Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Будем для 150 СОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕЗ1А В НЫОТОНОВСКОЗ1 ПОЛЕ игл гл и, определенности рассматривать перелет с внутренней круговой биты па внешнюю круговую орбиту. Обозначим радиусы внутренней н внешней орбит через а к 5 соответствепно. Из соотношений а= —, 5=в Р Р 1+е' 1 — е (3.2.75) для фекального параметра и эксцентриситета гомановского пере лета получаем (3.2.76) (3.2.77) п — 1 е= —, и+ 1' где Ь п = — 1.
и (3.2.78) В точках А и В касания гомаповского полузллипса начальной к конечной орбит КА сообщаются разгонные трансверсальные импульсы, равные модулю разности скоростей двшкения аппарата по соответствующей круговой орбите и в соответствующей апслдальпой точке эллипса. Относя все скорости к скорости движения по внутренней круговой орбите, получим из (1.3.38) с учетом (3.2.75) — (3.2.77) длз импульсов в точках А и В соответственно Л~, = ~~' †,'и — 1, (3.2.79) (3.2.80) В последнем случае характеристическая скорость гомановско ского перелета равна разности между параболической и круговой с"о ростами. Можно показать, что при п = 15,582 характерно™ тяче- Характеристическая скорость гомаповского перелета равна Зависимость ЛТ', = ЬУ,(п) (3.2.81), приведенная на рис. 325: подробно исследована в работах Хелкера, Зилбера 111, Эрике (71' Эскобала 12].
Согласно (3.2.81) 11ш аул гем = О (3,2.82) и-е1 11ш й г'х „„= 'г' 2 — 1. (3 2,83) пгпмкгы использования Рвшвппя !б! Язв! :сная скорость гомановского перелета (3.2.81) достигает максимума (рис. 3.2.5). Величина этого максимума, отнесенная к круговой скорости на внутренней орбите, равна 0,536. Разгонные трансверсальные импульсы сообщаются КА в точках касания полуэллипса к круговым орбитам А и В (рис.
3.2.3). Ца переходном зллиисе этим точкам соответствуют значения истинной аномалии ц = 0 в точке А и ц = я в точке В. В соответствии с результатами раздела 3.2.1 на каждой иэ круговых орбит этим же точкам соответствует значение истипной аномалии и = О, где для каждой нз круговых орбит берется своя истинная апомалия ц (см. соотношения (3.2.9), (3.2.13), (3.2.14) ).
Далее, следуя Лоудену [24], примем, что начальная и конечная круговые орбиты входят в состав оптимального перелета (на зто важное обстоятельство обратил внимание В.С. Новоселов [1]; отметим очевидную аналоги!о между этим предположением и принципом окаймления, см. раздел 2.2.3). На основании сказанного в конце раздела 3.2.2 запишем условия непрерывности вектора р в точках А и В, используя формулы (3.2.18), (3.2.19), (3.2.42) — (3.2.45); а !3,'3 в точке А: 1-~- 17 = ( — ] (1+ е)'(2 — е); (3.2.84) ',Р! гь~зд в точке В: 1-,'-Р' = [ — ) (! — е)з(2-';- е), (3.2.85) Р где )7 и В' — константыв решепипсопряженнойсистемы (3.2.13), (3.2.14), (3.2.18), (3.2.19) для внутренней и внешней круговых орбит соответственно.
Согласно (3.2.9), (3.2.15) зти константы должны удовлетворять неравенствам (импульсы разгонные!) 0<Р, В'<1. (3.2,86) Используя (3.2.75), можно показать (Лоуден [24]), что при е ) 0 неравенства (3.2.86) удовлетворя!отея, если 0 < е < 0,87938. (3.2.87) Сопоставляя (3.2.87) с (3.2.77), получаем, что условия строгой локальной оптимальности (2.2.87) — (2.2.89) выполняются для го"ановского перелета только прп 1 < и <' 15,582, (3.2.88) е для значений и, не превышающих соответствующего в!ахПУз„,„. При и) 15,582 гомановский перелет заведомо невтимален, Вопрос о построении оптимального перелета между круговыми Рбитами более выгодного, чем гомановский, при достаточпо боль- в!в й х значениях параметра п был впервые рассмотрен в 1954 г.
Вгтернфельдом [1], в 1959 г. Хелкером и Зилбером [1] дельбаумом [1]. Ими был исследован трехимпульсный перелет 152 СОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ нл и, между компланарными круговыми орбитами — так называ биэллиптичесеий перелет, Биэллиптическии перелет между „ ваемнй планарными круговыми орбитами (рис. 3.2.4) состоит из дву, У ком х по луэллипсов, один из которых касателен к внутренней орбите в точ„ а другой — к внешней орбите в т е А ке С, эти полУэллипсы соеДинщ е 1отса в Общем апоцентре В,в котором КА "Уг гу сообщается промежуточный импул э Все апсидальные точки элчнпсоа Рес.
