Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 34
Текст из файла (страница 34)
1, 10 ) следует: В дальнейшем будем сравнивать режимы полета с одним и тем количеством активных участков и одинаковым расходом 168 Оптимллы1ЫВ ПВРВлеты с конвчной тягои 1гЛ. гл. г массы на каждом из активных участков: (-.:).-($). (4.1,12) откуда прн равенстве начальных или конечных масс следует (Лзь )1 (Л22 )2. (4Л.1З) В этом случае уравнения (2.1.4), (2.1.5) п (1.2.70) — (1.2.72) показывают, что для близости траекторий должно быть 22=1=1,—,'2, й=1,2, ..., У. (4.1.18) С111ор21улируез1 теперь с учетом изложенного уточленпую постаповку задачи 2 следующим образом: Пусть пзвестпа оптимальная траектория 1 (си. постановку вариационной задачи в разделе 1.2Л) для заданного ограничения 0 < Т1 < Т1 (4.1Л9) Без потери общности можно считать, что для траектории 2 выпол няется ограничение (см.
замечание на стр. 172) 0 < Тг < Т2 „„Тзш ) Т1 ш ° (4Л.20) Требуется на основании информации, известнои для траектории ип 1, построить приближенно оптимальную траекторию 2 так, что чтобы при выполнении условия (4.1.13) она с максимальной точное~ею удовлетворяла бы краевым условиям. При этом в качестве ми минимизируемого функционала будем рассматривать конечное зн значение характеристической скорости 6 = дь (4.1.21) ля рекотороо, как было сказано выше, является одним и тем же дл р жимов полета 1 и 2. бД1 = О (4ЛЛ4) и тРаектоРии 1 и 2 имеют оДин и тот же фУнкЦионал 1" = до Прк этом, как следует из (4ЛЛ1), траектории '1 и 2 отличаются друг от друга из-за того, что в общем случае для режимов 1 и 2 е,(1) чье,(1), 1д —,.'=02 (4 Л.15) Из (2.1.5) вытекает, что для того, чтобы траектории 1 и 2 были близки, на активпых участках должно выполняться условие Е1(Е) = Е2(Е).
(4Л.16) Кроме того, при условии 12" — 1А «11 — г1, й = 1, 2, ..., М, (4.1.17) »н Ш'ПВЛ1ШЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ПРИ ПЗЪ|ЕНЕНПИ ТЯГИ 169 Поскольку для опхнмальпых траекторий 1 и 2 па активных участках 1Я1,1 сопз1 .= Ги„й — . 1, 2, ..., 11', (4 1.22) тьэ - сопзг-= т», й =- 1,2, ..., 1"«Г, (4.1.23) примем, что условие (4.!.23) выполняется н для конструируемой траектории 2, При выполнении этого условия решение задачи 2 сводится к выбору некоторого «наилучшего» закона е,(!) на активных участ- ках и опродшюшпо «паплучшего» расположении величин Глэ от+ носительпо величия ~81. Из (1.2.75), (1.2.76) следуот, что Р н 5 непрерывны всюду па траектория. Основываясь на это»1, ион.по, как и в .разделе 1.2.3, показать, что входящие «э правые части (4.1.6), (4.1.10) и (4 1.11) функции 8(1) и р«(1), соответствующие, как это было указано выше, режиму 1, обладают следующими свойствамн (см. соотно- шения (1.2.55), (1.2.65) и конец раздела 1.2.3): 8(!) я С» (!ь !1), рд 8= С«(г«, !1), р««= С [Ср...
!»1~. (4.1.24) 2! 8 (ь) (4.1.25) 81(!) = е« (11) -5 е'.(11)(1 — 1„) + ' ' (1 — 1„)«, 1 = — 1, 2, (4.1.26) ТДе 1«( с„с«'« '1,.061;шачнм (см. (4.!.11) ) для некоторого Й 7, — с ~ [з, [[ —,"„' е~ — ( — „"е) Ц«. (4.1.27) и Отличие в оценко для р«(от (1.2.65)) обусловлено тем, что рассматриваемые функции з(1) и р, не удовлетворяют условиям (1.2.34) — (1.2.36), н результате чего правая часть (1.2.77) в концах активных участков ииоет разрьгвы первого рода.
