Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 49
Текст из файла (страница 49)
6.4.5. вгл ПВРВЛЕТЫ ДЛЯ МАЛЫХ АКТИВНЫХ УЧАСТКОВ 257 Результаты проведенных расчетов представлены на рис. „4.2 — 6 4,5; рис. 6.4.2 — перелеты между иекомпланарными орбиами одного и того же радиуса для случая ограниченной тяги; >ис. 6.4.3, 6.4.4 — перелеты между компланарными круговыми ~рбитами для случаев ограниченной тяговооруженности и тяги соответственно; рис. 6.4.5 — перелеты с одновременным поворотом плоскости орбиты и изменением радиуса для случая ограниченной ~яговооруженности. Смещение оси узлов 4444 на упомянутых ри",унках не строилось, так как во всех случаях его величина не превышает 10-4 — 10 з град.
По этим графикам видно, что погрешность предложенных выше правил приближенного построения птнмальных перелетов при В ( 1,2, 4 ( 30' и и „0,1 не ревосходит 25 км для линейных величин, 20 м(сек для скорости, ,005 для эксцентриситета и 1' для угла поворота плоскости рбнты. ГЛАВА уп НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО МАНЕВРИРОВАНИЯ ПО ОКОЛОКРУГОВЫМ ОРБИТАМ Будем предполагать, что перелет начинается из точки орбиты с полярным углом ср = сро и заканчивается в некоторой точке Ас с координатами ср„, ге, з„. Угловое положение начала перелета сро может быть либо задано, либо выбрано оптимально. Так как ограничения на компоненты скорости в конце перелета при ср = срл не накладываются,то в данной задаче имеются только два граничных условия.
В соответствии с и (6.3.7) эти условия могут быть записаны Рссс. 7.Ь!. равенствами (6.3.4) в виде ~ч.'; (А)с„„з[п (ср„— ср„) + 2А)с,„[1 — соз (срл — срд)[) == Аг (сри), а=о ~ АУ„, з[п(срл — сро) = Аз(срл), а=о (7 1.2) в 7Л. Перелет с околокруговой орбиты в точку, расположенную в ее окрестности 7.1.1. Исходные соотношения. Рассмотрим сначала ораз, „ тельно простую задачу о перелете с эллиптической орбиты в некоторусо фиксированную точку пространства.
Для того чтобы изложенная выше теория могла быть применена, необходимо, чтобы исходная орбита и конечная точка были расположены з малой окрестности некоторой круговой орбиты радиуса г„. Будемотсчитывать угол ср начальной орбиты от ее перицентра. В этом случае ее уравнение с погрешностью порядка квадратов малых величин может быть записано в виде го(ср) = Ро(1 — еосозср), 7 з,(ср) =- а сов ср+ рз[пср. е59 ПЕРЕЛЕТ С ОРБИТЫ В ТОЧКУ В ЕЕ ОКРЕС.ЛОСТИ л ея Дифференцируя ее по ЛУ„, Лй'„, Лй,„п ~ри и приравнивал ре- зультаты дифференцирования нулю, получим ,л — .'и+ ), я1П(ори — орл) =.
О, Ы'тд — лд + 2Хи [1 — сея(<рк — орд)[ = — О, айд Окид лу + ) я[в(огк Чд) = О ('л 4) й= — 0,1, ...,Л', )ои [Лй'„д соя (ори — срд) + 2Лй;д юп (ори — орд)[ + + ХОЛУ,исоа(ори — ори) = О, й = 0,1, ..., Л вЂ” 1. [7.1.5~ Ги этих уравнениях ЛРд =- 1' Лй'.и т Лй,л + Л~' д. (7.1.6) Когда угловое положение начала перелета оро не варьируется, уравнение (7.1.5) при й = О не рассматривается. Уравнений (7.1.4) и (7.1.5) столько же, сколько варьируемых параметров Лй',и, ЛУ„, Лйм и ~ри.
Множители же Лагранжа Х~ и )оз должны быть определены так, чтобы выполнялись граничные условия (7.1.2). Таким образом, далее следует рассматривать систему, состоящую из уравнений (7.1.2), (7.1.4) и (7.1.5). Отметим, что 1тл где Лг(ору) = гу — го(ор.), Лг(~ъ) = г - — го(рд). Геометрический смысл величин Лг(ор ) и Лг(ой~) поясняется на рис.
