Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Таким образом, приходим к следуюп(ему важному результату: переход между любой кеплеровой дугой и круговой орбитой, входящей в состав оптимальной траектории КА, при оптимальном выборе точки перехода молсет совершаться только в апсндальной точке кеплеровой дуги. 3.2.2. Векторы а и р на произвольной кеплеровой дуге (еФО). Учитывая сказанное в конце предыдущего раздела, рассмотрим случай, когда кеплерова дуга, входящая в состав траектории, начинается илн кончается в апсидальной точке, т.
е. КА при т) = 0 или т) = я сообщается трансверсальпый импульс. Прн С = 0 получаем из (3.1.9) и (3.1АО) 140 СОПРЯЖКННАЯ СИСТЕМА П НЫОТОНОВСКОМ ПОЛК !гл где По а = — о)О, По (3.2.21) Р = — ', — (1+ е') — 2 —. в' График кривой р = р(Х) для нескольких значений и рис. 3.2.2. При П Ф О, а ) О )) достигает минимума Р ~- !поп: Хо — — а" — 1 > — 1.
(3.2 28) показан ва в точке Х . о: (3.2.29) Во всех остальных точках оР 2 2и ,х '=2 (!+х)о+О прп ХЛЬХ,. (3.2.30) Рис. 3.2,2, Точка на кеплеровой дуге вхождения кеплеровой дуги предполагая, что все точки может служить точкой приложения внутреннего оптимального им пульса, если, согласно (2 2.51), (2.2.88) и (3.2.28), в ней одновременно выполнены условия Р =Р шах, — „= О.
(3.2.31) ол Поскольку ох езьпт) (3.2.32) ер и —. = О в точке Хо (3,2,29) ми- 43 нимума Р, второе из условий (3.2.31) может выполняться лишь в апсидальных точках кеплеровой дуги. Если импульс прикладывается в крайней точке траектории положение которой на траектории оптимизируется, то, согласно принципу окаймления, такая точна не отличается от точки приложения оптимального внутреннего им пульса и в ней снова должны вы полняться условия (3.2.31). 11Р" приложении импульса в конечной заданной точке траектории вто рос из условий (3.2.31) может ве ВЫПОЛНЯТЬСЯ. Проанализируем с учетом ска- занного возможные вариантЫ в состав оптимальной траектории на траектории конечны и, следова- 1 хм ПРНМВРЫ НСПОЛЪЗОВЛНИЯ РГШКНИЯ зльно, переменная Х (3.2.24) изменяется в диапазоне — 1 < Х < е.
(3.2.33) Рассмотрим сначала случай а ) О. Пусть кеплеровой дугой является эллипс с эксцентриситетом е < 1 и Х е= [ — е, е). Если Х,~ ( — е, е), то (см. рис. 3.2.2) условия (3.2.31) выполняются в апсидальных точках ц = 0 и ц = н. В этом случае эллиптическая дуга может служить как внутренней, так и начальной или заключительпой кеплеровой дугой оптимальной траектории.
Если Хз ( — е или Ха ) е, то (см. рис. 3.2.2) условия (3.2.31) выполняются в перицептре ц = 0 или апоцентре ц = я соответственно. Во всех остальных точках Х я [ — е, е) или Х е= ( — е, е) р < р „ и импульс прикладываться не может. Таким образом, в этих случаях эллиптическая дуга монгет быть начальной или заключительной дугой оптимального перелета. Пусть теперь кеплеровой дугой является парабола или гипербола с эксцентриснтетом е ~ )1 и Хя ( — 1, е]. Поскольку среди конечных точек на этих кеплеровых дугах перицентр является единственной точкой, в которой импульс направлен по трапсверсали (см. (3.2.21), (3.2.22) ), то, согласно сказанному в начале раздела, пернцептр обязательно должен быть одной из крайних точек этой кеплеровой дуги, в которой прикладывается импульс. Если Хэ ( е, то в перицентре выполнены оба условия (3.2.31).
