Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 36
Текст из файла (страница 36)
По- атому условию грансверсальности для оапряженных переменных зз(Г), Рз(з) и аз(з), Рз(з) — о~дни и те же. Радиусы-векторы гз и гз для траекторий 2 и 3 отличаются в г Ч- — '~21 каждой точке траектории на малую порядкаО [шах(гз — зь )21. Поскольку как прп коночной, так и импульсной тяге радиус-вектор аппарата непрерывен, гз(з) можно представитьв виде гз(2) = = гз(Г) + пР(2), гДе Р(2) — непРеРывнаЯ вектоРнаЯ фУнкдиЯ ~Р(г)! ~гз(г) (, а постоянный параметр 12 имеет порядок Р = О [пзах(гь — 1» )2~ Так как для всех имеющих физический смысл задач выполнено ограничение (1.2.48) и г(1) ~0 в некоторой окрестности траектории 3, то в этой окрестности для правых частей системы (1.2.75), (1.2.76) в соответствии с предположс киями, сделанпыми относительно вектора гравитационного уско рения й(г, г) в разделе 1.2.4 (существование н непрерывность частных производных — '', й( ' ), существуют и непрерывкь' дг ' дг' !' частные производные по р, з и г.
Из сказанного получаем, чт что система уравнений (1.2.75), (1.2.76) удовлетворнет условиям тео ромы о днфференцируемости решения по параметру (Л. О П"н пРивлинзеннок постРОеннк Оптимлльных пеРГлктОВ 179 трягин (11). Следовательно, в каждой точке траектории 2 имеем в,(С) = вз(С) + О [идах(Сд — Сд )з$], (4.2.7) рз (С) = рз (С) -~- О [шах (Сд+ — Сд )Я. (4.2.8) Из (4 2.7) следует з, (С) = з (С) + О [шах (Сд' — Сд )зз1. (4.2.9) Дифференцируя по времени тождество з'(С) = (а, а), получим с учетом (1.2.76) $ ==-( —,'.,р) (4.2.10) На основании (4.2.7), (4.2.8), (4.2.10) зг(С) = — зз(С) + О [шах(Сд — Сд )з1.
(4.2.11) (аз (С), ез) = (в (С), ез(Сдз)) = =: (ез (С), ез(Сдз)) + О [ш ах (Сд+ — Сд )„1. (4.2. 12) О малой окрестности точки приложенпя оптимального импульса См имеем (см. (1.2.69)) ез(С) = аз( дз) + аз(Сдз)(С Сдз)+ О(Сд Сдз) . Подставляя (4.2.13) в (4.2 12), получим ("(') ез) =(а.(Сдз), ез(Сдз))+(вз(Сдз), ез(С,з))(С вЂ” Сдз)+ + О (С вЂ” Сд )з+ О [шах(Сд — С )з1. (4.2.13) (4.2. 14) Рассмотрим необходимыо условия оптимальности для режима конечной тяги 2, содержащие сопряженные переменные Бз и рз, вппольвуя полученные оценки для фазовых и сопряженных переменных режима 2 по отношению к оптимальному импульсному режиму 3 и необходимые условия оптимальности для последнего (см.
раздел 2.2.1). Из правила Пс попосредственно следует, что для режима 2 краевые условия по фазовым переменнымвыполнены с точностью О [шах(Сд — Сд )з1 Непосредственно из получения функций аз(С) и рг(С) ясно, что они непрерывны всюду на траектории 2 (см. (1.2.42), (1.2.43) ) и на концах траектории удовлетворяют (точно! ) условиям трапсверсальности, следующим для них иа (1.2.40). Условие (1.2.34) с использованием (4.1.58), (4.2.5) и (4.2.7) дает 180 оптпмлльпык игл клвты с копкчноп тнгоп пс1 ~т Но па основания (2.2.46), (2.2.50) (аз(Гзз), ез(тзз)) —: '1, (аз(тзз), е,(гзз)) - О.
(4 2.15) Так как 1з = Ем (съь (4.2.5)) и та ен [ззз, гзз], в малой рестностп точки 1, длины О [пзах(тз — тл )з] иэ (4.2.14) с уч том (4.2.15) получим (аз (8), ез) 1 + О [гпах(~„' — тз. ') ]. (4 2.16) Иа (4.2.9) в той жо окрестности точкп Ез = Хзз с учотом (2.2.46), (2.2.51) нмссм зз(1) = зз(гзз) ' зз(Газ) (1 гз) + О [птах(1з — 6„.
) ]- =- 1+ О [гпах(1~,' — гк ):]. (4.2.17) Сравнивая (4.2.16) с (4.2.17), окончательно получим и окрестности точки Гз длппы О [азах(з~з — гз, )з] (аз Я, ез): = гз (1) + О [гпах (С~~, — 1з )з]. (4.2.18) лРз (т) — .[ — ) Яв,„ез)+р з). (4.2.19) На пасспалых участках уравнение для р,з совпадает с соотвстствуюгдим уравпсппем для оптпмальпой траектория (см. (1.2 зй)) О. (4.2,20) Еслн бы рожам 2 был точно оптимальным, то (см.
