Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Оптимальная фазовая траектория КА заранее не задана я определяется непосредственно в ходе решения краевой задач~. 2'. «Подозреваемая» на оптимальность фазовая траектория КА заранее задана. В первом случае для определения оптимальной траектор"и я ьностя пользуются непосредственно необходимые условия оптималья Во втот. е. задача решается с помощью вариационного подхода. Во ьз"1ОтСЯ ром случае необходимые условия оптимальности использу ета я задля проверки оптимальности заданной траектории перел~~~ зд РЕШЕННЕ КРЛЕВЪ|Х ЗЛДЛЧ ОПТИЫИЗЛЦИН ПЕРЕЛЕТОВ 155 (3.3.1) В конце )-й кеплеровой дуги из уравнений движения аппарата в гравитационном поле определяется радиус-вектор г1Т1 и вектор скорости КА Ч1.11: ъг(- Г;+1 =Г;+1(Г;, ";, 1;+1 — 1;), У(~1ье1 — О) = Ч,+1 — У,+1(г1з У;, И.11 — г;).
(3.3.2) (3.3.3) В момент перехода от (у — 1)-й кеплеровой дуги к у-й кеплеровой дуге КА сообщается импульс скорости АУ;=У1+ — Ч;, )=2,3, ...,Х вЂ” 1, (3,3.4) Начальное и конечное состояния КА определяются векторами (Г1, г1, У1 ) 1=Б ЛХ1 (3.3.5) и (Г 1, гл(ггг 1 Уф 1, ~л — Гл 1), Уф) ~ ЛХ1Т. (3.3.6) Вектор х искомых фазовых координат в общем случае можно записать в виде ( — +., У+..гЧ+ , г„п Ум „~№У+м) (337) Заметим, что в качестве независимых перемеппых, задающих движение КА по )-й кеплеровой дуге, можно вместо (3.3.1) взять аюбые восемь скалярных величии, определяющих зто движение, например Г„гь ~м1, г,е1. Тот или иной вид выбираемых независимых переменных не имеет принципиального значения для провоДлмых ниже рассуждений, хотя при решении копкретных задач он Может иметь важное значение. Выразив импульсы (3.3.4) через соответствующие переменные, Ходящие в вектор (3.3.7), запишем на основании (2.2.46), ча решается на основе сочетания зкстремальпого п вариационного подходов.
Цариационный подход к решению задачи оптимизации перелета (случай 1'). Зададим количество мпульсов )У, которыми может быть осуществлен оптимальный нерелет. В качестве искомых фазовых переменных введем радиусы-вектоРы г1 точек пРиложениЯ импУльсов, вектоРы скоуости В зтих точках после приложения импульса У; = Ч(~1+ О) и моменты Г, приложения начального импульса па 1-й кеплеровой дуге. Каждая кеплерова дуга, входящая в перелет, определяется восемью скалярными величинами. + "1З 11 У1 ~1ве1 $56 сопгяжнннАя спсткмА В ньютоновсгюъ| пОлк ~гл гл.
и, (2.2.59), (2.2.60) для концов 1-й кеплеровой дуги соотношения Луз '(') = )ау,.~ ' Л У 1 1 '("+') = !ЛУ6+,(' (3.3.9) С учетом (3.1.6) — (3.'1.11) соотношения (3.3.8), (3.3.9) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно пн1 стояпных (А, В, С, )7, Е, Г) ь 1= 1, 2, ..., Л вЂ” 1, (3.3.10) входящих в решение сопряженной системы (3.1.6) — (3.1.8) нлн (3.1.9) — (3.1.11) на ~-й кеплеровой дуге.
Поскольку рассматриваемое решение сопряженной системы фундаментально, система уравнений (3.3.8), (3.3.9) всегда разрешима. В результате решение сопряженной системы уравнений на всей траектории можно в явном виде записать через переменные, входящие в искомый вектор фазовых координат. Рассмотрим теперь необходимые условия оптимальности перелета (см. раздел 2.2.1). Заметим, что, поскольку вектор а удовлетворяет условиям (3.3.8), (3.3.9), он непрерывен на всей траектории з(С1 — О) = а(Е1 + О), 1 = 2, 3, ..., 1Ч вЂ” 1. (3.3.11) Условия непрерывности вектора р (2.2.44) р(г,— О) = р(11+0), у = 2, 3, ..., )Ч вЂ” 1, (3,312) и гамильтониана (2.2.51) г(~1) = О, 1= 2, 3,, 1Ч вЂ” 1, (3313) дают в каждой точке приложения внутреннего импульса четыре скалярных соотношения, что соответствует количеству искомых фазовых координат 11, Ч1 во внутренних точках траектории.
