Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Эти величины связаны между собой равенством ЛГгд+ ЛТ',д+ ЛГ.д = ЛГд, )а = О, 1, .... Х, (6 3 2) которое является следствием аналогичного соотношения для компонент тяговооруженности и„+ и, + и, = иа (6.3.3) и легко выводится из предельных равенств (6.3.1). Будем далее считать, что в процессе перелета прикладывается Ж+ 1 импульс при ф = ф„, й = О, 1, ..., Х. Импульс, прикладываемый при ф = фа, обеспечивает сход с начальной орбиты, а импульс, прикладываемый при ф = фао обеспечивает выход на конечную орбиту. Эти граничные импульсы будем называть, соответственно, начальным и коночным.
Остальные импульсы будем называть промежуточными. Получим выражения для вариаций параметров траектории после приложения всех импульсов. Такие выражения выводятся наиболее простым образом, если исходить из равенств (6.1.16) и (6Л.17). Будем считать, что активные участки располагаются в окрестности ф = ф, (й = О, 1,..., У), устремим их длину к пулю и затем воспользуемся предельными равенствами (6.3Л). После выполнения такого предельного перехода (6Л.16) и (6.1.17) могут быть записаны в виде Лт(ф) = ~'., (ЛГ„д я[в(ф — фд) + 2ЛГ,„[1 — соя (ф — <рд)[), (6.3.4) ЛГ,(ф) = У, (ЛГ„д соя(ф — фд) + 2ЛГ,дя[п(ф — фд)), (6.3.5) ЛГ~ (ф) =- Х ( — ЛГ.дя1в(ф — фд)+ ЛГтд [2 соя(ф — ард) — 1[) д=а 6.3.6 ( ) Лз (ф) = ~, ЛГ,д я[п (ф — фд), »=а ЛГ,(ф) =- ~ ЛГ,д соя(ф — фд), (6.3.8) д=а ЛМ(ф) = ~чз„(2ЛГ„д [1 — соя(ср — фд)[+ ЛГ,д [3(ф — фд)— д=а — 4 я[в (ф — фд)[). (6.3.9) 244 теОРнч ыАнеВРИРОВАння по ОколокРУГОвыы ОРБ!!тзы 'ГЛ.
У1 Эти равенства справедливы при !р ) !р . Они позволяют зад» произвольные граничные условия при решении задач о перолет в линеаризованной импульсной постановке. В качестве приме „ приведем систему соотношений, обеспечивающих выполнение гр„ ничных условий в задаче о перелетах между орбитами. По-пряж нему будем исходить из того, что взаимное расположение орби~ определяется функциями (6.1.21). Для того чтобы перелет между орбитами был выполнен, необходимо и достаточно, чтобы при !р ) 1ра правые части этих равенств для Лг(!р) н Лз(1р) тождественно равнялись правым частям равенств (6.3.4) и (6.3.7): Л + Л, соя !р + Л,.
я!и !р = ! — ~,' (ЛУ„1, я!и (!р — !рь) + 2ЛГы (1 — соя (ср — ср1,))), Й.=.О Л,Б1п!р= ~' ЛР',Ая!и(!р — !рь) (!р.. !рг!). А=О (6.3.10) Для того чтобы эти равенства тождественно выполнялись при гр ) грл, достаточно приравнять друг другу свободные члены и коэффициенты при соя !р и яш!р, стоящие в их правых и левых частях. Это дает следующие соотношения: !У 2 Х Л)г,А=Ло Аг О !У ~~Э~ (ЛУ„А я1п !рз + 2ЛУ,А соя <рь) = — Л, А=О г! ~~"„(ЛК,» соя 1рь — 2ЛУ,А я1п !рь) = Л„ Ага !г У, ЛУыя!и!р,=О, А=О !г ~ ЛК,А соя!р„= Л,. А=.О Эти же соотношения можно сразу получить из равенств (6 1 23) с помощью рассмотренного выше предельного перехода.
6.3.2. Условия оптимальности. Полученные только что соотно„ шения, а также соотношения (6.3.4) — (6.3.9) представляют собон связи, налагаемые на варьируемые параметры Л)',и ЛУ и Л и йм 71 = О, 1, ..., Х Прн удовлетворении этих равенств обеспе чивается выполнение граничных условий. Если ставится вопро~ 4 з з| лннеАРизовдпные ыногоимпУльсные пеРелеты 245 оптимальном выборе этих параметров с точки зрения минимизации суммарной характеристической скорости Ч(тр») == Луз =- ~~ (' Л1"тд+ Лутд+ Лутд, (6.3.12) д=о (6.3А3) Последние равенства выполняются, если значения ~рэ итр» выбираются оптимально.
