Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 46
Текст из файла (страница 46)
2 Если р, найти по второму нз этих уравнении и подставить в первое, а затем исключить г, с помощью (6.2Л), то 2 92(1 2 2; 2(3 152+ 2) Вто же равенство может быть преобразовано к форме ~г,— 1 Зг„)(г,+)'Зг„) '(г.-+3(1 — г~)1 =О. (6.2ЛО) Квадратная скобка в этом равенстве обращается в нуль при г,=О 2 и г, = 1. В соответствии с (6.2.!) отсюда следует, что г, = О. Последнее же из равенств (6,2.9) в этом случае дает рг = 2 чего, очевидно, быть не может. Таням образом, квадратная скобка в равенстве (6.2АО) всегда положительна.
Поэтому в рассматриваемом случае особые управления могут быть только при г, г=+) Зг„. (6.2.11) б б.з« Режпб«ы упглвлвния с Рвгулпггеыоп тягоп 237 Из этого условия и (6.1.7) следует, что в рассматриваемом типе особых управлений вектор тяги располагается в плоскостях, проходящих через трансверсаль и составляющих угол -~ 30' с горизонтальной плоскостью (рис. 6.2.1) .
Определим далее произвольные постоянные в равенствах (6.1.9) для этоя7ег«еея!е яя«!еея« " ияе' го типа перелетов. Из (6.2.8) следует, что С = О. Из равенств (6.2.9) с учетом (6.2.11) вытекает тождество 4гз + г, .=- 1. (6.2.12) Подставляя выражения (6.1.9) для г„ г, и г. при р«=С=О в (6.2.11) и (6.2.12), получим Р=-+1 ЗА,Е- — )'ЗВ, Аб+ В'-- —. (6.2.13) Рпс.
6.2.1. Из нзлоя«епного следует, что в рассматриваемом случае только одну и,! констант А, В, Р и Е можно считать произвольной. Для того чтобы записать выражения (6.1.9) в симметричной форме, введем новую произвольную постоянную б с помощью равенств А = — — соя 6, В = — — я1пб.
1 1 2 (6.2.14) С использованием этой постоянной и (6.1.9) при р! = С = 0 вы- ражеяия для г„г, и г. могут быть запгюаяы так: 1 г„== — — соя («Р — 6), г, = я(п («р — 6), , == + — соя («э — 6). ~ $/3 ! (6.2А5) Поскольку г„г, и г, нн при каком значении «р не могут одновременно обратиться в нуль, то данный тип особого управления, так же как и предыдущий, не может иметь места для задач 1 и 2 и, наоборот, возможен для задач 3 и 4. Заметим, что для задачи 4 особые управления возможны только в тех случаях, когда всем равенствам (6.1.23) и (6.1.27) удается удовлетворить при р, = О.
Так как при особом управлении 6 = О, то из изложенного в разделе 6.1.2 следует, что любые зна- ЧЕНИЯ «Рб И «РЯ, ПРИ КОТОРЫХ УДаЕтСЯ УДОВЛЕтВОРИтЬ ГРаНИЧНЫМ условиям, являются оптимальными значениями для этих величин. 226 твогпя мьнввгнговьння по околокггговып огвптзм (гз, и, Выясним далее, какие ограничения налагают граничные условия на возможные законы регулирования тяги. Рассмотрим сначала случай особого управления с ломощыо трансверсальной тяги, для которого сопряженные переменные определяются формулами (6.2.7).
С учетом (6.2.7) равенства (6.1.23), обеспечивающие выполнение перелета между орбитами, записываются в виде чю Ь, 2 ' + ~ и$) соз$д$ =: «' + ~ и Д) з1 и $ д$ =- + ~ п($)о$= — + (6.2.16) Ограничимся далее рассмотрением случая, когда Ьо ) 6. Из последнего уравнения этой системы следует, что при таком условии перед интегралами следует взять знак плюс. Если в качестве переменной интегрирования взять д, то в силу —. = п($) эти уравл« д« пения записываются в форме, допус- Л з 2« зс Г А ~' -~ ' кающеи простую геометрическую интерлретацию: «)е(п) соз $ (7) дн =— 'о 2 «(тп) Л, з)п 6 (д) до = — +, о (6.2.17) 2 ' ЛО 0 — 2. ".