7.11. нее входящие в формулы (7.1.2) величины являются безразмерными. Рассматриваемая задача состоит в определении значений параметров Лр.и, ЛР.и, Лй"и для )о = О, 1, 2, ..., )1' и орл для й = О, 1, 2, ..., Х вЂ” 1 и числа У, дающих минимальное значение для характеристической скорости ЛРю которая определяется формулой (6.3.12), при выполнении граничных условий (7.1.2). Для решения этой задачи воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа.
Функция Лагранжа записывается в виде Ь = ~' 'й~ ЛР-,'., —;-Лй'и+ ЛР,'„+ и-о и + ли ~ (Лй'„д я[в(ори, — орд) + 2Л р д [1 — соя(с~к — ор ))) -,'- и=о + Ц 2,' Лй'„я[п(оок — <рд). (7.1.3) л.=о зео злдлчн млнквгнговлння по оссолокггговым огвптлм зп пз уравнений (7.1.4) при й = ссс сразу следует, что в конечссый момент оптимального пеРелета импУльс не пРикладываетсЯ. Это очевидно, является следствием того, что при ср = сра нпкакнх условий па вектор скорости наложено не было.
Было проведено детальное исследование системы уравнении (7.1.2), (7.1.4) и (7.1.5) н выяснен характер всех возмолсныч в данной задаче типов перелетов. Чтобы можно было судить о том, как такое исследование проводится, приведем все необходимые выкладки для случая плоского перелета. Что же касается случая пространственного движения, то для него в конце параграфа будут изложены полученные результаты. 7.1.2. Плоские перелеты. При плоском движении Лз(сРл) — - О, сл)г,л = —. О, й = О, 1, ., ссс, ) )„=- о ~ ("') 2 и система уравнении (7.1.2), (7.1.4) н (7.1.5) в виде — -[- Х, я!и (срлс — ср„) =- О, записывается (7.1.8) (7.1.9) (7г!.10) — -[- 2Х, [1 — соя (срсс — срл)] = О, ЛГ „о соя (срлс — срл) + 2Л)ссл я!и (срл — срл) =- 0 к ~' (Лр'сл я! ( рлс — ср ) + л —.-о -[- 2Л)с,л [1 — соя(срл — срл)]) =' Лг(срл) Л(с =- [/ Ы, + Л]г (7.1.11) (7.!.12) ~~ Л~'л+ Мг(рн) = О, л=-о (7.1.14) Это равенство, очевидно, эквивалентно граничному условию (7.1.'!1) .
С его помощью выражение для характеристической скорости (6.3.12) записывается в виде Мгт = [)с[[йг(ср )[, (7.1.15) Умножая равенства (7.1.8) и (7.1.9) соответственно на Л!с,с и ЛР,н складывая их почленно и используя (7 1.12), получим Д$'л+ ссс(Лр я!П,.л(срл, — срл) + + 2ЛРс л [1 — соя (срсс — срл)]) = О, й = О, 1...,, Х, (с.!.!3) Суммируя этн равенства по й от 0 до Дс н учитывая (7.'!.!1). будем иметь $10 ПБРЕЛБТ С ОРБИТЫ В ТОЧКУ В ББ ОКРБСТНОСТИ 261 рткуда видно, что множитель Лагранжа Л2 характеризует собой еличину потребной энергетики.
Перейдем теперь к решению системы (7.1.8) — (7.1.12). ОтИетим прежде всего, что несмотря на то, что число уравнений равняется числу неизвестных, эта система при одних и тех же значениях Л1 и оро имеет бесконечно большое количество решений для 21!2„и 21'12,2. В самом деле, пусть известно какое-либо одно решение Л)'„А и 221222. Умножим его на некоторые поло(о! !о> Вгительные константы с,.
Ясно, что в этом случае уравнения (7 1.8) — (7.1.10) удовлетворяются автоматически, а равенство (7 1.14), эквивалентное (7.1.11), можно записать в виде Х с,агрос!+ Л,йг(рк) =- О. А=о (7.1.16) ьр — = — Л, з1п (ора, — оро), 1"! о ~У20 — = — 2Л, [1 — соз (<рк — оро)1 ~уо (7.1.17) Возводя их в квадрат и складывая, получим выражение для (Л2(: )12=112 о '", "' )2 1-22 2 ('— ,").
11.1.121 Зависимость )Л1( от угловой дальности перелета орз — оро изображена Ба рис. 7.1.2. Она имеет минимум при ор22 — оро = 180', соответствующий некоторому обобщению гомановских перелетов Это равенство в силу того, что 2А22А являются решениями па<з> ших уравнений, выполняется при с, = 1, й = О, 1, ..., 122.