Если же значения ~ра и тр» заданы, то эти равенства выполняются только для промежуточных импульсов (Й = 1. 2....., тт' — 1). При выполнении этих соотношений все активные участки имеют нулевую длину. Ясно, что это в пределе должно выполняться при переходе от схемы перелета с распределенными активнымн участками к импульсной схеме. Интегрируя Л~Рд я»рд обе части (6.1.7) от ~рд — — до ~рд + — и используя затаят 2 2 (6 3,1). получим искомые связи: — "" = г„(трд) = А соя <рд + Вя1птрд + 2Рн = ят('рд) = — — 2Ав1п ~рд + 2В сов трд — Зрттрд+С, й1 тд ЛУА ЛГ,д — = я,(~рд) =.0сов трд+ Кя1птрд, й=0,1,....,У.
(6.3.14) Отметим, что, в соответствии с равенствами (6.3.2) и (6.3.13), сумма квадратов правых частей (6.3.14) должна равняться единице. Из равенств (6.3.14) следует, что в случае многооборотных перелетов характер изменения ориентации импульсов существенно связан с величиной константы р,. При р, = 0 изменение ориентации импульсов при переходе от одного оборота к другому то можно установить связи между величинами компонент прнкладываемых импульсов Лр,д, ЛУ„, ЛУ„Н значениями угловой дальности ~р„тт = О, 1, ..., тт', при которых они прикладываются. Такие связи получаются из условий (6.1.7) для определения оптимальной величины и направления вектора тяговооруженностн путем предельного перехода при Л~р„стремящемся к нулю. Ясно, что в момент приложения импульса выполняются равенства (см.
раздел 2.2.1) я(трд) =- 1, — ~ = О, тт = О, 1, ..., тт. Х4я твогпя млнввгиговлния по околокггговым огвптлм 1 несет периодический характер, при р~ Ф 0 периодичность сох1,а пяется только для компонент ЛУ,д)ЛУд и ЛУ,д)ЛУд. Для того чтобы иметь возможность выяснить далее физич ский смысл второго из равенств (6.3.13), заменим его следуюгпдш. 1 .з(т)~ Г ( ) „~ ..гя .О),) 2 Нф ро=тд 1" сйр хяе ' ' дя ~О О, (6.3.рб) Воспользовавшись равенствами (6.3.14), перепишем (6.3.15) так (си.
(2.2.48) — (2.2.50) ): (ЛУ„,—," + Л1 „—," + Л1 „,,— "),, —. О. (6.3.16) Равенства (6.3.14) — (6.3.16) представляют собой условия оптимального выбора параметров прикладываемых импульсов. При решении задач оптимизации импульсных перелетов в рамках экстремального подхода часто используется метод неопределенных множителей Лагранжа (см. Л. Д. Кудрявцев [1), т. И). Для того чтобы установить связь между полученными выше соотношепиями и соотпошениями, которые получаются при использовании этого метода, рассмотрим задачу о переходе между близкими околокруговыми некомпланарными орбитами с незаданным временем перехода.
Граничные условия для нее были получены выше и представляют собой равенства (6.3.11). Функция Лагранжа записывается в виде Ж Ф Ь = ~ '( ЛУ'„д+ ЛУ,д+ ЛУззд+ )д ~ 2ЛУхд + д=о д=о л к + о Х (ЛУтд язв ~рд + 2ЛУ,д соя %д) ~ йз Х (ЛУы соя орд д=о д=о — 2ЛУ,д я1п орд) + Хз ~~Р„ЛУ,д я)п срд+ Хз ~~Р~ ЛУ,д соя ~рд, (6.3.17) д=о *о=о где )дь Лз,..., Хя — неопределенные множители Лагранжа, являющиеся константами. Перепишем далее выражение (6.3.17) в виде, более удобном для дальнейшего исследования.
