Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 40
Текст из файла (страница 40)
5.1.2 для перелета Земля — Марс. При и = 1 неравенство (5.1.5) и соответствуюгцая прямая (5.1.8), показанная на рис. 5.1.2 штрих-пунктиром, соответствуют кеплеровым дугам, для которых радиус апоцентра г„ не меньше радиуса начальной орбиты ттс, г„)~ Вс.
Прямая (5.1.7) определяет конические сечения, касательные и впутрспней орбите; пря- 1Р мая (5.1.8) определяет эллипсы, касательные к внешней орбите. Точка пересечения прямых определяет эллипс минимально возможного эксцснтриситета ре для перелета Земля — планета, касательный к внутренней н внешней орбитам, т. с. гомановский эллипс, для которого его Лдн Рис.
5.1ть Абсолютная оптимальность гомановского перелета в классе двухимпульсных перелетов (при и ( 11,939) будет непосредственно установлена ниже (см. раздел 5Л.2). Использун соотношение (1.1.63) и выражая скорости аппарата в перицснтре и апоцентре гомановского перелета через и, получим для величин планетоцснтрическпх скоростей на сферах влияния внутренней и Впешпей планет (5.1Л1) 111 и соотношвпнн д;н! п В ньютоновском пОлв !99 5."лна 1 (5.1.15) В случае перелета между орбитами соотношения (5Л.11) и (5,1.12) определяют вслнчнцы соответствующих импульсов А ус н А)55, нообходнмых для схода с начальной орбиты и выхода па коночную орбиту. 11родолжптельпость гомаповского перелета „/(~ л )' (5Л.13) Основныс характеристики гомаповских перелетов Зсмля— Марс и Земля — Венера (вместо с некоторыми характеристиками гомаповсшах перелетов Земля— й(арс — Земля и Земля — Вене- и ра — Земля) приведены в таблице 12.4,2.. 5Л.2.
Перелеты с постоянной характеристической ско- г, ростью между компланарными круговыми орбитами (изоэнергетические траектории) . Рассмотрим переход с орбиты ИС планеты па пллпетоцснтрическую ,Рлла гиперболу илп обратно при нмнульсном изменении скорости КА, считая, что величина планстоцснтрической скорости аппарата У,а на сфере влняннз планеты задана (ркс.
5.1.3) . В данном случае для получения окончатсльного соотношенияя (5Л,24) будем пользозат1,— ся размсрнымн велнчпнамн. Для удобства ипдсксацнп рассмотрнм 1(А, движущийся около Земли по эллиптической орбите с большой полуосью исе. Скорость аппарата в кап дой точно орбиты опрсделнстся соотношением 2 (5.1Л4) -,р,в а55э тле Рл — гравитационная постоянная Земли, роа5 — расстояние от центра Земли до аппарата. Скорость аппарата сразу х!с после импульса определяется соотношением (рсЕв процессе импульса не изменяется) "=-= '~ — '-- — ') где а дс а!е — действительная полуось гиперболы. ЗАДАчп ОптимизАцнн импульсных перялетов 2ОО игл. р Вектор импульсного приращения скорости определяется Я ра вепством ДЧю = Чгв — Чю=, (5.1,15 ) откуда Уююв сов $ю+ ре( — т — ) — р созюр ю (аюе а1,1 — юв - / г Д1'ю = ~/ Чае+ Рв ~ — + — ! — ~'азю, (5.1.18) где Га зю — перигейная скорость движения ИСЗ.
Пусть Н. Нав — высоты перигея п апогея орбиты ИСЗ соответственно. Тогда Н„, + 77ае Осе = Ли+ ' ., " = Не+ Нсрь. (5119) где Нею в средний радиус Земли, И в+Нов срЭ 2 (5 1.20) В результате величину рж7аю,е можно записать в виде РЕ Р1З аюа 1тв + Нсрв — с юру~ (5.1.21) орбите с высотой где У,се — скорость движения ИСЗ по круговой Н„юю. Формулу (5.1.21) запишем так: 2 2 1 ~ срю ~ 10+ 1+ — с" Л, (5.1.22) /р. где Ч1, = ~/ —, — 1-я космическая скорость. 1'е Используя интеграл энергии, получим Ра1 сг гк е ю — р сер нв рсфж' (5.1.22) (5 1.17) где грю — угол между векторами Чюе и ДЧю. Из (5.1.17) следует, что при заданных аю. и уса в(т.
