Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 44
Текст из файла (страница 44)
При этом возможно получение наиболее полны. решений задач об оптимальных перелетах в импульсной постаповке, что дает основу для решения вариационных задач при наличия ограничений на величину тяговооруженностн или тяги. .стим ° Кроме того,в лннеаризожшной постановке, вследствие жру: ю:;."вьл ' . -= --~ малости потребных характеристическпх скоростей, пипульспые схемы оказываютсл пригодными для постросппл оптимальных перелетов с протяженными актнвиывя участками прп значителч.о г меньших значениях тягоэсоруженности. чем в саул э перелетов между далсклмп орбитами.
Интереспоб особенностью лпяеаризовшо пых решений является то, что в ряде случаев при малых деформациях начальной и ко- нечной орбит возможны р о Рве. 6ЛЗ. дикальные изменения схемы перелета. Итак, предположим, что все рассматриваемые траектории рк полагаются в малой окрестности некоторой базовой круговой орбиты радиуса г = г„ п движение по пим происходит со скоростями, близкпмн к ес круговой скорости. Схема расположения тр' екторпй для рассматриваемого случая изображепа на рис. 6.1.6 Поскольку рассматриваются движения в окрестности плоскости, о.«! основные соотногзання ДлЯ г« '' и тяр оивчйо 225 Роходящей чеРез базовую НРУговУю орбиту, удобно описывать И цилинДрической системе коорлннат.
Плоскость О)тз Этой системЫ „выберем совпадающей с плоскостью базовой —,'"вой орбиты ось Оз направим перпендикулярно к ней, а начало истемы поместим в центре притяжения. Угол «р будем отсчитмъа от некоторого фиксированного направления. При исследоваачн дик!кения по околокруговым орбитам угол «р удобно выбрать в качестве независимой переменной. Уравнения движения материалаьной точки в цилиндрической системе координат, выписанные в з 1.3, после перехода к независимой переменной «р могут быть записавь! так: «!« р — — р Т вЂ” =- р,—,," «г«! ! —:. Ро -~-д(г.,р) — ~ и„— ( — р) — 1 «г!',, з! — — Р„+д(г,р) — гㄠ— ",; -'"«$("-('Г!г-;1 ид «гг (5.1.1) 15 в, л, ильзы, г. е.
куомаз Здесь г'„, !'„(', — соответственно радиальная, трансверсальная и боковая компоненты скорости; р =3~ го+ з'! «г = с1п — ' характеристическая скорость, где с — скорость истечения, лго и лг — соответственно начальная и текущая массы; 1 — время; «Г 2 2 2 и„, и, п, и п = у п„+ и, + п, — компоненты реактивного ускорения и его модуль, отнесенные к ускорению силы тяжести б(г) при г = г, . Все обозначения, которые используются в данной и в следующих главах, в ряде деталей отличаются от обозначений, введенных в гл. 1, позтому они будут поясняться в процессе изложения.
Все перемепныо системы (6.1.1) можно представить з виде ~ о Рго+ ~ крЛРг ( г ) го 'т ~ ко~~ ю ! г ~ «О + ~ ор~~ г Г !0+!«РЬ~ з =- зо+ г.рФз, ! = Го+ —" ~« ! кр ! ТЕОРИЯ МАНЕВРИРОВАНИЯ ПО ОКОЛОКРУГОВЫМ ОРБИТАМ Ррл ДД й~ ««дТ ЙЦ3 ДД« ' «(«р «~д~ « = Л«г„, = Л« — ЛГ„ (6.1.3) = 2Л)г« + Л + п„, ~ «««р НДР 1 =- — ЛТ', + и„ Ы~~ дГ, =- — Лз + и„ Здесь д = д(«', . Зти уравнения несколько отличаются от линеаризованных уравнений, приведенных в разделе 1.3.2, из-за другого выбора независимой переменной.
Всюду далее черточки, обозначающие безразмерные величины, будем опускать. Входящие в (6.1.3) компоненты тяговооруженности связаны с компонентами реактивной тяги Т = (Т„, Т„Т,) формулами Здесь ««г р — — )««р!г, круговая скорость для орбиты радиуса „ р — гравитационная постоянная притягивающего тела; индексом «О» обозначены параметры начальной орбиты. Обозначениями Л««„Л«гч Л1г„Лг, Лз и ЛГ представлены безразмерные прираще ния компонент скорости, координат и времени, которые в начальный момент перелета равны нулю. Величины ог.о, »го, 1г«о, го, з, и Го являются известными функциями от «р.
