Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Условие (7.2.18) позволяет сразу указать класс начальных н конечных орбит, между которыми могут быть реализованы рассмотренные оптимальные перелеты. При условии (7.2.18) относительное расстояние (7.2.3) — знакопостоянная функция. Это значит, что начальная и конечная орбиты не пересекаются. т. е. рассмотренное семейство решений системы экстремальных уравнений и граничных условий соответствует перелетам между непересекающимися орбитами. Остановимся на вопросе о минимально допустимом количестве импульсов для перелета между непересекающимися орбитами.
Из схемы, приведенной на рис. 7.2.1, следует, что одноимпульсный перелет возможен лишь тогда, когда неравенство (7.2.18) обращается в равенство и начальная и конечная орбиты имеют общую точку. В этом случае из (7.2.14) — (7,2,17) следует, что пеРелеты между комплАНАРнымн ОРвитАьп| 277 я ьи ложения импульсов. При т ) О оно распадается на следующие два уравнения: соя(4рл — 6) = О, (7.2.20) я1п(срл — б) = —, 4 Л 3 (7.2.21) срл, == б + 2 + 2ляг срл = б т л+ 2ляя 3 где через гь яг, гя и гз обозначены некоторые целые числа. Импульсы, прикладываемые в точках 4р=-срл, 4р=4рА, ср=срл, и ср=срл, будем называть соответственно импульсами 1-й, 2-й, 3-й и 4-й групп, а их компоненты обозначать донолнительнымн индексами 1, 2.
3 и 4 внизу. Экстремальные уравнения (7.2 10) ааписываются так: для импулысов 1-й группы 4242„2, = О, 44$;ы .=. — 242'г'ю (Л вЂ” У), й,=1,2, ...,7у,; (7.2.26) для импульсов 2-й гругвпы ЛУ„, ==- О, 4ЛГаы = — 241$'ы(Л вЂ” , 'т), й, = 1, 2, ..., Х,; (7.2.27) для импульсов 3-й грунины 4ЛР„л - — Аул усов(срл — 6) — — Лул у 1 — —., 4ЯЛ4 4Лр.я, =- —., 4Лря,тя1п(4рЛ,— 6) = 3 4Лр'2,Л, 2; (7.2.28) й =1,2, ...,)У~; Эти уравнения имеют 4 группы решений: !4Л~ ср4 = б+ агся(п( — )+ 2лг„ Э ~ЗУ) /4ЛЛ 434, = б — агся1п ~ — ) + л + 2лг„ (7.2.22) (7.2.23) (7.2.24) (7.2.25) 27Я зАДАчи ыднеВРиРОВАния по ОколокРУГОВыы ОРБитАм >гл . У>! для импульсов 4-й группы 16А2 61!,д, = — Лу'д,тсоз(4рд, — 6) = Лу"д,у ь' 1 — —,, 1 .
2 Лутд, =- — Лрд,уз1п(4рд, — 6) = — Лрд Х, ' ) > (7.2 29) 2 ' ' 3 94=1,2,...,Хд. Через Х>, 642, Юз и 6>4 здесь обозначено соответственно колнче ство импульсов каждой группы. Очевидно, что Л 1 + Л~2 + 4>2 + 444 = >У + 1 ° (7.2.30) В силу последнего из равенств (7.2.8) из (7.2,26) — (7,2 29) следует: для импульсов 1-й группы Л вЂ” У = — при Л'Р',д, ( О, 1 (7.2.31) — — д, 1 для импульсов 2-й группы )+у= — 2 пр ЛР" )0 1 (7.2.32) Х+ У = — — при ЬУ,А,(0; 1 для импульсов 3-й и 4-й групп ) =- — ф' 3(уд — 1) при Лутдз ) О, 1 Х = — — — )~ 3(у' — 1) при грыз, (О.
1 (7.2.33) С помощью (7.2.33) подкоренные выражения в равенствах (7.2.28) и (7.2.29) могут быть преобразованы к виду (7.2,34) (7,2,35) 1,0(У =2,0. Из условия положительности подкоренных выраженпй в (7.2.28), (7.2.29) и (7.2.33) параметр У, в случае наличия импульсов 3-й и 4-й групп, должен быть заключен в проме- жутке пегглеты мвжду компланигныъпз огэззтлызз 279 з ьп Следует обратить внимание на то, что при фиксированных значениях Х и т из (7.2.26) — (7.2.33) следует, что Ь'и'„и, и Ь'и',ь для каждой из указанных групп импульсов имеют один и тот же знак для всех возможных значений й.
