г. Кузмаком [3! (см, $ 6.4 и работу Р, Е. Кузмака, А. 3. Врауде ['!]). В настоящей глпае рассматривается решеппе обратной задачи в нелинейной пост;шовьо для любых траекторий данн!ения КА с двигателямп болшпой тяги в произвольном гравитационном поле. Прежде чем перейти к решению задачи 1, рассмотрим вспомогательную;т;сачу 2. Задач а 2.
Известна оптимальная траектория двихсопия КА для заданных краевых условий и заданного ограничения величины тяги. Требуотся па основании имеющейся информации приближенно с мсп!пмальпо во;!носило!! ошибкой в волнчипе функционала и в выполнении краевых условий построить траекторию, близкусо к с.птпзшльпой, прп другом уровне ограничения тяги, не решая соответствуя!щую варпацпоппую задачу. Решение:!влачи 2 продставляет и самостоятельный интерес. Рассмотрим движение КА в произвольном гравитационном поле, описываемое системой уравнений (1.2.70) — (1.2.72), длп двух режимов полета 1 и 2, отличасощихся тяговооруженностью (Т/св) ! я (Т!лт)ь Здесь и в дальней!псм ппжпимн индексами 1 н 2 будем ооозпачать вслпчппы, относящиеся и режимам ! н 2 соответственно.
Для рассматриваемого поля п траекторий считаем выполненными все ограпнчепия н предположения, указанные в разделах 121, 1.2.3. 1.24!. Запишем уравнопня движения КА для рожима 2 в видо ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ С КОНЕЧНОИ ТЯГОИ !гл 2т При указанном предположении интеграл от вектора п~( — ) — ( — )] (4.1.4) вдоль траектории можно считать малым по норме возмущени нием, Взяв в качестве вариаций фазовых переменных величины бг = г,— г!, 6Ч = Ч2 — Ч!, (4.1.5) 6!7 '2'2 2'! и воспользовавшись формулой Блисса (см. соотношение (П,22) Приложения), можем записать [(р, бг)+(з, 6Ч)+ рзбо), '= ~~(з, и ~~ — ) — ( — ) ]1+ + р,л, ~( — ) — ( — ) ]1 [2 Чг [го 2,[. (4.1.8) бг[! = 6Ч[; = бд[! = О.
(4,1.7) Задавая различные краевые условия для сопряженных переменных, можно с помощью (4.1.6) оценивать влияние изменения режима тяги на значения фазовых переменных в крайних (или промежуточных) точках траектории. Например, если фазовые траектории 1 и 2 выходят из одной и той же пачальной точки, то, по лагая О О О О 'О О (4 1.8) можно с помощью (4 1.8) найти 6К [!, т. е. определить вли"ни ние изменения режима полета на фазовую перемепную У [! в коне Формула (4.1.6) справедлива с точностью до величин второго порядка малости [бг[2, [6Ч[2, б!72.
Входящие в нее сопряженные переменные р, з, р, определяются системой уравнений (1.2.75)— (1.2.77) для одной из фазовых траекторий — 1 или 2. В дальнейшем принимаем, что сопряженные переменные определены для траектории, соответствующей режиму 1. Значения вариаций фазовых переменных в начале и конце траекторий определяются условиями сравнения траекторий. Так, если траектории 1 и 2 выходит из одной и той же начальной точки фазового прострапства, то зн ПРИБЛИЖЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ТЯГИ 167 ой точке траектории, и т. и. Из сказанного ясно, что сопряженвые переменные, входящие в (4Л.6), не совпадают, вообще говоя, с сопряженными переменными вариационной задачи оптимиации траекторий 1 или 2,поскольку краевые условия для последяих находятся из условия трансверсальности (1.2.40).
Решение обратной задачи импульсной аппроксимации на основе указанных соображений проведем по следующей схеме: 1) сначала с помощью соотношения (4.1.6) решим задачу 2 (раздел 4.1.2), 2) затем, устремляя режим 2 к импульсному режиму, в результате предельного перехода получим решение задачи 1 (раадел 4.2.1). 4.1.2. Приближенное построение оптимальной траектории при изменении огРаничеиик на величинУ тЯги. ПУсть (1а ). [1+), ; = 1, 2, и = 1, 2, ..., )У,— соответственно начало и конец й-го активного участка дла 1-го режима полета. Положим = ш1п ((Гз )ь (зь )з), 1+ = шах ((ф)„(1ь)з). (4Л.9) Учитывая, что для ГФ [11 Г~~~ () [Гз Гза| () () [Гк ГН1 Я) =( — ) =О, получаем из (4.1.6) ((р, бг) + (з, ЬУ)+ рчбд]( =— ~~(( ~() ()1) ~() (Л 'з (4.1ЛО) Поскольку для безразмерных величин Т, с и т ст п Т==- — с — е С1 из (4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
