Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Этим заканчивается проверка условий оптимальности для режима конечной тяги 2, Нргдположнм теперь, что точки расположения оптимальных импульсов 1,2 относительно концов активных участков режима 2 выбиранотся не в соответствии с пунктом 3' правила П1, а издру+ тих сообрая1оппй, например, »1„= С»2 или 2»» = М»2, в то время как пункты 1' и 2' выполняются. Тогда интегралы 72 (4.1.32), 7» (4.1.36), 14 (4.1.46) будут воличнпамп порядка 0[шах(11,' — »» Я; следовательно, в соотношении (4.1.49) справа будет величина такого »ке порядка. Поскольку ипопно оценка (4.1.49) лежит в основе всех рассмотрений, связанных с выявлением степени оп- тимальности режима 2, повторяя их, получим во всех приведен/ + — 12 ных выше соотношениях вместо оценкиО (шах1»ь — 1» )»~оценку О (шах (»ь — »д )2~, а вместо О (шах (2» — $» )2~ — оценку О (1) . Заметим, что при этом вместо топкого выполнепня пунктов 1' и 2' правила П1 достаточно выполнить их с той же точностью 0 (шах(1» — 2~ )2~.
Таким образом, в классе режимов конечной тяги 2, удовлетворяющих, согласно (4.1 13), (4.1.34), (4.2.1), условию (1в» )2 = (1и.+„)з, й = 1, 2, ..., Л', (4.2.51) режим, построенный с помощью правила П1, обеспечивает нанбольшу1о точность как по краевым условиям, так и по условиям оптимальности. Нри построении режима 2 полностью используотся запас зполезной информации» о фазовых координатах пз опт11мальгого импульсного режима 3. В самом деле, в фазовом пространство оптимальный импульсный режим 3 характеризуется моментами приложения г,з и вектоРамп импУльсов ЛЧ„» = Л г „»е1».
Величина ЛЧ,» опРеДелЯет расход массы на активном участке (пункт 1' правила П1). Но вектору е„з можно определить лишь постоянную ориентацию вектора тяги (пункт 2' правила П1). Наконец, «оптимизация» режима 2 сводится к определенному расположению активных участков относительно моментов Г,з (пункт 3' правила П1). Из проведенных рассуждений и полученных оценок следует, что построение на основе этой информации при условии (4.2.51) режима, отличного от режима 2 и удовлетворяющего краевым условиям и Условиям оптимальностл с большей точностью, не представляется возможным Если рассматриваются перелеты с функционалами С = ХЛ)г, ь и О = д1, начинающиеся и (или) кончающиеся на орбитах ис- 186 Оптиыальные пегелеты с нонечнои тяГОЙ 1!11.
1Ч кусственных спутников, с незаданным начальным и (или) неч ным временем и на концах траектории имеются импульсы н „ ответствующие активные участки, положение которых оптимиз, изируется, то, согласно принципу окаймления, эти импульсы н,„. тивные участки можно рассматривать как внутренние (см, р дел 2.2.3).
Важно, что при этом условия трансверсальности запи сываются в виде (2.2.51) — единственного соотношения, отличэ ющего внутренние импульсы от концевых в общем случае. Т1п,н,„ образом, и в этом случае для построения «оптимального» (в ук, ванном выше смысле) Режима 2 с конечной тЯгой пРавило П, ос тается в силе. Итак, окончательно получаем: если рассматриваются оптималь пые перелеты без импульсов на концах траектории или с импуль самп на концах траектории при незаданных д и (или) Г„ то решояие задачи 1 дается правилом П1. 51редположнм теперь, что на одном нлп па каждом из концов траектории имеются импульсы и активные участки и Гь Г1 заданы.
Тогда при переходе от оптимального импульсного режима 3 к любому режиму конечной тяги должно быть с, =с,.~г„, с+„.= ю,+ю„, (4.2.52) где 11 и Гв — точки, выбираемые в соответствии с (4Л.40), причем с1 = ю, +0(с+ — г, ), г = с„+0(~Д вЂ” 1„). (4.2.53) Если выбор управления на внутренних активных участках, а также направления вектора тяги и расхода массы на концевых активных участках для режима 2 произвести в соответствии с правилом П1, то во всех соотношениях, оценивающих точность выполнения краевых условий и степень оптимальности для режима 2, получим вместо оценки 0 (шах(1ь — 1ь Ц оценку 0(шахф1 — 1~ )ю + — 2 у -ь (4 — йк)з~), а вместо 0 ~шах(й~ь — Кь )з~ — оценку 0 (1) Заметим, что поскольку теперь получаемые оценки не зависят От точного выполнения всех пунктов правила П1, эти пункты такж~ могут быть выполнены приближенно с точностью порядка шах ~(~+1 — ~1 )ю (4 — $к )з~ В частности, когда управлением является вектор тяги, вместо выбора точки ~„= ~„з для внутре~ них активных участков в соответствии с (4Л,40) можно в ка"е стве точки Ц взять середину активного участка (1ь + 11 )з „ 2 3 „у 1 (4.2.54) 2 ля всех При этом пункты 1' и 2' правила П1 ввиду их простоты для активных участков оставляем неизменными.