Движение по этой кеплеровой дуге возможно между перицентром и точкой, в которой истинная аномалия и„ удовлетворяет уравнению (см. рис. 3.2.2) 2Ха+, = 2е+ .„Ха = е сов цз(Х,. (3.2.34) Каждому значепшо Хз соответствуют два значения Чь:Чз)0 и г)з (О. Если движение аппарата происходит от перицентра Ч = 0 до точки ц < з)з (Чз > 0) или от точки ц > г~ч (Чз < 0) к перицептру ц = О, то на такой дуге импульс прикладывается лишь в перицснтре. Если движение начинается илн кончается в точке Пю то это значение истинной аномалии соответствует задалной начальной или конечной точке траектории соответственно и в этой точке прикладывается импульс.
В точке Ч = пч второе из условий (3.2.31), очевидно, пе выполняется, поэтому эта точка ке монгет быть внутренней точкой траектории перелета, а также выбираемой оптимально точкой приложения импульса на начальной или конечной кеплеровой дуге. Из сказанного следует, что ри Хз ( е параболическая нли гиперболическая дуга монсет "вляться начальной или конечной дугой оптимальной траектории. пернцентре этой дуги происходит соединение с остальной частью траектории и прикладывается внутренний импульс скорости.
142 СОПРЯЯ1КННАЯ СНСТКЫА В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛК ьгл -, :1 П1 Если Хо ) е, то во всех точках кеплеровой дуги (1 ) (1„Ь, = р(ц = 0) (см. рис. 3.2.2) и всюду на траектории не выполпе„ необходимое условие оптимальности '(2.2.89). Следоватсльл, в этом случае параболическая илн гиперболическая дуги не могг. входить в состав оптимальной траектории. Пусть теперь Р=О, а=О.
(3 2 35) В этом случае в перицентре выполнены оба условпя (3.2.31), во всех нге остальных точках Х < е любой кеплеровой дугв р < р „, = р(ц = 0) и импульс прикладываться не может. Сле довательно, при условии (3.2.35) кеплерова дуга может являться начальной нлн конечной дугой оптимальной траектории. В пори- центре происходит соединение с остальной частью траектории и прикладывается внутренний импульс. Прп Р = 0 пз (3.2.21), (3.2.22) получаем г„= Ве зш 11, (3.2.30) г, = В(1 + е соз 11). (3.2.37) Сравнивая компоненты г, п г, с соответствующими компонентами вектора скорости аппарата Ъ' (1.3.37), (1.3.38), замечаем, что в(ц) = В)~'рУ(т1). (3.2.38) Случай, когда одновременно А = О, Р = О, реализуется, в частности, когда рассматриваемой кеплеровой дугой является параболическая или гиперболическая дуга, проходящая через бесынечно удаленную точку (см.
раздел 3.2.3). рассмотрим теперь случай, когда (3.2.39) В=О, РчьО н компоненты сопряженного вектора (3.2.21), (3,2.22) равны г, = О, (3.2.40) (3.2.41) 1+ е сов в' Из (3.2.40), (3.2.41) следует, что при условии (3.2.39) эллиптическая дуга (е < 1) только с одним импульсом в апоцентре удою.
летворяет необходимым условиям оптимальности. Такая эллиптн ческая дуга может слунгить начальной или конечной дугой оптн мальной траектории, причем в апоцентре эта дуга соедипяетс" с остальной траекторией. Заметим, что этот случай соответству~~ рассмотренному выше случаю для эллиптической дуги при В ~ и Хо)е. В случае параболической дуги (е = 1) или гиперболической дуги (е ) 1) нри движения от пернцептра г(ц) монотонно воз ззн пгнз1вгы использовлння Рвшвння растает, и, поскольку оптимальный трансверсальный импульс на тнх кеплеровых дугах может быть приложен только в периценте, на таких дугах не выполняется необходимое условие оптимальности (2.2.89), н, следовательно, параболическая и гиперболическая дуги при условии (3.2.39) не могут входить в состав оптимальной траектории.
Сводка всех рассмотренных вариантов возможности или недопустимости включения кеплеровой дуги в состав оптимальной траектории перелета приведена в таблице 3.2 1. Таким образом, если кеплерова дуга начинается нли кончается в апсидальной точке и все точки приложения импульсов оптимизируются, то импульс может сообщаться КА только в апсидальных точках. Из этого следует, что параболическая и гиперболическая дуги могут являться только заключительными участками 'оптимальной траектории.