Предполагается, что опи удовлетворяют системе уравнений (6.1.1) при п,=п,=п,=0 41« "«р Величины Лро Лро а также»г«о го — г,р — — У р«о — «' р р«о кр и го предполагаются малыми, и все исследование ведется с учетом только их первых степеней. Малыми величинами того же порядка предполагаются интегральные воздействия компонент тяговооруженности на параметры траектории, или, что то же самое, как малан величина рассматривается потребный для перелета расход характеристической скорости. Зто предположение позволяет при линеаризации уравнений (6.1 1) рассматривать произведения указанных выше малых величин на и„, п, и и, как величины второго порядка малости (см.
раздел 1.3.2). С учетом сказанного система (6.1.1) после линеаризации переходит в систему 227 основныв соотношвния для конвчнои тяги з бл1 (см. (1.3.49) ) тта(т, ) п= т Езгт мтЮ (тта) (6.1.4) (6 1.5) Н =- . '(з, п) + ртп1 + г,(2Л75, + Лг) + з,( — ЛГ,) +зт( — Лз) + +Р,АР.+Р.АР.+Р (А — А)',), (бл 6) где и = (и„я„и,) — вектор тяговооруженности; з = (г„з„г,)— вектор, сопряженный вектору скорости Ч = (тт„, 5"„'тт,); р„р, и р, — переменные, сопряженные Лг, Лз и М. В соответствии с изложенным в ~$1.2 и 1.3 условия максимума Н, обеспечивающие минимум функционалу г' = д(тр ), где тр — конечное значение переменной 5р, имеют вид 5. )ятттат при 6) О и;=и — '; и —, 5 ' !О приб(0; Р,(Я ) = — 1 (6.1.7) где з = 2 з, + 5, -5- 5„6 = 5+ рч — функция переключения, 1/2 2 2 а сопряженные переменные определяются из уравнений т25 |Йз т25 т2цт т25 5 таз =Зт Рт ЛРт т2е илт т255 йр, дтз зт Р5 = — 25„-'; р, т 5т~ (6.1.8) = — „' =О, Рт.
Далее будут параллельно рассматриваться случаи, когда либо ограничивается модуль тяговооруженности, и ( и „, либо ограничивается модуль тяги, Т ( Т ,„. В первом из них в (6.1.3) управляющими функциями являются и„я, и п„а во втором — компоненты тяги Т„Т, и Т„которые надо ввести в (6.1.3) при помощи формул (6.1.4). Ставится задача о таком выборе управляющих функций, когда переход КА с начальной орбиты в некоторое конечное состояние осуществляется с минимальными затратами характеристической скорости т7. Эта задача решается при помощи принципа максимума Л. С.
Понтрягина (см. з 1.2). Получим сначала условия оптимальности управления, когда ограничивается тяговооруягеяность. Для уравнений (6.1.3) функция Н может быть записана в виде 223 ТЕОРПЯ ЫАНЕВРПРОВАНПЯ ПО ОКОЛОКРУГОВЫМ ОРБПТАЫ ~гл Общее регяенпе этой системы уравнений записывается так: р, = — А я1 и с~ + В соя ср — Зрд + С, р, = Р я1п с~ — Е соя ср, ро — — — 1, р, = сопя1, я„= А соя ар + В яап с~ + 2р„ ях =- — 2Ая1п со+ 2В соя со — Зр,ар+ С, я, = — Р соя ср+ Еягпс~.
Здесь А, В, С, Р, Е и ра — произвольные постоянные. В случае задачи с ограниченной тягой все условия оптимальности получаются из выражений (6.1.6) — (6А.9) простои аменой компонент тяговооруженности компонентами тяги с помощью равенств (6.1А), кроме уравнения для р,. Оно может быть -аписано в виде эг соМО Г о %пах,о Г Н<~ с арах (6Л.10) где Т ах при О)0, Т =- х ро Мл) = — 1. 0 при О(0; Здесь папах, о = Тааах~гпоя(гар) — величина максимальной тяговооруженностн в насс1 ый момент. С учетом равенств (6.1.7) выражение для Н может .ыть записано так: Н = Ои+ г„(2ЛР, + Лг) + г,( — Л)г,) +я,( — Лз) + +р„й$',+р,й)г,+р1(йг — ЛР,). ~6.1.11) В начальный момент, когда ар = сро, все приращения 11 .. Л 1го ..
