Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Проведенный анализ явно показывает преимущества Рассиот реппой в случао 2' схемы решения задачи оптимизации импульс ного перелета, основанной на сочетании н последовательном ир и и«еаню меиопии экстремального и вариационного подходов, по сравпевн с рассмотренным в случае 1' «чисто» вариационным подходе»ь ; йьнои 3.3.2. Произвольное гравитационное поле. В централки ' стационарном гравитационном поле также может быть по«уч аналитическое решение сопряженнои системы (Винх [' 1)' азделк кому полю применимо все сказанное в предыдущем Р"зд В произвольном же гравитационном поле явные аналнтичьс«п шенин фазовой снстеиыуравненнй (2.1.22), 2,1.23) исоиРяжс' системы УРавнений (2.2.21), 2.2.22) на Участках пассивного "ол м между импульсами, воооще говоря, но могут быть полу" й Решение КРАеВых 3АдАч ОптимизАцип пеРелетоВ 159 рФ П результате неприменим экстремальный подход в том виде, к он используется в случае ньютоновского гравитационного по(непосредствепное- нахождение условного экстремума функции ~стих переменных, см.
раздел 2.1.1). Далее, обычные итеративные схемы решения двухточечных „разных задач оказываются неприменимыми для нахождения ре- 1еяия двухточечной краевой вариациозшой задачи оптимизации ;зпульспого перелета. Каждому нмпульсу тяги на У-импульсной раекторин соответствует одна точка Г,, в которой должно выпол- я(ггься условие (2.2.88): з(~з) =1, 1=1,2,,)Ч (3.3.15) роме того, па пассивных участках оптимальной )Ч-импульсной 'аекторни должно выполняться неравенство (2.2.89): $~ я — 1 з(г) <1 ЧГ ен () (Ю„, 4,Р,). (3.3 16) А=1 Если па какой-либо из итераций условие (3.3.16) не выполня- ется, то неясно, нужно лн в соответствующем месте на траектории зрикладывать импульс (см.
раздел 2.3.2) или же это результат легочного удовлетворения краевых условий. С другой стороны, юли в какой-либо точке г, з(гз) ( 1, г(~,) — 1, (3.3.17) топо аналогичной причине импульс в этой точке может быть чпоюрян». Таким образом, в процессе численного решения двухточечзэй краевой задачи обычпымн итеративными методами практичездя затруднительно установить с помощью сопряженной системы заличие импульса в той или иной точке на траектории. Проведенные рассуждения показывают, что для решения краезйх задач оптимизации импульсных перелетов в рамках обычного ззриационного подхода практически невозможно на основе станФфтных итеративных методов решения двухточечных краевых заЖч построить регулярные алгоритмы, обеспечивающие сходимость Щоцесса итераций.
, рассмотрим теперь схему решения задачи оптимизации пере- Зета, позволяющую обойти указанные трудности. Зададим неко'зрое количество импульсов У, с помощью которых может быть з9Чествлен рассматриваемый перелет. Пусть эти импульсы сооб')аются КА в некоторые моменты времени г„1 = 1, 2, ..., )Ч, ',к оторые радиус-вектор аппарата равен гь Пусть, далее, 4 = Ч(гз — 0),Ч+ =- Ч(~, + О) — векторы скорости КА в точ- "~) ~~ до и после импульса соответственно. огда траектория У-импульсного перелета КА, как и в случае чвзтоновского поля, определяется вектором (3.3.7). Характери- 1бО сопгяжвннАя снстемА В пыотоновскоы пОлк ~гл „, стическую скорость перелета — функционал (2.2.12) — можно писать в видо а = Ар,[г„.„ЧГ)+ Х~Ч+ — И вЂ”;— а=1 + АРЕ [Гн, гм [1П гп Ч1,.
Ч~; 1м Чз , '1п — и ЧА — П ~ч ЧЯ (3.3.18) или, с учетом (3.3.7), а=а( ). (3.3.19) Если принять вектор х за вектор искомых переменных, то для оп тимизацни траектории перелета — теперь уже в конечномерпом пространстве компонент вектора х — можно применить стандартные методы нелипейпого программирования (см. Б. П. Демидович, И. А. Мароп [Ц, С.
И. Зуховицкий, Л. И. Авдеева [Ц, К1опцн, Крелле [Ц, Ланс [Ц, Р. Ли [Ц, Н. Н. Моисеев [Ц, Моррей [Ц, Розен [Ц, Томпкинс [Ц, Уайльд [Ц, Хедли [Ц). Существенным, но пе припципиальным отличием задачи минимизации фупкцнопала (3.3.19) от стандартной задачи нелинейного программирования являетсн наличие, наряду с конечными связями, дифференциальных связей (2.1.22), (2.1.23). При использовании градпсптпых методов решения задачи нелинейного программирования, основапных на лнпеаризации функционала н связей,указанное отличие приводит лишь к изменению техники вычисления вариаций бх(1,) вектора х в точках прилоясения импульсов г,. Изложенпая схема решения задачи оптимизации импульсного перелета в произвольном гравитационном поле в прострапстве фазовых «параметров» (3.3.7) эквивалентна, очевидпо, экстремальному подходу к решению задачи оптимизации перелета в ньютоновском гравитационном поле (см.
раздел 2.3.3). Поэтому изложенный выше подход также можно условно пазвать зкстремальпым. Как н в случае ньютоновского гравитационного поля, при заданной схеме перелета, т. е. при заданном количестве пмпуль сов У и заданных областях их приложения, экстремальный под ход позволяет численно получить решение задачи оптимизации перелета.