В случае эллиптической дуги получаем, что если один из импульсов — при ц = 0 или ц = я — трансверсальный, то и второй импульс — при ц = я или ц = 0 соответственно — тоже трапсверсальный. На основании сказанного выше и в разделе 3.2.1 с учетом принципа окаймлепня приходим к следующему важному выводу. Если в оптимальном плоском перелете между начальной и конечной кеплсровыми дугами (а) продолжительность перелета не задана н С = О, (б) все точки перехода между кеплеровыми дугами, а также начальная и конечная точки па траекто' рии не заданы, а выбираются оптимально и (в) одна из кеплеровых дуг, входящих в перелет, начинается или кончается в апсндальной точке, то при таком перелете все импульсы сообщаются КА только в апсидальных точках всех кеплеровых дуг, входящих в перелет (прн условии, что радиус-вектор аппарата все время конечен).
Пусть КА сообщается импульс в перицентре и кеплерова дуга является эллипсом, параболой или гиперболой. Тогда с учетом (3 2.12), (3.2.20) получим, что па кеплеровой дуге постоянные В и .0 связаны соотношением В(1 + е) з + В = -1- (1 + е). (3.2.42) Если кеплерова дуга является эллипсом, то импульс может сообщаться КА в апоцентре и аналогично В(1 — е)э+ В = -~- (1 — е).
(3.2.43) ~нани плюс и минус в правых частях (3.2.42), (3.2.43) соответств твуют разгонпому и тормозному импульсу. Если на эллипсе КА сообщаются импульсы как в перицентре, так к н в апоцентре, то в каждой из этих точек должны выполпять"~оотношения (3.2.42) и (3.2.43). СОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ 144 ~ГЛ, Таблица ЗЕ~ Пвлвжениг шрня Хс Хсе)-е,е) Хп <-е Хв- е Рллипс, е<) Напольная им квненнсн движение карня Хв Хс à — I е) Хп е а>д Понсльнся или квнеьнся гуго л=я" Рллипс, е .У Понолькая ини какеаьвя Руга Хеплервдо Руга нс ипжет уладить д свсгпод сппшипльнви' прогнпшрио Парадоло, е=б или гипердоло, е Рллипс, парадпла гипердало Псрадала, е-l, или гипердала. е. / двгисжньи панно прилвжения оптииального иипульж Тип Руги д свел те вптииальнвд траеюпприи Всеивжньи твиш приложения вппшивльнвгп иипульса Тип Руги д состаде оптииольнай яраектарии две иожньи пюеш принажишя аппшиальнага оипульсв Тип Руги д сослоде вппшипльнпй траектории двгивжиые тонки приложения вплиивль нага иипуасп Тип дуги д спствде тпоивяьнвд проешпории днулрвняя, напольная или ноненнвя дуга Повальная или нпненная Руаб тонна соедонгноя с аптиивльнвй траекторией ьсл,,„а дс Рьес , жисжет дхсдить Р сснпсд опть Ниль ши и рогшпариь' ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕШЕНИЯ 145 Компоненты вектора р ( 3 1 .
1 9 ), ( 3 . 1 . 20 ) с учетом ( 3. 2 . 20 ): р„= —,, (1+ е сов т1)'( + В), (3.2.44) Р рт = — — Рез1пг). 1 (3.2.45) Сопоставим полученные результаты с необходимыми условияки оптимальности импульсных перелетов (см. раздел 2.2.1). Условие непрерывности гамильтониана Н (2.2.47) па всей оптимальной траектории выполнено за счет того, что постоянная С = 0 па всей траектории (условие (3.2.1)). Условия непрерывности вектора з (2.2.45), (2.2.46), (2.2.59), (2.2.60) и (2.2.88), (2.2.51) вмоцент приложения импульса выполнены путем выбора на кеплеровых дугах в качестве точек для сообщения импульсов КА только апсидальных точек и спецмального выбора монстант~в соотношениях для компонент вектора з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