° равняются нулю и Н(сро) = О(сро)п. ;6.1.12) Если момент 1ро выбирается оптимально и Н(ср) = 0 1см. раздел 1.2.2), то из (6.1А2) и (6.1.7) следует, что О(сро) (О. Это аначит, что при оптимальном выборе момента старта и Н(ср) = 0 движение начинается с пассивногоучастка либо оптпмальвое зна- 22У основнык соотношвния для конвчноп тяги ««л1 чение ф«является нулем функции яерекшоченяя. Этот резульат находится в согласии с «принципои окаймления», изложенным в разделе 2.2.3. Рассмотрим далее вопрос об оптимальном определении конца перелета ф = фа. Так как при изменении фа конечные условия также изменяются, то условие трансверсальности должно быть написано с учетом подвижности конечного многообразия.
Ограничиваясь случаями, когда в конце траектории зада»отея значения некоторых из координат, такое условие на основании условий трансверсальпостн, приведенных в разделе 1.2.2, можно записать в виде г(фя) г з т(фм) г, ' т(фи) ллг(фя) нь-(фк) лм«(фя) + р, (фя) ц +Р, (фя) „+р«(фт) „— Н(фя) =О. (6 1.13) В силу автономности, системы уравне«,ий (6.1.3) Н(фа) =Н(фе), и в случаях, когда Н(ф)= О, последний член в этом равенстве отсутствует. Если вспомнить определение функции Н, то условие (6.1.13) может быть переписано в форме "~~У, (фя) 1 «л1, « (лы (ф ) Входящие в этн равенства функции Ь'»',(ф,), Л)',(ф«), определя«отея условиями, данными в конце перелета.
Что же касается ( илу„( г ллг, ~ производных ( — "), ~ — ), ..., то они определяются (, иф ).= ~ лф ~.=. кз уравнений (6.1.3). Заменим далее уравнения движения (6.1.3) интегральными соотношениями, которые более удобны для записи граничных условий и перехода к уравнениям, определяющим оптимальный перелет при решении задачи в импульсной постановке.
Приведем ЗЗО теОРБЯ мАнеВРиРОВАниЯ ИО ОколокРУГОВым ОРвытАМ ~гл вывод таких соотношений для группы уравнений системы (6,1 3) которые описывают изменение Аг и АК„. Эти уравнения вмест~ с соответствующими уравнениями для сопряженных переменныг могут рассматриваться независимо от остальных уравнений систем (6.1.3) и (6Л.8). Основываясь на формуле Блисса (см. Приложе ние, формулу (П.
22) ) и учитывая, что при 1р = фе АК.=Аз=О нетрудно с помощью (6Л.З) и (6Л.8) доказать тождество зо(7) Иго(1р) + ро(1[о) пз(с[о) =- ) У*Я)по($)1[5. (6.1.15) Чтобы из этой формулы получить выражения для А)г. (ор) и Аг(1р), необходимо определить сопряженные переменные так, чтобы, со- ответственно, г,(1р) = '1, р. (ор) = О, а затем так, чтобы з,(ср) = О, ро(1р) = 1. Определяя отсюда произвольные постоянные в равен- ствах (6Л.9) для р, и г„получим Ф АР,(~>)= ) В,Д) соз(1р — Ь)ЙЬ, то ор Аг (1р) — ~ п,(с) згп(гр — $) Й$.
чо Аналогичным способом находим выражения для остальпых неиз- вестных системы (6.1.3): Ф АК„(гр) =- ~ [и, Д) сов(1р — й) + п,2 з1п(ф — ~)[ 1[ее, Ау' (1р) = ) ( — П„(З) З1П (1р — З) + и,(оз) [2 СОВ(1р — ~) — 1)) 1оо$, Аг(ср) = ~ (п,Д)з1п(1р — $)+ 2п,Я[1 — соз(ор — $)))1($, 1 ) А1(1р) = ~ (п„Д) 2 [1 — сов(1р — $)) + п, Д) [3(1р — ~)— ео — 4 з1п (1Р— $)) ) о$.
(6Л.17) ПРи 1Р = фоо эти соотношениЯ Дают значениЯ паРаметРов тРаектории в конце перелета; при ф ) ороо они описывают траекторию, которая получается после перелета. Равенства (6.1.16) и (6.1.17) позволяют в простой и удобной для дальнейшего исследования .форме задавать произвольные граничные условия. д зд1 ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ КОНЕЧНОЙ ТЯГИ 231 6 1.2. Граничные условия для ряда конкретных типов перелетов. Конкретизируем приведенные соотношения для ряда типич.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