(!.3.67)) было оы (4 2 21) Такни образом, для режима 2 условно ('1.2.34) всюду па актквном участю выполняется с той зкс точностью, с коротой вьпнжнены краевые условия для фазовых координат. Перейдем топерь к аналнэу необходимых условий оптимальности (1.2.36), (!.2.37), связанных с функцией переключения (1.2.35). Дла этого. прсждо всего, рассмотрнм уравнение (1.2.77) относительно сопряягонной переменной р,з для режима 2. Пусть управлопием является тяга аппарата. Тогда, поскольку рсжнм 2 пооптимальный, уравнение (1.2.77) на активных участках аналогично (1.3.67) запиваем в андо у ! х! ПРН(х)11)ккииОк 1)ОстРОинш! Оптимл:1! н))х 11вг)ь')ктоо тя( Подставляя (4.2.16) в (4.2.19) и (4.2.17) н (4.2.21), получаем сдво и то жо уравнение — (1 р,,-)-О(, лг(2[ — 2ь )().
()222) Неяр! рывным решенигм гоотвотству!ощего (4.2.22) уравнения (4.2.23) ири краевои условия (1.2. 21) является ()чв — 1 У! ~ [(О ЕтЪ). (41,2.24) Ич (4.2.19) — (4.2.24) следует, что нспрерывноо реп(сппс урави(- ний (1.-.19), (1.2.20) ири том жо краевом услошш пмегт вид х о х рч. — 1 —,'- О (1)вах(!)~ — 12 ). /. (4.2.25) Этот же результат можно получить, если восш)льзоваться формулой (1.3.72).
Оценка (4.2.25) в точности сов)!ндагт с оценкой (2.2.98) для оптимальной траектории с коле шой тягой (крайнио активпые участки отсутствуют). Из (4.2.22), (4.2.25) с учотом (4.1.48) получаем, что па активных участках ршкима 2, к)к пна оптимальпой траоктории (см. (2.2.94) ), [ — ) О( . (2 — 2„)1(.
0( . (2ь — 2 )!. (1.222) Если управлением является тясовоору)кениость аппарата, то вс10ду на траектории 2, как н для Оптимального ргииния (см. (1.2.39), (1.2.56) ), )()2 — 0 У! = [(1, !([, (4.2.27) (4.2.28) Очевидно, (то в силу самого п)я;троення ргшш!нй (11.2.25)), (4.2.28) о)'и удовлотноряа)т условию исирсрывпости (!.2.44). Установим связь мгж:(у функцией иеоек.)ючгиия (!.2.35) для Режима 2 172(() =- х (() + р я (() (4.2.29) " Фуикцисй игр( ключеиия ('.2.109) для нмиульгпой траектории 3 02(1) = хз(С) — 1. (4.2.30) 182 ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ С КОНЕЧНОЙ ТЯГОЙ !Гл, 2Р Прибавляя к соотношению (4.2.29) и вычитая из пего (4,230) получим 02(1) = нз(1)+ г2(1) — зз(1)+рдз+ 1, (4231) откуда с учетом (4.2.9), (4.2.25), (4.2.28) в рассматриваемы случаях 62(1) = дз(1)+ 0 [шах(1д — 1д )2] дуген(1!, 11).
(4.2.32) Дифференцируя (4.2.29), (4.2.30) и учитывая (4.2,11) (4.2.20), (4.2.26), имеем в случае, когда управлением являет ся тяга: на активных участках 62(1) = дз (1) + О [шах(1д — 1д )21, (4.2.33) где $, е=(гм, 1) илп $д я(1, 1Н), Поскольку в концах активного участка д! (1д!) = Од(гд!) == О, (4,2.37) получаем О! (Гд! ) = О! (1д!) + О! (1д!) (1ы — 1д! ) + 'д') + з ! ( д!) — 2 о! (~д) О, (1„+,) = О, (гд,) + О,' (1 д,) (1„д! — 1„) + + 2, (1ю — 1д,) + 8, ' (1ю — 1д,) =О. о, (2„) ~ 2 о'!' (4„) + (4.2.38) (4.2,39) на,паосивных участках О„(1) = 62 (1) + О [шах(1ьд — 1д )21.
(4.2.34) Если управлением является тяговооруженность, то аналогично с учетом (4.2.11), (4.2.27), (4.2.28) всюду на траектории 62 (1) = дз (1) + 0 [шах (гд+ — 1д Ц У1 ~ [12, 1!). (4.2.35) Рассмотрим подробно характер функции переключения д!(1) в пределах Й-го внутреннего активного участка для оптимальной траектории с конечной тягой 1 (см. раздел 4 1.2). Следуя методике работы Г. Е. Кузмака, А. 3. Брауде 11) (см.