Группируя вместе слагаемые с одними и теми же компонентами импульсов, можем написать ()/ЛУ д+ ЛУ,д-)- ЛУ,д+ ЛУ„д(Лзз1пФ, — ', Хзсоз%д) д=о +2ЛУ„д(),+Лзсоя рд Лзя1порд) +ЛУ д().„я)п~рд+ЕзсояЧд). (6,3.18) А ал линеАРНЗОВАнные многоимпульсные пеРелеты 247 В методе Лагранжа для определения оптимальных значений варьируемых параметров ЛФ',и ЛК„, 22Р„Н ф„й = О, 1, ..., Ж, необходимо найти частные производные от функции Н по ним и затем приравнять эти производные нулю. Выполняя дифференцирование выражения (6.3.18) для Ь по 2д$'„, 21у'„и ЬР'„и приравнивая результаты дифференцирования нулю, получим АГ,д — '" = — (Х,Е1п фд+ Х,сов фд), оГд Дум — 'д = — 2 (Х., + Хэ соз фд — Лз з1п фд), 7 (6.3А 9) лрдд — = — — (А, з! и фд + А, соз фд), й = — О, 1, ..., Ф. Сопоставляя эти равенства с равенствами (6.3.14) при условии р, = О, которое всегда имеет место в задачах с незаданным временем, можно установить следующие связи между константами А.
В, С, Р, Е п множителями Лагранжа Хп..., ) з. А = — Х„В = — Хз, С == — 2).п) ~5 Е )4 (6.3.20) Таням образом, правые части в (6.3.19) суть не что иное, как выражения для сопряженных переменных г,(фд), г,(ф,) и з,(ф,), а константы в этих выражениях с точностью до постоянных множителей представляют собой множители Лагранжа (см. раздел 2.2.1) . С учетом этих сопоставлений выражение (6.3.18) для функции А можно ~переписать в виде [р 6~,2 ~ йр2 А йр2 йу. ( ) Ан ( ) д=о — Лу,дг,(фд)~. (6.3.21) Чтобы получить условия для определения оптимальных значений фд, е = О, 1, ..., )У, выполним дифференцирование последнего равенства по этим параметрам и результат дифференцирования приравняем нулю.
В итоге получим равенство (6.3.16), являющееся следствием условия †" ! = О, й = О, 1, ..., Л . (6.3.22) .ф)я=ад Таким образом, это условие дает систему равенств для определения оптимальных угловых положений ф, прикладываемых импульсов. 24з теОРиЯ мАнввриРОВАниЯ по Околокррговым ОРБитАы П'л г) (6.;з. 24) Через ср здесь обозначено угловое положение пернцентра. Эксцентриситет орбиты будем считать малой величиной. Приведем далее выражение для времени перелета т: РА) (6.3.27) Эти выражения справедливы с погрешностью порядка яз.
Произ- ведем линеаризацию этих выражений по е, одновременно перехо- дя к безразмерным переменным, которые, как и ранее, будем обо- значать черточкой сверху. Положим У.с = Узр (1 + ЛУс)) г = г р(1+ Лг), (6.3.28) где ЛГ, и Лг — малые величины. Формулы (6.3.26) и (6.3.28) в результате пренебрежения членами второго порядка и выше дают р= — =1+Лр, Р сР (6.3,29) где Лр = 2(ЛУ, + Лр). С учето4с этого результата линеаризованные выражения для г = г1г„, Г, = У,/У„„У, = У,/У.„где Узр — — ))гР/г,р, записываютса в виде г =. 1 + Лр — е соя ()р — ср„), У, =- ея)п (ср — ср„), Ар У, = — 1 — — + е соя ()р — ср„). 2 (6 3.30) 6.3.3.
Линеаризованные формулы для свободного движени ия по околокруговым орбитам. Укажем далее линеаризованные соотно шения, описывающие свободное движение по околокруговым о„;„, там. Получим прежде всего выражения для параметров движеп„„ в плоскости Огср при малых з. Кеплерово движение описывает „ соотношениями г= Р ОР 1 + с соя(ср — )р ) ' '" '"-)) У„=- ))) — ея1п(ср — ср„), У =. ~/ о (1 — е соя(ср — ср„)), (6.3 25) 7) = (гг )е (6 3 26) 249 ПЕРЕЛЕТЫ ДЛЯ МАЛЫХ АКТИВНЫХ УЧАСТКОВ я я.и Из (6.3.30) с погрешностью порядка квадратов малых величин имеем .(р), з = 1 + — Йр — 2е соя (ср — ср„). (6.3.31) р (т) 2 Подставляя это выражение в (6.3.27) и выполняя интегрирование, т приходим для безразмерного времени перелета Т = у к вы"ср/ кр ражееию Т =-(1 — '- — Лр) (срк — срс) — 4ея1В ~ А ) соя(( ~ ) — ср„~. (6.3.32) Укажем в заключение соотношения, определяющие боковое откло- нение й(~р) и боковую компоненту скорости р,(~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