Заметим, что прис ' » ».зл пРиближеннОе постРОение ОптимАльных ЛБРелетов 187 яосительных расходах массы л»т»~лп»( 0,6 соотношение (4.2.54) удовлетворяет пункту 3' правила Пь Указанная возможность упрощения выбора точки 7» имеет важное практическое значение (см. ниже правило П2). Проведенный анализ показывает, что в классе режимов конечной тяги, удовлетворяющих условию (4.2.51), в рассматриваемом случае обеспечить большую точность как по краевым условиям, так и по условиям оптимальности не представляется возможным. Е1а основании изложенного получаем окончательно следующее правило Пг построения приближенно оптимального режима конечной тяги с помощью известного оптимального импульсного решения.
Правило Пг. 1'. Расход массы илн приращепие характеристической скорости на каждом активном участке должны быть такими же, как ив соответствующем импульсе. 2'. Вектор тяги на каждом активном участке должен иметь постоянную ориентацию, совпадающую с ориентацией вектора импульса. 3'. Середины внутренних активных участков и выбираемых оптимально крайних активных участков должны совпадать с точками приложения импульсов. 4'. При заданных моментах начала и конца траекторий крайние активныс участки должны прилегать к началу и концу траекторллй. Заметим сразу я<е, что формулировка пункта 3' правила Пг дана исходя из компактности и применимости (без специальных оговорок) ко всем наиболее важным практическим случаям.
При этом не учитывается то обстоятельство, что когда управлением является вектор тяги аппарата, а расход массы в импульсе не удовлетворяет условию (4.1.56), целесообразно выбирать активные участки, исходя из соотношения (4.1.40) (см. пункт 3' правила Пл). Поэтому сделаем сразу же уточняющее дополнение к пункту 3' правила П2. Дополнение к пункту 3' правила Пг. Если управлением КА является вектор тяги, а крайние активные участки отсутствуют или выбираются оптимально, то при больших относительных расходах массы на активных участках, не удовлетворяющих условию (4.1.56), точка приложения импульса должна совпадать с точкой активного участка, выбираемой в соответствии с соотношением (4.1.40). В дальнейшем для краткости сформулированное ПРавило будем называть правилом пересчета.
В проведенных рассуждениях величина относительного расхоДа массы в импульсах»»лп»/т» предполагалась, вообще говоря, не малой. В случае малых расходов массы л»лп»/т» можно на основании (41.47) всюду, начиная с соотношения (4.1.49), получить 188 !ПГП1ПААП ПЫК ПКРК'1КТЫ С 1 ОПК П!ОП Т5!ГОП 1Ч уточпгчпыг !щг!илн: зм!осто 0 1ш51х (1;,' — 1А ).,) 0 (шах[(351!А75п„) (1„— 11,') ! 1!, вместо 0 [шах (1,,' — 15, ),,~ ку О (шах [(ЪК1„15п5, )(15, — 1» )з)) (см. 8 6.4).
Провсдонкыи анализ показывает, что при отсутствии края!си импульсов плп их оптимальном выборе за счет располож1:К5, а„ тпвных участков относительно импульсов в соответствии с с;; и„„ !Копием (4.1.40) краевым условиям прк переходе от имп, „",я;цок тяги к конечной при любом относительном расходе массы ~ш„!ОЯАА МОжПО удОВЛЕтВОрИтЬ С тОЧПОСтЫО ПОрядКа П1ал[(Лт5г~ К!А );. х(,— ) -5- — 1 3 ;; 1А — 11, )" [.
Этот результат и1щл важное практическое зп, 1; пне поскольку для ряда задач астродппампки, в частности,шя нле! гацпп. можно ограничиться построением траекторий, ч А,!лет с!цшк5п!гх достаточно точно краевым ус!и!киям, за с !От п1 торо го сшпкгппя степени пх оптима: ьпогтп. Вьппо предполагалось, что с1гмь! Огре:юга, т. г. кол!.ч:ттко и расположение па траектории активных участков, как прк ичпульсяой, так и прп:побой конечной тяго одинаковы. Это условие выполнено, гслп импульсы расположены на траектории т к, жо при переходе к конечной тяге активные участки пс порея! 5лшпотгя друг с другом. Для подавляющего большинства задач оптппи:1ацин траекторий с конечным количеством импульсов н активных участков (исключая траектории с особыми п скользящими ргжимамп, см. Конец раздела 1.2.2) указанное предположение пыполпястся.
Вернемся теперь к задаче 2 построения приближенно !Опимального ршкпма конечной тяги 2 по известной оптималы! ш тра! Кторни 1 прп изменении ограничения на величину тяги нлп тягозооружсппости. При оценке степени оптимальности р1жкм» 2с незначительными изменениями можно повторить все провед ппые выше рассмотрения п получить все соотношения с заменой величин с индексом 3, относнщихся к оптимальному импульспоиу рея!Кму 3, на соответствующие вели шпы с индексом 1. "тш5ся щи! гя к режиму 1. Проследим копен!ктппго ход рассуждений, остапом ! ыя!ь лпш! па тгх пз ппх, которые От.п!Ча!ется От 1гро!и дсппых !5'!'!1г Й1н1 етом соотпон!г«и5!. е кото11ых ТО51ько ипд!.Кс 3 зап па индекс 1, будем обозначать теми жг ноА!орамн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