также З 6.4), разложим функцию О!(1) в окрестности некоторой точки гм й-го активного участка 1д, е= [гд!, 1д!) по формуле Тейлора: О,(г) = О,(1д,)+ О'2(1„)(1 — 1д,) + + — (1 — 1д,) + (1 — 1д,), о ('д ) о (ье) умножая (4.2.38) на (441 — 111))(111 — 1А1) и вычитая из полученного выражения (4.2.39), имеем 01 (гь,) = — „(~А1 — гь,) (4А, — 1А1) + о, (1А,) + 31 (гА1 — хА1 Я,, — гА1) (юА1 + гА1 — 24А1).
(зз) + — + (4.2.40) Вычитая теперь (4.2.38) из (4.2.39) и деля на ЕА~1 — СА1, получим 01 (441) = — 2~ (~А1+ 411 — 2411)— 14" (1А,) + 'з1 (Зз) 3$ 4( А1 А1) + ( А1 А1)( А1 А1) + (ГА1 — ~А1) ~ ° (4.2.41) Нели в качестве точки ГА1 взять середину активного участка 1+1+ 141 А1 =- (4.2.42) то из (4.2.40), (4.2.41) соответственно находим 01(сА1) = — ',"" ~ "' ") +0((сА1 — гА1)'~), (4.2.43) (4.2.44) Из (4.2.40) — (4.2.44) окончательно получаем, что для оптималь- ной траектории 1 6, (4А,) = 0 (4 — гА1)' Угьг ен ~сА1, 4~, (4.2.45) 1А1+ 141 если 1А+1 + 1 —, (4.2.46) 1А1 + = (441, 1+1.
0 (4А! 4А1) 0 (~~ — ~,п), Вернемся к соотношению (4.2.32) и рассмотрим, с какой точностью оно определяет нули функции переключения 01(4) по отложению к активным участкам режима 2. и, следовательно, по ~~ношению к точке прилол1ения оптимального импульса 44 = 441 44Л1 ПГИВЛИжЗННОВ ПОСтГОВНИВ ОнтИМАЛЬНЫХ ПВГВЛВтОВ ГЗЗ оптпмлльнып пвгвлвты с копвчпоп тягоп $84 ~гл,ч (см. (4.2.5) ). Так как. согласно (4.2.30), (2.2.51), (2.2.88), 0» Р»з) 0» ('»з) -- 0 (4.2.47) из (4.2.32) в окрестности точки ~>, порядка ~пах(~»' — ~,, )з в самой точке 1» имеем 0»(1) --.— О [птах(~» — 1» )~~. (4.2 48) Поскольку сама функция переключения (4.2.45) ка оптимальной траектории такова, что смещение от ее нуля па величину норад ка длины активного участка изменяет сена величину второго порядка малости, условие (4.2.48) определяет нули функции 0»(~) г + с точностью порядка птах(Г» — 1» )ю Таким образом.
хотя условие равенства нулю функции переключения в концах активного участка ~Й, согласно (4.2.48), вьы полпепо, как и прочие условия оптимальности, с точностью пот + — ~г~ рядка О[)пах(1» — Г» )з), само это условие не может быть использовано для выбора концов актнвных гчастнов с точностью больше ~, чем О [птах(1» — г» )з~. Взаимное полоягснно точок 1» = 1„» и г» определ) ется пунктом 3' правила Пь Сопоставляя (4.2.33) и (4.2.35) в точках й г соотношениями (4.2.46), аамечасм, что в точках г» для производной 0 (г») с соответствующей точностью выполнены то же услозкя, что и для производной 0~(Г»,), прп аналогичном взапмпом располояипип точки Гм относительно точек гй па оп опальной траектории 1. Составим для траектории 2 гамильтоииан (1.2.74) (Нз(1) --. (р„У») + (в»э й(гз, 1)) — — ((з„е,) ( р ).
(4.2.4У) Используя оценки для фазовых и сопряженных переменных (гп. (4.2.7), (4.2.8), (4.2.16), (4.2.25), (4.2.28)), получим ».»)»,(»~о~...»Г-|;Ц3-[ ) о$..»г~г. -~.-М! (4.2.50) Из (4.2.50) и (2.2.47) следует, что условие непрерывности (1.2.45) гампльтоппапа г7»(Е) вывоз на пассивных участ ках с то !постыл О [пьах(1» — 1» ) )~, с па активных — с точное тыо О [гпах(»»' — 1» )з]. Из (4.2.32) и (4.2.30), (2.2.89) слодует, что всюду па пассив пых участках условие принципа макси»»умй — отрицатель ... ьпость ьз) пРивлиженное 11ООТРОениГ Оптпмлльп!1х пеР11лГТОО $36 ;: функции переключения ла пассивных участках (1.2.36б~, ;(1.2.37в) — выполняется с точностью до величин 0 (шах($В» — Г» )2~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
