Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 45
Текст из файла (страница 45)
ных задач о перелетах. 1. Перелет в точку. Рассмотрим задачу о перелете с исходной орбиты в момент, соответствующий ~р = уе, в некоторую точку с координатами гр,,з Лг(гр„) и Лз(гря). На время перелета и скорость в конде перелета ограничения не накладываются. Начальное угловое положение гр = грс и конечное гр = ~ря могут быть либо задапы, либо выбираться оптимально. Условия в конце перелета для сопряженных переменных и координат записываются в виде (6.1.18) .», (гря) = »» (гр») = з, (гря) =- Р, О, !»„($) з(п(~ря — Р) + 2з,(й) (1 — соя (грл — ~)!) х х — "', ' г)$ == Лг (грк), ФМ з, ($) з(п (сря — й) — Яй гЦ вЂ” Лг (гри), ~ (6 1.19) ! где з„($) = — — В з(п(<р» — $), я, Я) - — 2В (1 — соз (гри — $)), з,(~) — Ез!Н(~ри — $), з($) = ! г„+ з, + з„ )п,„при зД) 1, (О прп з(с)(1.
При фиксированных ~ре и гря уравнения (6.1.19) представляют собой уравпепия для определения констант В и Е. Если ще определяется оптимально, то решение данной задачи становится пе зависящим от ~рз. Для определения оптимального значения грл следует обратиться к условию (6.1.13). С учетом равенств (6.1.18) оно записывается так: яа»(Е ) Паз(»»») Р, (гря) — ' -Р Р» ((ри) Н (гр») (6.1.20) Я»» Еия где в силу (6 1 9) и (6.1.18) р, (~р ) = — В, Р (»р») = — В Нз (6.1.18) и (6.1.7) для 6(~р) следует д(гр„) = — '1.
Это значит, что в даппой задаче оптимальная траектория оканчивается пассивным участком. 2. Жост~кая встреча. Рассмотрип задачу о встрече двух спутпиков. Н момент, соответствующий гр = грс, один из спутни"ов начинает маневрировать с теп, чтобы в момент р = ~р» встретиться со вторым спутппком без уравнивания скорости в момент 232 ТЕОРИЯ МАНЕВРИРОВАНИЯ ПО ОКОЛОКРУГОВЫМ ОРБИТЛМ ~гл встречи. Эта задача отличается от предыдущей тем, что помим„ координат Лг(вра) и Лз(1рз) еще задается Щвра) — разность вре мен прохождения спутников через угловые положения врз и ве, при полете по исходным орбитам.
УГЛОВЫЕ ПОЛОжЕНИя 1рс И врвв МОГут бЫтЬ ЛИбО ЗадаНЫ, ЛИбО ВЫ бираться оптимально. Граничные условия для сопряженных пере менных отличаются от (6.1 18) тем, что рвчьО, а для координат— от условий (6.1.19) дополнительным уравнением, выражающим то, что к моменту встречи приращение времени в процессе маневра равняется Л1(врвв). Условие для выбора оптимального значения вр,. отличается от (6.1.20) дополнительным слагаемым ИЛ1 (Р,) Р1 л, стоЯЩим в левой части. Точно так же, как и в пРеДы"вгк дущей задаче, при жесткой встрече оптимальная траектория оканчивается пассивным участком. 3. П е р е л е т м е ж ду о р б и т а м и.
Рассмотрим далее задачу о перелете между близкими околокруговыми фиксированными орбитами. В следующей главе будет показано, что взаимное расположение орбит определяется функциями Лг (Ч') — ' Лв + Лс соз в~в + Л, з1п 1~, ) (6 1 21) Лз (в)в) — = Л» з1И д1. Здесь Лг(вз) и Лз(1Р) — соответственно разности между координатами г и з пз конечной и начальной орбитах, где угол ср отсчитывается от линии узлов. Угловые положения начала н конца переЛЕта вр„ И 1а ЛнбО ЗадаНЫ, ЛИбО ВЫбИраЮтСя ОПтИМаЛЬНО. На ВрЕМя перелета никаких ограничений не накладывается, и, следовательно, р, = О.
В данной задаче для получения граничных условий необходизю потребовать, чтобы при вр ) 1~У функции Лг(~)в) п Лг(вс), определенные согласно (6 1.16), (6.1.17) и (6.1.21), совпадали между собой. В соответствии с этим при 1р ) вр„доля1пы тождественно выполняться равенства АВ (з„Д)звп(1р — ~)+ 2г,(Ь) [1 — соз(в)в — $))) " ~) й—= Фв ==Лв+ Л,сов 1)в+ Л,з1пвр 1(6.1.22) Ря 1 .а (в — Ю "Г" 11=в в в(ь) чв ВеРхний пРеДел в интегРалах Равен вР», так как пРи вР ) 1Рвв тнга выключается. Слева и справа в этих равенствах стоят линейные функции от соз 1р и з(пф. Для того чтобы эти равенства выполнялись тождественно, должны равняться между собой коэффициенты этих функций, что дает следующую систему равенств, 234 теОРиЯ ИАневРЯРОБАниЯ по ОколокРУГОВым ОРБитАм ~гл ~ (21„Д) (1 — сов(1р — $)) + + г,($) [3(1р — $) — 4з1п(ф — $))) — ") Ж = ЛГ(1р).