Для полного решения задачи оптимизации перелета пе обходимо сравнить между собой разлнчпыо схемы перелета. Несмотря па принципиальную простоту п ясность экстремального подхода, его практическая реализация прн большом колнчо стве импульсов связана с выполнением громоздких расчетов Осе бенно громоздким зкстремальпый метод оказывается, когда оп применяется для оптимизации схемы перелета. Для преодоления отмеченных трудностей можно эффективпо использовать сопРЯ жеппую систему уравкепнй (2.2.21), (2.2.22). Итак, пусть задан~ некоторая фазовая траектория )Ч-импульспого перелета, получе" 3! Решение кРАевых злдлч о~!Тпт!пз.!Ипн Г!ЕРелетов Рд 3 3. „я, например, с помощью экстремального подхода.
На основании казанного в разделе 2.3.3 и соотношений (2.2.46), (2.2.59) и (2 2.60) для каждого пассивного участка, входящего в состав )Г(импульсной траектории, найдем решение сопряженной системы (2,2.21), (2.2.22), удовлотьоряющее краевым условиям (3,3.8), (3,3.9). Для нахождения решения этой двухточечпой краевой задачи можно испольювать стандартныо градиентные методы и приемы. Задавая па одном из концов 1-го пасспвпого участка неизвестный сопряжоппый вектор р+ = р (г; + 0) (3.3.20) (3.3.21) р,„= р(3;+, — 0), (р) =К'(гь ГГ„(р ) .
(3.3.22) Поснольку моменты времени 3ь 11„! и фазовая траектория заданы, элементы переходной матрицы постоянны: Кт(гь ВЭГ) = совзй. Из (3.3.22) и (3.3.23) следует, что матрицы производных тоже постоянны: дз! >! —, = сопз$, др ° (3.3.24) (3.3.25) дз. — = сопз'!. др,т! 11 В Л. Ильин, Г. Е. Кулнан найдем решенно, улов;!отворяя, путем подбора вектора (3.3.20) нли (3.3.21), на другом 11сГще у'-го пассивного участка условию (3.3.9) плп (3.3.8) соответственно. ОтметГ!т! прп этом следующие два важных обстоятельства.
Вопервых, фазовал траектория перелета задана, что полностью пскшочаот еж!сапные выше явления неустойчивости итерационного процесса прк обычном вариациопном подходе п обеспечивает применимость в данном случае обычных итерационных методов решения двухто шчпых краевых задач. Во-вторых, прп заданной фаэовой траектории сопряжепная система у;Гаг11епиГГГ (2.2.21), (2.2.22) представляет собой линейнун! одпородпуь! гпстел:у уравнений относительно сопряженных переменных р и з. Пусть К~(3, т) — фундаментальная (переходная) матрица спстетГы (2.2.21), (2.2.22) (см, соотношения (П.14';, (П.15) Призон!эппл).
Тогда на основании формулы Лаграпжа— Кошк (П.1!) ээаче.:ня сопряженных векторов р и 3 в точках ', и г,+! связагы соотпоГпением $62 сОН1'яжапнАВ сксткыА В ньютОНОВскоы пОлк <гл и 1Ц Отметим, что при практическом решении рассматриваемой двух точечнои краевой аадачи в определении переходной матрцць, 1дс(с, т) нет необходимости, нужно анать лишь одну из матрю производных (3.3.24) или (3.3.25).
В результате алгоритм роя<а ния двухточечной краевой задачи оказывается достаточно Вро етым и сводится к следующим операциям: 1'. Задаем (для определенности) вектор р<ю(<!+ О) и числек ным интегрировапием систем (2.2.21), (2.2.22) с начальными ус ловиями (р<ю (с! + О), з(1!) ) находим соответствующий вектор з'"(11+ О).
2'. Повторяем то >ке поочередно с векторами р<Ю(1;+ О) = р<з>(<;+ О)+ Ьр<д>, й =1, 2, 3, (3.3.26) ЛР<д1== !!с,б,д, с,б,д, сзбзд), 1с =- 1,2, 3, (3.3.27) где б<д, 1, 1с = 1, 2, 3, — символ Кронекера, с„, й= 1, 2, 3, — некоторые постоянные, находим соответствующие векторы з<д'(<»1) и разности <АВ>+! = В<Ю (11+!) — В<~! (<;+!). (3.3.28) Матрица частных производных (3.3.24) равна, очевидно, 1 2 3 дз! д! ( Ьз .д! <>В!+1 аз>+! д>»- < с! ' сс ' сс (3.3.29) 3'.
Из системы уравнений 1 = 2, 3, , Х вЂ” 1, (З.ЗЛ) 1 = 2, 3, ..., 3< — 1, (З.З. ) р~=р(гд — О) =р(11+0) = — р+, Н, = — Н(1! — О) = Н(<1+ 0)— = Н~, — '~ (р+ — р<'>(<д+ О)) = В;+, — в<1+1! (3.3.30) находим искомый вектор р, . Получив для задапной фазовой траектории решение сопряженной системы, можно теперь достаточно просто решить вокросы, связанные с оптимизацией схемы перелета. Условия (3.3.8), (3.3.9) обеспечивают, очевидно, выполнение условия непрерывности (2.2.45) вектора з(1) вдоль траектории и необходимых условий оптимальности (2.2.46), (2 2.59)„(2.2.60). В соответствии со сказанным в разделе 2.2.1, для строгой опти мальности рассматриваемого 1у-импульсного перелета должны Вь> полняться условия непрерывности (2.2.44) и (2.2.47) вектора р и гамильтониана Н во всех точках приложепия оптимальных внутренних импульсов: Ркшкник кРАквых 3АдАч оптимизлции пкРБлктов $63 з ».»~ ловия тр апов ерс альности ( 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