Проведем на плоскости — Ь,/2, — Ь,/2 Раз. 6.2.2. (рис.6.2.2) кривую, длина дуги которой от начала координат до некоторой точки на ней равняется д, а угол между касательной и осью абсцисс равен $(д) = ~р(д). Функция Цд) должна быть монотонно возрастающей от «ро = $(0) до «рл = $[д(~рз)) и кусочно-непрерывной. В точках разрыва этой функции рассматриваемая кривая имеет угловые точки.
Из (6.217) следует, что полная длина этой кривой должна быть равна Ьо/2, а проекции ее на ось абсцисс и ось ординат соответственно равны — Ь,/2 и — Ь,/2. Угловые точки кривой соответствуют пассивным участкам: в них угловая даль- Режссмы упРАвлвния с. РегулпРуеъюн тягоп 239 ность ф получает конечное приращение без увеличения характеристической скорости д. Участки кривой между угловыми точками являются активными. Кривизна этих участков ограничивается сгф снизу: при ограниченной тяговооруженности должно быть го:-и > — а при ограниченной тяге, в силу (6.1А), пгах пф 1 — О!а >„е пгах, О Ггпах где и хю— — максимальная тяговооруженность в ого о (с ) начальный момент. Указанную кривую можно построить в случаях, когда длина хорды ОА (рис.
6.2.2), соединяющей ее начало и конец, по менее — '[с Л, + Лг Так как при этом необходимо 2 лг 2 , + гу. Ло то рассматриваемый тип перелетов, в силу (6.1.21), возможен только для непересекающихся орбит. Длина хорды ОА при заданной длине кривой будет наибольшей в тех случаях,'когда у кривой нет угловых точек, что соответствует отсутствисо пассивных участков, а кривизна наименьшая, что достигается при максимально возможных значениях тяги.
Условие сущестования перелетов рассматриваемого типа может быть записано в виде ппг соз [срьс — ср(д)) с[у) — '~с Л,'+ Л'. (6218) о Через фпх здесь обозначен угол наклона хорды ОА к оси абсцисс. В соответствии со сказанным вьппе на границе области существования перелетов этого типа тяга в течение всего перелета включена и имеет максимально возможное значение. Для случая, когда ограничивается тяговооруженность, рассматриваемая кривая представляет собой дугу окружности.
Основываясь па этом, условие (6.2.18) можно записать в более простой форме: саоегп( 2 Ч 2 ~~ 1. сха+ Лг, (6.2.19) где ср„— сро = М2и „. Из атой формулы видно, что ври уменьшении и „„область существования перелетов рассматриваемого типа сужается. Если условие (6.2.18) или (6.2.19) выполняется с запасом, то появляется произвол в построении указанной кривой и можно попытаться удовлетворить равенству (6.1.27), при котором осуществляется перелетмеждуорбитами с заданнымвременем. Врассматриваемом 249 ткогня зглнеВРИРОВАнпя по оеолокгуговызг ОРВнтАм ~гл ) и в( и Д вЂ” 6) сов 5 г($ = 'Ре ) ив1п(~ — 6)в(п$д~ = ФМ и в(п Д вЂ” 6) г($ = — ', йо 2 ' че ~ псов($ — б) в(п$с$ = ем ) исовД вЂ” б)сов$Д= Фа Из этих равенств следуют формулы з т — — +=, 2 ~/3 (6.2.20) 2 + (,- йя ФЖ в(пб ) иИВ = — ', 2 ' 'Ра Фи сов 6 ) ид$ = — ~ — ' Г 2 % ! 2 ~)'! Уз (6.2.21) откуда д(аи) — 1 и А — — Ъ'й.
+ (Л, + У6Л,), Л„ в(об = = 2д (~р„) — (а + р'зл,) совб= 2ч('Ри) (6.2.22) случае равенство (6.1.27) может быть записано так: з(чи) Л„ ь(д) "Д = з а Заметим, что для всех возможных зависимостей В(д), удовлетворяющих указанным условиям, характеристическая скорость перелета неизменна и равняется Ьз/2. Рассмотрим второй класс особых управлений, для которого сопряженные переменные определяются равенствами (6.2.15), С учетом этих равенств граничные условия (6.1.23) для задачи о перелетах между орбитамп могут быть переписаны в виде чж с Режимы упРАвления с РеГулиРуемОЙ тяГОЙ 241 г В.г) таким образом, в этом случае, так же как и в предыдущем, величина характеристической скорости одна и та же для достаточно тяирокого класса перелетов. При известных д (~рн ) и 6 среди равенств ( 6.2.