Поскольку режим 1 оптимальный, согласно (1.2.34), (1.2.55) 81(г) можно считать трижды непрерывно дифференцируемой для любого 1е=. [!ь Г,!. Поскольку рожим 2 предполагается близким к оптимальному, считаем е»(!) также трижды непрерывно дифференцируемой функциой. ПУсть Гя 8= [!«, !1,~; тогда в некоторой окрестности ео ла основании установлсппых свойств а(Г) и е,(!) имеем 17О ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ С КОНЕЧНОЙ ТЯГОЙ /ГЛ.
22 Подстановка (4.1.25) и (4,1.26) в (4.1.27) даст 1, = ~ (~(вд, е„) ( —,) — (вд,, ) ( — ) ~ + Ивд, езд) + + (в„, едд)1 ( — ~ (/ — /д) — ~(вд, е~д) + (вд, егд)1 ( — ) (г — Г ) + /2 Ат/А "Е=-Э,('-")'(-),'-"']1"' Здесь вд — — в (/д), е;А = е; (/д), ~=1,2,) 2 = 1, 2. (4.1.29) вд = в'(/д), е2А = е; (/А), Интегрируя первую квадратную скобку том (4.112) в (4.1.28), получим с уче- // тд /'тд ~ 1 (тд — ~ с (вд,е «)1п( + ) — (вд,е А))п( — ~ ~ =с(вд, езд — е,д)1п( — ~. т/ тд тд (4.1.30) Из (4.1.30) следует: для того чтобы в У/ члепы нулевого порядка взаимно уничтожились, должно быть е,(1,) = е,(/„).
(4.1.31) Рассмотрим теперь интегралы от членов, ликейпо зависящих от (/ — /А). Первый из этих интегралов с точностью до постоянного мпожителя равен 'А /Аз 12= )' ( — 1 (1 — гд)с)с=т2 ) . А с//= /2 т (/Аз) + "'2 (/ — 'Аз) /А /Аз тд + т2(/д — /дз) тд = 122 — /Аз + 1п —. т т/, (4.1.32) Из условия /2 = 0 получаем т2 (/Аз Адд + ~тд + т, (СА — Ада/1 1п — + — — О. (4. ) т/ Обозначим тд (ГА2 — /Аз/ = — А2тд тд +т2 (/д /Аз/ тд ("А)' + — — ' — .1.34) В соответствии с (4.1.13) расход массы ка активном участ стке пРивлиженное постРоение пРи изменении тяГи 171 1ья ве зависит от режима полета.
С учетом (4Л.34) перепишем (4,1.33) в виде ать т! (1„) (4Л.35) 1в диалогично вышеизложенному, для интеграла !д + !+ ы получим: 1з — — О, если т! (!ь) т!, (4Л.37) Здесь т„(1ь) = тц, + т,(1ь — 1,~). (4.1.38) (4.1.40) 1о Обозначая ать — =Х, ть перепишем (4.1.40) так: т! — =У т! (4.1.41) Х у=— 1д (1 — Х)' (4Л.42) Г рафик зависимости (4.1.42) приведен на рис.
4.1.1. ~еловке (4.1.40) определяет положепие точки 1„и расположеантивных участков 1 и 2 относительно этой точки. Положение Гь не зависит от режима и определяется только расходом массы осы на я-м активном участке. Зная траекторию 1, для каждого Но из (4.1.35) и (4.1.37) следует: т (1д) = тг(Сь) = лз (гь) = т„. (4.1.39) Таким образом, условие обращения в нуль членов порядка Ог+ (Гь — 1д ) в 1! записывается в виде Ьтд 172 01!Гив!<Ы<ьные 1!кгк;<еты с !е!Ик п<оо тягой <Г<! ' . 1Ч из активных участков находим г,. Зная тг, определяем начю, ' ло Газ и конец Газ активного участка рс!кима ' в соответстав< (4.1АО) (рис.
4.1.2). Если, согласно (4.'!.20), (и.) ~ Ц, (4.1А3) то, в соответствии со сказанным, [1-,, 1,') з С [Г-,, 4 . (4.1.44) Предполагая в дал<<не!!шех! (без погори общности, см. ни<ко ! ГГ! 41 б 'кг!Г! Г Т < ии '!юох !« х Рис. 4Л.2. Рис. 4Л.1. замечание) выполненными условия (4.1.43) и (4.1А1), получаем на основании (4.1.24) для л!обого ! ~ [Га Га / р, †. р, (!а) + р', (Гл)(! 1„) + ,„ (! 1„)-, (4.1. 5) г,(.ч) где $ <:=(!а, Гаа). Используя зто разложение, находим, что при ° Я Г, .40 выполнении (4.1.ЕЗ) и при Г„выбранном в соответствии с (1.! !0)~ в интеграле (см.
