Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 35
Текст из файла (страница 35)
4Л.З. от линейную функцию à — 1з. Пре Х вЂ” «1 1/т; — «оо, И ИятЕГраЛ ВИда (4.1.32), по существу, превращается в интеграл, содержащий 6-функцию 6 = 6(1 — 1д;/, в результате чего гь - Гы +т г+ Если считать ограниченной не тягу, а тяговооружеппость сть, то ПРИВЛИЖВННОГ ПОСТРОВНИК ПРИ ИЗМВНВНИИ ТЯГИ 175 111 Возьмем теперь в качестве режима 2 режим, для которого е, (1) = сопз1 = е,(гь), (4.1.58) 1=1,2, и, следовательно, ее ее 1 Ч 1, =1, =~1=г (4.1.59) (4 1.60) выполпепие указанных равенств невозможно, поскольку при у~а~вин й = сопз1 поло1кения точек 11' и 11* оказываются заданным сл 'ми по отношению к начальной точке 1,.
Таким образом, в этом учае краевые условия для режима 2 удовлетворяются па поря- а начало и конец активного участка выбраны так, что удовлетвояется условие (4.1.40). Нетрудно видеть, что для рассматриваеого режима имеет место та же оценка (4.1.49). Полученные реультаты позволяют дать решение задачи 2. При этом необходимо различать два случая: 1'. Активные участки в начале и конце траектории, примыкающие к й и 11 соответственно, отсутствуют, либо, при их наличии, й и 1, не заданы. 2'. В начале и (или) конце траектории имеются активные участки, примыкающие к заданным моментам Д и (или) 7, соответственно.
В первом случае в качестве режима 2, достаточно близко к оптимальному по краевым условиям, можно взять режим, определяемый условиями (4.1.40) и (4.1.58). При этом, согласно оценке (4.1.49), краевые условия для режима 2 удовлетворяются с точ/ + — 121 постыл до величии порядка О [шах~72 — Гь )1) ° В рассматриваемом случае моменты времени й и 11 при переходе от режима 1 к режиму 2 либо не изменяются, либо изменяются в соответствии с описаппым выше правилом построепия активных участков для режима 2 (см. рис. 4.1.2). Если же на одном или обоих концах траектории имеются активные участки, примыкаюгцие к заданным моментам й и 11 соответственно, то для крайних активных участков при переходе от режима 1 к режиму 2 не удается провести их деформацию в окрестности одной точки 1ь определяемой соотношением (4 1.40) . В самом деле, введя, как и вьппе, например, дляначальногоактввного участка, примыкающего к точке й = сопз$, свои центры Разложения 11, 11*, 11*, 117 для функций з(1), е1(2), ег(2), ре(г) соответственно, получим, что для компенсации в интегралах вида (4127), (4.1.46) линейных относительно ((; — 1,) членов должны иметь место равенства (4.1.50): $7С ОПТИМЛЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ С КОПЕЧНОИ ТЯГОЙ л.
ш док мспсс точно, чем в Общегз случае (4.1.49), т. е. г точно остья, до величин порядка О (1пах(2ь — б )1О Вопрос о степени близости построенной в соотвотствии с у, Указанными правилами траектории для режима 2 и строго оптима.„ ной траектории будет рассмотрен в копне раздела 4.2.1. 4 4.2. Приближенное построение оптимальных перелетов с конечной тягой 4.2Л. Переход от оптимальной импульсной траектории к проб лиженио оптимальной траектории с конечной тягой. Правило пе. ресчета. Пусть режим 2 стремится к импульсному реязпму 3 так что тз) — ° + сю, тз(~р,' — 2~,-)2.—.
СОПЗ1 Лтс. (42,1) 1 .+ Условие (4.2.1) соответствует (4.1.12), (4Л.13) и обеспечив;и т равенство функционала (4.1.21) для всех рассматрнваемых траекторий как с конечной, так п с импульсной тягой. Положим,:тс 2ь — '2ьз 222 — ~2ьз ез(2) 'ез(2)' (4.2.2) В атом случао пз (4.1.27) н (4.1,46) получаем — с ~ (в, ез) ( †) йг 2 ьза с(з(222), ез(222))1п —, (4.2.3) тз 1нп (тз(- т 2а2 2 и — г ~рч( — )Л Р 2 = СРЕ(2юз))п !И (' (4.2.4) 1пп 'аз Если положить 2„2 - 2„, ез(2„2) = е, (2„) -= е,(1,), 5) где Г, по-прежнему определяотся соотношением (4Л.40) пли (4.1.53), то для такого импульсного режима 3 ч.п,ны нулевого порядка относительно (0,' — 12 )~ в интегралах (4.1.27) п (4.1.40) уничтожаются.