л шш дую достигается при шах (Кюесоз юрю), т. е. при сообщении импульса в перицентре орбиты по направлению вектора скорости движения аппарата. В результате выражение (5.1.17) можно записать в виде з 9 сООтношення Длп пегелетОВ В ньютОнОВскОм пОле 2О1 де У,аж — заданная геоцентрическая скорость аппарата па сфере влияния Земли, р,зз« вЂ” радиус сферы влияния Земли.
Подставляя (5.1.21) и (5.1.23) в (5.1.18), приходим к окончательному выралгению для импульсного приращения скорости в перицентре орбиты ИСЗ: — Улж (5 1 24) (5.1.25) У 0««( Е + "- — Х) (5.1.28) (5.1.29) где для пачальпой точки и = 1 и для конечной точки перелета л = 1««/Вз. Подставляя соотношения (5.1.27) — (5.1.29) в (5.1.26)', окончательно будем иметь следующее выражение для определения планетоцентрической скорости аппарата на сферах влияния планет У,з в начальной и копсчной точках; ГОР = — (3 — 2), — ' -',- И (5,1.30) Заметим, что в случае перелета между круговыми орбитами радиУсов гз и гь г1 ) г;, в поле одного притягивающего центра соотно- Заметим, что скорость аппарата в перицентре орбиты ИСЗ с учетом (5.1.21) можно за«писать в виде (Эрике [51). «+Н /Л лж = «Рж1+ «т (я лж «В Для круговой орбиты ИСЗ Улж = — У,РН.
Выразим теперь величину У,з через параметры гелиоцептрического участка траектории ИА р, е. Из Ч,,а — — Ч вЂ” В следует: Узи = У'+ 0" — 2У0' соз 8, (5.1.26) где Ч вЂ” скорость двпягения аппарата по гелиоцентрической кеплеровой дуге, ««' — скорость двшкепия планеты по гелиоцентрической круговой орбите радиуса В, 8 — угол наклона вектора Ч к местной трансверсали (направленной по вектору ()). Все величины в (5 1.26) считаем безразмерными, отнесенными к скорости Уз (5.1.1).
Воспользовавшись интегралами энергии (1.3.24) и момента количества движения (1.3.26) и соотношениями (1.3.29), (1.3.30), получим в начальной и конечной точках перелета на круговых орбитах радиусов т««з и Л1 Усоз0 = У )/ (5.1.27) 202 злдлчи оптимизлцпн пмпэльсных пкрвлвтов !гл р шение (5.1.30) определяет импульсы скорости аппарата в пата ной (и = 1) и конечной (и = т1/то) точках перелета.
Рассмотрим теперь двухимпульсный перелет с орбиты ИСЗ и на орбиту ИС планеты, например перелет Земля — Марс. Характеристическая скорость этого перелета Л)тоо = Лро+ Л)"ь (5А.31) где Л!то определяется выражением (5.1.24), а импульсное прнра щение скорости в перицентре орбиты ИСМ ЛЪ'1 — аналогичным соотношением: Л~'о = ~У Рве+ Уорэ+ Роао — 2( — — $яэ (5.1.32) рсеэ Входящие в (5.1.32) величины Г„, )то„определяются соотношениями (5.1.20), (5.1.22) и (5Л.25) прп подстановке в них соответствующих величин для Марса В„р, и для орбиты ИСМ Н„, и Н„,. Подставляя (5.1.24) и (5.1.32) в (5.'!.3!) и вводя обозначения А = (ЛР'о1+ Уэе+ $'вэ)Ф,р, (5 1.33) В' = [Р,щ + )т,ра — 2 (ре/рофе)] !(7:, (5.!.34) С' = [У~~э+ У,"рэ — 2(рэ/Роеэ)]/(7н, (5.1 35) где !э, — средняя скорость движения Земли по орбите, перепишем равенство (5.1.31) в виде А = — ]' В'+ т'эев/Н~, + ~' Со -'; !т,ф;/Ол.