(4.1.1'!) ) (4!А.46) обраща!отсн в нуль члены пулевого и первого о!н<осите ительно (' йд — Гр, ) порядка малости. и!1! ( 3 а и е ч а п и е. Когда Тз,, ( Т, „и„н соответственно ! л!! и,< яженные ( ~т ~, то все рассуждения остаются в силе, если сопряже! 1 поменять переменные вычислять на режиме 2 (т. е. фактически по местами обозначении ренсимов) . 1ь / П п!'/!с:/нжкешог //огт!'Оееп/!'. пг/! измкш'.п!/и т//Г/! !7З !!/,/ч//с////// интегралы от последних членов в (4.1.28), получим г!ри////ыая, что па //ктнв//ыт участках относительный расход массы (безразмерный) — — — '(0// — г/„), /:=- 1,2, й 1,2, ...,/т', (4.1.48) т /// таков что шах !и(/ль !/нб ) прсдставляот величину нулсвого порядка, окончательно с учетом (4.1.13), (4.1.14), (4.1.31), (4.1.40), (4Л,44), (4.!.47), ~(4.1.48) получаем ((р, бг)+(в, 6//))(/ О'!шах(б/, — !/, );).
(4.1.49) В проводсппых рассуждениях точка Гм относите//ьяо которой соотгстствую/дпс функции раскладывались по формуле Тейлора, бралась одной и той же для всех функций а(!), р,(!), е/(!). Введем теперь евон центры разло/копия для каждой из указанных /' // функций б/„г/,, Гь соответственно. Тогда точно так н/с, как зто сделано вып/с, для определения каждой из указанных точек получим соотно/осш/я вида (4.1.35), (4Л.37), где вместо величин в/(Е/) будут стоять величины и/(гь), т/(Е/,') и /л/(Еач) / = 1, 2, соответственно. Сравпиван зги соотноглспия для каждого из режимов, получим, что вследствие равенства правых частей стих соотношений должно быть / =1 2, й -.1 2,,/У, (4150) откуда следует: !,/, — ф .
!/- 0/" .—. !„, й 1,2,..., Х, (4Л.51) Таким обр//з//х/, в качество центра разложения для каждой из функ/хнй а(/), р,(!), е,(!) прп получеппи оцсш;и (!.!.49) следует Рать одну и ту же точку 1„. раскладывая (1.142) при Х ( ! в ряд, получим Х Хт Х/ !2 слн в качество точки !„ // (1Л.25), (4.!.26) и (1/.!Л/5) выбрать сере рсднпы активных участков и положпть — / '/ '// /о (4.1.53) 174 ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ О КОНЕ'ШОЙ ТЯГОЙ !ГЛ ~. то величина У (4.1.42) будет равна . („— „1 ( С+ — 1,) У вЂ” —" — — 1 2 — 1, ° (4.1. 54) тА т, Сравнивая (4.1.54) и (4.1.42) с помощью разложения (4,1 52) (см.
рис. 4.1.1), замечаем, что практически при всех значепия- Х ( 0,6 величина 8и, определяемая из (4Л.42), близка к (4.1,53) Если величину 8т соответствующую (4.1.42), замепить на ве и' чину г„соответствующую (4.1.53), то относительная ошибка в ве личине интегралов /~ и 1~ составит (рис. 4.1.3) 1 .Тз та ЬУ = 1 — 2 Х+ 1 и — — 1з + 24 ... (4.1.55) дл ( — ) =сопз1, 1=1,2, т/з (4Л,57) и из условия обращения в нуль интегралов вида (4.1,32) полу чим, что г„должны удовлетворять (4.1.53) . Условие (4Л.31) зависит от вида ограничения. Поскольку теперь р, = сопз1 1 (см.
(1.2.39)), то (4Л.46) 1~ —— 0 при условии (4.1.13). Таким обри зом, в случае отраничепия тиговооружеености для режима 2 Ямее место оценка (4.1.49), осли выполняются условия (4 1 31) (4.1.53). Таким образом, при расходах массы — и<0,6 (4Л.56) та с относительной ошибкой 4% можно считать, что 1, определяется соотношением (4.1.53), т. е. середины активных участков режимов 1 и 2 должны совпадать. Смещение значения гь опредеЦ4 ляемого равенством (4.1.40), от середины активного участка кого дг концу объясняется наличиемв иптеграле вида (4.1.32) весового множителя 1/ть который при л Л5 4Р больших расходах массы резко возрастает и существенно искажаРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