20) остается только три независимых. Эти равенства могут быть преобразованы к виду 4(чл) сов 2т) (д) с)д = а, т(тк) аа(Сад.= а, ) с т(ти) втп т) (д) с)д = Ь, (6.2.23) Из сказанного следует, что при особых управлениях существует '.( В. А. Ильин, Г. Е. Нтаиак где 4Д, соа с т)(д) = $(д) — б, а = + — д(~ре), ~/з 4Д созе д а ь а р'З ' 2 ' В этих равенствах произвольной функцией, подлежащей опреде- лению, является т)(д), связанная с тяговооруженностью равенстЛч 1 вом — = —.
Помимо условий (6.2.23), функция т)(д) должна ач и удовлетворять неравенствам: при ограничении по тяговооружен- ности должно быть — ~) —, а при ограничении по тяге )~ т)т) ст) ')т интах ая ) — е т~'. Функция т)(д), удовлетворяющая всем этим услолтах,з виям, существует в некоторой замкнутой области пространства параметров а, р, Ь и л „(или и „с). Можно доказать, что на границе области существования перелетов этого типа располага- ются перелеты с не более чем двумя активными участками, на каждом из которых тяговооруженность или тяга имеют макси- мально возможное значение. Внутри области существования име- ется произвол в определении зависимостей т)(д). В этом случае, помимо указанных условий, можно попытаться удовлетворить еще условию (6.т.27), при котором перелет между орбитами происхо- дит за заданное время.
С учетом равенств (6.2Л5) н (6.2.23) условие (6.1.27) можно записать в виде 4(РЕ) [сов (д) + Зт) (д) втп т) (д)) с)д = — д, — Збй. (6.2.24) о 242 теОРия ИАневриРОЕАния по ОколокРуговым ОРвитьм РГЛ Р, совокупность начальных и конечных орбит для которых з задача мягкои встречи осуществляется при р, = О. В заключение настоящего параграфа остановимся на выб знака перед Л, в формулах (6.2.20) — (6.2.23).
Этот вопрос меж вы оре может быть решен при анализе условий существования рассмотренного типа перелетов. В импульсной постановке это будет сделано в . в следующей главе при решении задачи об оптимальных перелетах меж ду близкими околокруговыми некомпланарными орбитами. й 6.3. Основные соотношения для линеаризованных многоимпульсных перелетов ьчь чд+ 1рш ~ п„йо = ЛГ,ь ьчь-о " ье„ г АФА ть' 2 11ш 1 п,Фр == Лр' ь р„-о ь,рь ФЬ вЂ” 2 ьчь то+ 2 11ш ( п,р(рр =- Л)Р,ь, ь рь-о ь„, 'РЬ вЂ” 2 ьчь РМ.— г 1пп ~ н Йр=- ЬК„, ьто-о ь чь —— г /р = О, 1, ..., 1'т'.
(6 31) 6.3.1. Линеаризованные граничные условия. Будем считать выполненными все предположения, сделанные в разделе 6.1.1. Так же как и ранее, будем предполагать, что движение происходит с околокруговыми скоростями в окрестности некоторой базовой круговой орбиты радиуса г = г„и рассматривается в указанной на рнс. 6.1.1 цилиндрической системе координат Огррг. Такое движение описывается липеаризованными уравнениями (6.1.3), с той лишь особенностью, что управляющие функции п„п„п, в окрестности некоторых значений ~р = рр„й = О, 1, ..., )р', при которых прикладываются импульсы, принимают бесконечно большие значения таким образом, что имеют место следующие равенства: аз~ 243 ясно, что ЛГдм ЛГтв ЛГ„, представляют собой приращения компонент вектора скорости после сообщения импульса при ф = фм величина ЛГ, — модуль приращения вектора скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