т1лсны первого порядка малости относнтс2п яо (12 — Гь )1 пг а~~нсвт от импульсного 1>ежяма 3 я уничтожав'т " путем выбора 2, и соответствии с (4.1.40) илн (4.1.53). Следов" тельно, замена оптимального рсжпма с конечной тягой 1 нмяу гь оным режимом 3 при выполнения условий (4.2,5) позволяет "" лучить для импульсного режима ту же оценку (4.1.49). Таким образом, рассмотренные выше, в разделе 4.1.2, рея'я" О2МЫ 2 а<онечной тяги с условием (4.1.53) и импульсной тяги с уело"и" ! з! кгпв:гпжннноп постговнпк оптпыл>!ыгых пв!'ь, !втсп 177 М н (4.2.5) дают одну и ту же точность выполнения краевых условий по отношению к оптималыгому режиму 1. В проведенных рассмотрениях оптимальность рсжигш 1 нужна лишь при записи свойств (4.1.22) — (4.1.26), (4.1.45). Поэтому полученные результаты остаются в снло прп сопоставлении любых режимов конечной тягл, для которых име>от место соотно,пения (4.1.22) — (4.1.26), (4.1.45), с импульсным режимом, удовлетворя>ощим условиям (4.2.5).
Поскольку рассматриваемые ре>кимы конечной тяги по построениго близки к оптимальным, естественно предположить для них выполненно соотношений (4.1.22) — (4.1.26), (4.1.45) . Полученные результаты позволяют дать частичное решение задачи 1 — сформулировать >грозило построения акгнопых участков. В соответствии с результатами решения задачи 2 сформулируем зто правило сначала для случая, когда все пмпул»сы и активные участки расположены строго внутри отрезка (ги >,,) нлп, прп наличии крайних импульсов и активных участков, пркмьигающих к моментам !» 1>, когда моменты й и 1, нс заданы.
Правило П!. Пусть имеется заданная иътульсп; и траектория. Чтобы траектория КА прп конечной тяге с тем ягс расходом массы и тем вге функционалом (4.1.21) удовлетворяла бы тем жс краl -'- евым условиям с точностью порядка !пах Н!й — >>, 7 ~, должно выполняться следующее правило П!. о 1 . Расход массы па каждом активном участке,голжсп быть таким же, как и в соответству>ощем импульсе. 2'. Вектор тяги па активном участке должен пясть постояпную ориентацию, совпадающую с ориентацией вектора импульса. 3'.
Если управлением являотся вектор тяги, то точка призон!ения импульса должна совпадать с точкой активного участка, выбираемой в соответствии с соотношением (4>.1 40). !!ря относительных расходах массы, удовлетворяющпх условн>о (4,1.56), точка приложения гышульса приближенно доля'па совп,!дать с серединой активного участка. Если управлением являетгя вектор тяговооружеппостн, то середина активного участка то*>по должна совпадать с точкоп приложения импульса. В тех яге случаях, когда в заданных точках !и ! имеются концевые импульсы, соответствующие активпые участки дол>кпы примыкать к д н !» Повторяя те же рассуждения, что я в конце раздела 4.1.2, получим, что (4.2.6) ! Ф !» !7+"г! где !! и ! аыбнра>ется в соответствии с (4!.1.40) нлп (4.1.53). Для "Раевых условий получаем оценку ппгх (О(!'! — !>) (!я — г>ч))' 12 в А.
ильии, г. н, кулмаи 178 ОптныАльнык пвгвлеты с конгчноп тягон зт а не оценку шах[(22 22 ) !. Формулировка соответствующе г + — 22з пРавила постРоениЯ активных Участков длЯ этого слУчаЯ бу дет дана люке (см. правило Пз), восле подробного анализа тра екторий с импульсами и активными участками в концах тра ектории. Очевидно, что правилом Пз можно пользоваться и для костре ения импульсной траектории по заданной траектории с конечнои тягой. Перейдем теперь к апализу оптимальности (приближеннои) построенного по правилу Пз решения 2, если известно, что импульснан траектория 3 оптимальна. Для этого найдем решение сопряженной системы уравнений (1.2.75) — (1.2.77) для траектории 2 и оценим точность, с которой для нее выполняются условия оптимальности.
Будем вначале нрецполагать, что импульсы и активные участки на концах траектории отсутствуют. Пусть имеется некоторая оптимальная импульсная траектория 3 и ей соответствуют сопряженные переменные зз(з), рз(з), удовлетворнющие необходимым условиям оптимальности 1' — 7', сформулированным в разделе 2.2.1. Перейдем к соответствующему решению 2 при конечной тяге, используя правило Пь Тогда отличие фазовой траектории 2 от фазовой траектории 3 в каждой точно будет иметь порядок 0[шах(1~2 — зз )2). Рассмотрим для решения 2 сопряженную систему уравнений (1.2.75) — (1.2.77) . Фазовые переменныо для траекторий 2 и 3 должны удовлетворять одним и тем же краевым условиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