Но ясно, что при наличии по крайней мере двух ненулевых импульсов оно удовлетворяется также при бесконечно большом числе значений констант с„. Это значит, что в рассматриваемой задаче оптимальные перелеты с фиксированным значением энергетики могут быть реализованы бесконечно большим количеством способов. При решении уравнений (7.1.8) — (7.1.12) рассмотрим прежде всего случай фиксированного начала перелета, когда пара- метР 2Ро не ваРьиРУетсЯ. СлУчай ваРьиРУемого начала пеРелета получится автоматически в результате этого анализа путем исключения начального импульса.
При этом до момента приложения оптимального начального импульса движение происходит но начальной орбите. Для й = 0 равенства (7.1.8), (7.1.9) можно записать в виде 2С2 3АДАчи мАнеВРиРОВАниЯ по ОколокРУГОВьссм ОРБНТАИ ~гл ~гл, т, на случай околокруговых орбит, при котором 1с = 1/4. При у о " удалении от точки сра — фо = 180 в обе стороны значения увеличиваются. Заметим, что выражение (7.1.18) для )2.с( им ет место лишь в случае, когда Луо Ф О. Если ЛРо = О, то вс о все указанные выше равенства дл, й = 0 выполняются при произ "'Сс вольном Хь /р Перейдем теперь к анализу соотношений для промежуточных импульсов.
Обратисися прежде всего к уравнению (7.1.10), определяла ющему моменты приложения импУльсов. ПодставлЯЯ в него ЛРМ и ЛРИ из (7.1.8), (7.1.9),получим я1в( р — ср.) Х Х [4 — 3 соя (ср,. — ср„) ) = О, /сса' 'Ж' яс/а рса /'а Рвс. 7Я.2. откуда ярп(фя — фо) = О. (7.1.19) Отсюда следует, что промежуточные импульсы являются трансверсальными, ибо подстановка (7.1.19) в (7.1.8) дает ЛЛ/„, = О, /о = 1, 2,..., Л/ — 1.
(7.1.20) (7.1.21) ф, = фа + я — 2яз ) сро, я = 1, 2, Эти точки расположены на противоположном конце луча, проходящего через конечную точку перелета. Из очевидного условия ф, ) фо следует, что промежуточные импульсы возможны лишь для перелетов с угловой дальностью ф, — фо, не меныяей чем я. В случае многооборотных перелетов в течение каждог~ оборота может быть только один промежуточный импульс. Из уравнений (7.1.8), (7.1.9) и равенств (7.1.20), (7.1.21) Я '(7И.12) следует, что (7.1,22) (Лс( = 1/'4 Это равенство имеет место, если прикладывается хотя бы один просиежуточный импульс. Из (7.1.19) также следует, что возможны две группы импульсов: импульсы, у которых соя (ф, — ф,) = 1, п импульсы, у которых соя(ф — ф,) = — 1.
Но для первой группы (7.1.9) дает, что ЛИ„= О. В силу (7И.20) нз этого следует, что при тех значениях ф„при которых соя(ф — ф,) = 1, импульсы не прикладываются. Таким образом, в рассматриваемой задаче промежуточные импульсы прикладываются только в точках ПЕРЕЛЕТ С ОРБИТЫ В ТОЧКУ В ЕЕ ОКРЕСТНОСТИ 263 г ьп Таким образом, экстремальные уравнения для начального и ромежуточных импульсов, вообще говоря, дают различные значения для Ль Но Л1 для каждого типа перелета должно определяться единственным образом.
Вследствие этого возможы экстремальные перелеты следующих типов: а) Перелет с единственным начальным импульсом: ЛР'о чь О, ЛР, = О, )с = 1, 2,..., )У. Тогда ~ Л1 ~ определяется выражением (7.1.18) . б) Перелеты с промежуточными импульсами, но без начального: ЛИ« = О, ЛИ«Ф О, )с = 1,2,, У вЂ” 1 В этом случае ~Л1~ = 1/4. в) Перелеты с начальным и промежуточными импульсами: ЛГ~ Ф О, )с = О, 1, 2,..., 1'«' — 1. Из условия совместности равенств (7.1.18) и (7.1.22) следует, что такие перелеты возможны лишь при ср,; — сра = 2нз — я, з = 2, 3,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