3.2.4. Расположены на оДной пРямой, про хоДЯЩей чеРез Центр тЯготениЯ, Кае показали Хелкер и Зилбер [1], биэлчиптический перелет может быть выгоднее гомановского перелета уже при и ) 11,939, есзв гу ',г г 4 ггуг,~,,г 4 ггт г э гение дел юг Рис. 3.2.5. величина ОВ превышает некоторую критическую величину ОВ ме (рис.
3.2.5). Однако при и ( 15,582 гомановский перелет остает етсЯ елот локально оптимальным (область б); при и ( 11,939 этот перел ПРИМЕРЫ ИСПОЛЪЗОВЛНИЯ РЕШЕНИЯ яется абсолютно оптимальным (область а). При и < 15,582 ростом ОВ (рис. 3.2.5, область в) характеристическая скорость ллиптического перелета монотонно уменыпается; то же имеет сто и при 11,939 < п < 15,582, если ОВ ) ОВз„,. При ОВ-+-оо элуэллипсы превращаются в параболы, импульс в точке В стаевится исчезающе малым, а характеристическая скорость пере- ~«та, отнесенная к круговой скорости на внутреппей орбите, стрей«тся к некоторо»зу пижпему пределу, равному сумме импульсов 'гочках А и С, каждый из которых представляет разность между «(зраболической и круговой скоростями на соответствующей круг«вой орбите. Отпося характеристическую скорость перелета к «руговой скорости па впутреппей орбите, получим ЛРЕ = Лрз+ Лрз = Ь 2 1)(1+ ~/ ) (3289) 3 точке перехода с параболической дуги па внешнюю круговую орбиту дается тормозной импульс, »1 = я, — 1 < Р' < 0 и (см.
(3.2 18), (3 2 19) ) Рз (гз) = згз 2 ' Р~ (зз) = О. (3.2.91) Оэгласпо (3.2.64) па параболической дуге »орбита — бесконечность» (3.2.92) Р; (гз) = ззз Рз (гз) -= О, ва параболической дуге «бесконечность — орбита» Р (»з),ду Рз (Гз) (3.2.93) гцэ Р~ Р— фокальные параметры соответствующих парабол. Поскольку для рассматриваемых параболических дуг а Ь (3.2.94) Зависимость (3.2.89) приведена на рис.
3.2.5. Покажем, что предельпый биэллиптический перелет при ОВ-~ со удовлетворяет условиям строгой локальной оптимальности. В соответствии со сказанным в разделах 3.2.2 и 3.2.3, для этоге достаточно убедиться в непрерывности вектора р в точках перехода между круговой орбитой и дугами парабол, проходящих через бесконечно удаленную точку.
В точке перехода с внутренней круговой орбиты па параболическую дугу дается разгонный импульс, »1 = О, 0 < Р < 1 и (см. (3.2.18), (3.2.19) ) р, (з,) = —,, р, (з,) = О. (3.2.90) а 154 сопгяжвннАП система в ньютоновском пОле ~ГЛ. 1Н из условия непрерывности вектора р(»1) с учетом (3.2.90), (3 2 92 и (3.2.94) получаем 2) 0<77 =)'2 — 1<1, (3.2.95 .95) а из условия непрерывности вектора р(»з) с учетом (3,2 911 (3.2.93) и (3.2.94) ), — 1 < 77' = — ()'2 — 1) < О. (3 2.96 ) Соотношения (3.2.95), (3.2.96) показывают, что постоянные В РР удовлетворяют наложенным на них ограничениям (см.
(3.2.15)) в, следовательно, для предельного бизллиптического переле~ (ОВ-+. Со) всегда выполнены условия строгой локальной опти мальности (2.2.87) — (2.2.89). Все сказанное верно и для неком плакарных начальной и конечной орбит (см. раздел 2.2.4) ворот в бескопечностп осуществляется с помощью исчезающе малого импульса.
Следует, однако, отметить, что максимальный отпосительныв выигрыш в характеристической скорости при переходе от гомановского перелета к биэллиптическому составляет примерно 10»/» и достигается при очень больших значениях апоцентрического радиуса ОВ. В результате этого продолжительность биэллиптического перелета становится намного больше продолжительности гомановского. Обращая движение по кеплеровым дугам, получим аналогичные результаты для перелетов с внешней орбиты на внутрепшою.
в З.З. Особенности решения краевых задач оптимизации импульсных перелетов З.ЗЛ. Ньютоновское гравитационное поле. Основной особенностью, отличающей задачи оптимизации импульсных перелетов в ньютоновском гравитационном поле от аналогичных задач в про извольном поле (см. раздел 3.3.2), является наличие явного аиа литического решения сопряженной системы уравнений (см. эз 3 1) Рассмотрим схемы решения краевых задач оптимизации импе»~ пых перелетов с использованием решения сопряженной систе»'Н в двух типичных случаях: 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