(6.1.26) Кслп в левой части этого равенства выделить свободный член, член. пропорциональный 1р, а также собрать вместе члены, содер- жащие соз 1р и гйп 1р, то с учетом равенств (6Л.23) его можно пе- реписать в виде Юи ( (2г„— 3$г,) — "И~ = Л1. Здесь Л, — константа, которая входит в выражение для ЛГ(1р): (6Л.27) ЛГ(<р) = 61+ 2(, Ло1р+Лсв1п1р — Лзсовср).
(61.26) (3 эта формула получается путем линеаризации выражений для 1(1г) при движении по конечной и начальной орбитам (см. $7.3). Константу Л, можноопределить,еслиизвестно Л,(1р) при каком-либо одном значении 1р. Заметим, что это значение 1р может быть расположено как внутри, так и вне интервала (1рм 1рв).
Равенство (6.1.27) и уравнения (6.1.23) представляют собой систему из ше- Равенства (6.1.24) и (6.1.7) с учетом р, = О позволяют записать (6.1.14) в виде д(чъ)п = О. (6.1.25) Из этого равенства следует, что О(1рв) ( О, т. е. момент 1ру, так же как 1рм можно считать совпадающим с нулем функции пере ключекия. 4. Мягкая встреча. Рассмотрим задачу о встрече двух спутников, когда в момент встречи, помимо координат и времени, должны также совпадать Р„, Ро У, — компоненты скорости. От предыдущей эта задача отличается тем, что ири всех 1р ) 1~„ аппараты должны двигаться совместно. Вследствие того, что время в этой задаче задается, сопряженную переменную р~ нельзя заранее считать равной нулю. Для определения шести констант А, В.
С, О, Е и р, имеется пять уравнений (6.1.23) и дополнительное равенство, следующее из условия совпадения времен. Получим его. Обозначим через М(1р) разность между временами прохождения спутника, движущегося по конечной орбите, и спутника, движущегося по начальной орбите, через фиксированное угловое положение 1ро. В силу равенств (6.1.17) и (6.1.7) при 1р,) 1рэ должно выполняться тождество чя Режимы упРАВления с РеГулиРуемОЙ тяГОп 235 г гл! стп уравлепнй для шести произвольных постоянных, входнщих в выражения длл сопряженных переменных (6.1.9).
Легко провеять, что в данной задаче оптимальные значения ~Уз п цг, так же нак и в предыдущей, должны являться нулями функции переключения. $ 6.2. Исследование режимов управления с регулируемой тягой Рассмотрим режимы, при которых величина тяги может регулироваться (режимы особого управления). Такие режимы возможны при условии Π— = О. В линеаризованной теории это исследование может быть проведено достаточно полно. Из (6.1.10) и (6.1.7) следует, что нак для случал ограничения по перегрузке, так н для случая ограничения по тяге р, = — 1 н условие Π— = 0 эквивалентно равенству гг = г„+ г, + г, =. 1. (6.2 1) Из выражений (6.1.9) видно, что это равенство может быть выполнено только при р, = О, т. е. в тех случаях, когда не задается время перелета. Этот результат очевиден для перелетов с достаточно большими значениями ~р, так как при р, М 0 выражение длл г путем выбора ~р всегда может быть сделано болыпе единицы.
Для случая же перелетов с малым, но конечным изменением ср, из выполнения тождества (6.2.1) для этого интервала, в силу аналитичности функций (6.1.9), следует, что оно должно выполняться и для больших значений ~р. Последнее же, как об этом сказано выше, возможно только при р, = О. В соответствии с этим результатом в задачах встречи, когда время перелета задано, особые управления возможны только в таких частных ситуациях, когда в результате определения произвольных постолнных из граничных условий оказывается р, = О. Дифференцируя (6.2.1) по ~р и используя выражения для производных из уравнений (6.1.8) при р, = О, получим г,(г, + р,) + г,р, — = О. (6.2.2) Дифференцируя это равенство и пользуясь уравнениями (6.1.8) и (6.2.1), будем иметь 4гз+ р + рз=— 1. (6.2.3) Результат дифференцирования равонства (6.2.3) запишем в следующем виде: г,(4г, — 5р,) + р,г, =— О.
(6.2.4) твогпя мзнвшиговлнпя по околоквттозып огвптзм гпь,, Вычтем далее (6.2.2) нз последнего равенства. В результате по лучин г„(г, — 2р,) = — О. (6.2.5) Отсюда видно, что особые управления возможпы либо при г, = О либо при г, = 2р,. Рассмотрим сначала первый случай. При г, = О и р, = О пз (6.1.9) следует: А = В = О и г, = С. Равенство (6.2.1) для этого случая принимает вид С'+ гз =- 1. (6.2.6) Оз сюда и из (6.1.9) следует, что В = Е = О и С = +. 1. Таким образом, и рассматриваемом случае г„=г,— = О, г,=.+1. (6.2.7) Из (6.2.7) видно, что при таких условиях осуществляются плоские перелеты с трансверсальной тягой.
Так как в рассматриваемом случае гг(~р ) = ~ 1, то данный тип перелетов, в соответствии с равенством (6.1.18), невозможен для задач 1 и 2 и, наоборот, возможен для задач 3 и 4. Рассмотрим далее случай, когда г, чь О и в силу (6.2.5) выполняется условие г,= 2р,. Исключая р, из (6.2.2) и (6.2.3), получим (6.2.8) 9 2 2 2 2 гтгг = — ггр (6.2.9) 2 4гз + — ' + рз = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