+ Система соотношений (3.3.12), (3.3.13) дополняется условиямп трансверсальности (2.2.61) — (2.2.63). Выражая все переменим~ в (3.3.12), (3.3.13), (2.2.61) — (2.2.63) через фазовые координаты входящие в вектор х (3.3.7), получим для определения этого век тора замкнутую систему трансцендентных соотношений, состоя щую из уравнений (2.2.61) — (2.2.63), (3.3.12), (3.3.13). Если в результате решения этой системы окажется, что всюду на полученной траектории (см. (2.2.89) ) з(г) <1 Чг ~ () (1Н 1;+!), (3 3 14) то на найденной траектории будут выполнены все необходимы ные условия оптимальности и найденная траектория — строго локаль РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРЕЛЕТОВ $57 ~вв оптимальна.
Находя при заданном )у все решения и сравнивая зэ аэ тученпые решения при различных У можно из найденных ло„ьпо оптимальных траекторий выбрать абсолютно оптимальную РаектОРию. Аналогичная методика решения краевых задач оптимизации „пульспых перелетов, основанная на необходимых условиях опяяальности, изложена в книге В.
В. Ивашкина 141. Несмотря на принципиальную простоту и ясность такого подода, его практическая реализация в общем случае связана с предолепием значительных трудностей, обусловленных тем, что лтимальпая фазовая траектория определяется одновременно с сответствующим ей решением сопряженной системы.
За исключенивя случаев, характеризующихся рядом существенных упрощаюИех предположений и небольшим количеством импульсов (одинВва) (см. примеры в Т 3.2, в монографии Лоудена 1241, в работах С В. Дубовского [1, 21 и Смита 11) ), система уравнений для опРеделения оптимального вектора х (3.3.7) получается сложной з громоздкой. Решение этой системы в общем случае возмоягно ввюь численными методами с помощью ЭЦВМ. В тех случаях, когда такой подход позволяет аналитически довести решение задачи оптимизации перелета до конца, он окавявается весьма эффективным (см. гл. У1 и Ч11).
Сочетание экстремального и вариациопного подходов при решении задачи оптимизации перелета (случай 2'). Пусть задана некоторая фазовая 1У-импульсная траектория перелета КА с начального на конечное многовбразие, удовлетворяющая заданным требованиям и ограничениям. Такая траектория может быть задана а рг1ог1 из «рациональных» июбражений или получена в результате решения соответствующей экстремальной задачи. Используя снова соотношения (3.3.8), (3.3.9) для всех точек ЗРеложения импульсов ) = 1, 2, ..., )у, можно на каждой кеплеРовой дуге найти численные значения постоянных (3.3.10). Расволагая яве решением сопряженной системы, соответствующей Рассматриваемой фазовой траектории, можно численно проверить, в"волняются ли условия (3.3.12), (3.3.13) в точках приложения в (2.2. вутренних импульсов, условна трансверсальности (2.2.61)— 2 63) и условие (3.3.14) на всей траектории.
~ели эти условия выполнены, то заданная у-импульсная траввто эрия перелета строго локально оптимальна. мвль ели же какие-либо из указанных необходимых условий оптисмот внести перелета не выполнены, то приходим к ситуации, расусл тревной в разделе 2.3.3. Условия (3.3.8), (3.3.9) совпадают ввм е вознями (2.3.36), а вариация функционала 66 записывается т Де (23.37). В этом случае можно применить л заданной неопвмаль льной траектории рассмотренные в з 2.3 методы улучшения 158 сопгяжкннля систсмл в ньютоновском полк ил гн неоптимальных импульсных траекторий для численного рещ задачи Оптимизации перелета с использованием заданнои тр е шенк„ торин в качестве исходной.
Эти же методы позволяют качеств траек выявить «степепь неоптнмальности» заданной траектории н твенно зать ое причину (неоптимальный выбор количества импульсов,у н уканеоитимальное распелся«ение и выбор крайних и про»«ол«уто, импульсов) . очных Основной особенностью рассмотренной схемы решения «атал 'адачк оптимизации импульсного перелета является раздельное Расс»ю мотрепие задачи нахо»ндения фазовой (в общем случае исоптима-, ной) траектории и соответствующего решения сопряжоии . системы.
Задача определения фазовой траектории, как ужо гоз рилось, решается с помощью экстремального подхода как;щдач нелинейного программирования в конечномерном пространстве (см. раздел 2.1.1). Решение такой задачи всегда имеет практичо ский смысл, независимо от того, является лн искомая траектория строго локально оптимальной в вариационном смысле. «1то касается сопряженной системы, то она используется лишь для чпслеиной проверни строгой локальной оптимальности заданного перелета. В случае неоптимальности перелета сопряженную систему удобно использовать для вычисления вектора огай 6 прн определении вариаций фазовых координат, улучшающих импульсный перелет.
В рассматриваемом случае наличие явного аналитического решения сопряженной системы в ньютоновском гравитацпоииои поле играет первостепенную роль, поскольку позволяет путем решения системы уравнений (3.3.8), (3.3.9) относительно по«толиных (3.3.10) элементарно найти решение сопряженной системы вдоль всей фазовой траектории. Такой метод особеппо эффеитпзек при применении ЭЦВМ в силу простоты используемого алгоритма его одинаковости для каждой кеплеровой дуги и минимальной ии формации о решении сопряженной системы па каждой ноплерозой дуге, которую пеобходимо хранить в памяти ЭЦВМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