(5.1.36) Учитывая, что при перелете Земля — Марс в качестве скоростк Но (5.1.1) следует взять среднюю орбптальпуво скорость Земли Со, з -2 3 моокем для определения вслпчнп У,"еы/Г-,;~ и !',о,НС~ воспользоваться соотношением (5.1.30). Подставляя (5.!.30) в (5.!.36) и освобождаясь от радикалов, окончательно нмосм е' = 1+ а1Р + аэаР + аоР (5.1 !7) где а = — [.!а+ — ) — Во — 3 ам = 2 — ау — — '',, ао = —... л-' ' '-' лэ ' (5,1.33) 1 ! я' С т а3 [1 ! ') , 1 ! (5.1,39) Соотношение (5.1.37) является уравнением иэоэиерэетичесяит траекторий — двухимпульсных перелетов с постоянной характс ристической скоростью между орбитами ИС двух произвольных 1 о П СООТНОшЕННЕ ДЛЯ ПЕРЕЛЕТОВ В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ 203 планет, отношение радкусов орбит которых равно и, в плоскости параметров р, е для гелпоцентрического участка перелета.
Если считать, что орбиты ИС находятся на бесконечно большом расстоянии от центров планет, например, если для Земли и Марса Н, е= Н„сз = Н.о = Н„, = оо, то Лроо == Рсфе+ Исфе (5А.40) и в Формулах (5.1.38), (5.1.39) надо положить А= — Лро~Щ~,В=С=О, а=1. (5.1.41) Соотношения, аналогичные (5.1.37), можно получить и для однопмпульсных перелетов между орбитами.
Так, в случае импульса на орбите ИСЗ ЛР"о~ = Л'г'о, Л)г1 = О (5.1.42) уравнение линий Лро1 = сопят с использованием соотношения (5А.24) приводится к виду ео =-. 1+ а~р — , '2рз!з, (5.1.43) где ак.+к„,, а ~ ---. Х вЂ” Во — 3, А' = У В случае импульса на орбите ИСМ Л)'о1 = ЛИВ Л)го = О, (5.1.44) (5А.45) Коэффициенты В. входяп1ий в аь и С, входящий в а1, по-прежнему даются соотношениями (5.1.34) и (5.1.35). Если орбиты 11СЗ п ИСМ находятся па бесконечно большом расстоянии от центров Земля и Марса, то в (5А.44) и в (5.1.47) надо, аналогично ( Е1А !), положить (5.1.48) (5.1.49) соответственно.
Соотношения (5.!.37) п (5.1АЗ), (5А.49) справедливы н для даухимпульсных и одиопвпульспых, соответственно, перолетов ме"кду круговыми орбптамн в поло тяготенпя одной н той же и с использованиеп (5.1.32) получим е' = 1 + а,р+ азоврзгз (5,1.46) где з - 2 „ли+ко а = А" — Со — — ', азы:= —,, А" = " . (5.1.47) в ' ' язоз' у Э ЕП СООТНОШЕНИЛ ЛЛЯ ПЕРЕЛетов В НЬЮтОнОВСкОМ пОЛе 205 планеты. При этом, согласно сделанному замечанию и (5.1.30), уравпе~ия изоэнергетических кривых для этих перелетов совпадаЮт с Соответствующими уравнениями для перелетов между бесконечно удаленными от центров тяготения орбитами ИС планет. Прп исследовании полученных уравнений ограничимся случаем перелета на внешнюю планету (и ) 1) и рассмотрим двухнмпульсяый перелет Земля — Марс.
Пз рис. 5.1.4, 5.1.5 приведены результаты расчета кривых е = е(Р) при Лрм = сопз$ по уравнению (5.1.37) для двух предельпьк: случ1сз высот орбит: Н,„а= Н„= 0 (рис. 5.1.4), тз ,т,п 'и Л~',. зю~ДЕ1 ьт Ряс. 5.1.6. ,Н, = Н„ю — — Н,, = Н„, = оо (рис. 51.5) — прн условип Р,ее= = Рсзо = "" Из приведеппых данных следует, что характер кривых Л$'ю = = сонет в областп допустимых значений р, е практически пе зависит от высот орбит ИСЗ и ИС планеты. Численный анализ показывает, что участкп кривых рис. 5.1.4, 5.1.5, проведенные штриховыми линпямп, пе имеют физического смысла. Из хода кривых Нею = сопз$ непосредственно видно, что гомановский перелет обеспечивает абсолютный минимум характеристической скорости при перелете между двумя круговыми орбитами (при п(11,939).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