Равенства (7.2.31) — (7.2.33) для одного и того же перелета должны удовлетворяться при одних и тех же значениях Х и т. Чтобы выяснить, какие группы импульсов соответствуют оптимальным перелетам, следует рассмотреть условия совместности различных групп этих равенств. Зависимости Х от и, построенные в соответствии с ра- ! венствами (7.2.31) — (7.2.33), изображены на рис. 7.2.2. Около каждой линии на атом рисунке поставлены цифры, обозначающие номер группы импульсов.
Перелеты, содержащие импульсы различных групп, соответствуют точкам А, В, С пересечения кривых на рис. 7.2.2. Точки пересечения при г = 0 в расчет не принимаются,, так как этот случай был рассмотрен ранее. Около каждой из точек пересечения указаны номера групп импульсов, которые могут существовать совместно, и под ними знаки ЛК,„, которые м Рис. 7.2.2.
указаны в соответствии с равенствами (7.2.31) — (7.2.33). Помимо перелетов, которые соответствуют точкам пересечения, очевидно, возможны перелеты, состоящие нз импульсов какой-либо одной из групп. Переходим к последовательному рассмотрению возможных типов перелетов.
Начнем с перелетов, определяемых импульсами 1-й и 2-й групп, соответствующих точке А на рис. 7.2.2. В этом случае ЛГ,ь,..>0, Й„=-1,2, ...,Хп 1 ЛР м ( О, йз = 1, 2, ..., Жз, Х вЂ” у =— (7.2.36) 1 й+- т 2 ) С учетом этих соотношений и равенств (7.2.22), (7.2.23), (7.2.26), (7.2.27) граничные условия (7.2.6) могут быть записаны 2ЗО ЗАДАЧИ МАНЕВРИРОВАНИЯ ПО ОКОЛОКРУГОВЫМ ОРБИТАМ 1гч 1ГЛ, уп так: № ллл 2 ' ,")', ЛЄ— ~, Лул, 'Ч / № № ' л(2 лс,,с 2 лс,,~ А,— — 1 Лл=1 / № № л(АЛГ, л.
2 лс„) А,=1 4,=1 с 2 ' (7.2.37) 5 № ллУ 1, И А1=! Эта система уравнений позволяет определить б, № ЛКА,. Решение системы уравнений (7.2.37) А,=1 представлено в виде — Ь Ь созб= . ', Блпб= 1/ ла+ л' )/ д'+ лз № № ~М"л,,+ )' Л)тл,=- ~ )/Л,+Л,, Л,=1 Л,=1 может быть (7.2.38) (7.2.39) ял 2 . = + (л, л У л. 'л1), 2 лс,,= —,' ( — л.л-У л1<-л1). / Ал=1 (7.2.40) Выражения (6.3.12) и (7.2.39) дают приращение характеристической скорости для рассматриваемого типа перелета: ЛУБ = —,' ~/'Л',+Лл. (7.2,41) Из неотрнцательности левых частей равенств (7.2.40) вытекает требование существования рассматриваемого типа перелета: ~/л';+ л~)(л,~. (7.2.42) Таким образом, область существования таких перелетов дополняет собой область существования перелетов, которые получают ся при у = 0 (см.
неравенство (7.2.18)). При условии (7.2.42) относительное расстояние Лг(лр) (см. равенство (7.2,3)) дваж~Ф в течение каждого оборота изменяет знак, т. е. рассмотренныи перелет относится к случаю пересекающихся начальной и конеч ной орбит. 'з 7.п ПЕРЕЛЕТЫ МЕЖДУ КОЪ|ПЛАНАРНЫЗП1 ОРВИТАМП 281 ° В рассматриваемом случае, когда ЛУ,ь, ) О, ЛР,А, ( О, им- пульсы 1-й группы являются разгоняющими импульсами, а им- кульсы 2-й группы — тормозящими. Из сопоставлеиия формул (7,2.38) с формулами (7.2.5) и (7.2.22), (7.2.23) следует, что Тормозящие импульсы прикладываются при ф = ф + 2яап Когда Ьг(ф) достигает максимума, а разгоняющиеимпульсыпри- кладываются при ф = ф „+2ягм когда Лг(ф) имеет мимималь- кое значение.
Этот результат является обобщением известных езультатов для соосных орбит (см. работы Смита (Ц, Тинга Лу 1, 2], Хорнера [11) . Следует отметить, что в соответствии с (7.2.26) и (7.2.27) все импульсы в рассматриваемом типе пе- релетов являются трансверсальными. Оптимальные перелеты могут быть и многооборотными. При этом интенсивности импульсов, прикладываемых иа каждом обороте, должны быть выбраны в соответствии с равенствами (7.2.40).
Тормозящие и разгоняющие импульсы обязательно че- редуются, причем вначале может прикладываться либо тормозя- щий импульс, либо разгоняющий. Этот, результат, очевидно, яв- ляется следствием линеаризованного подхода к задаче. Перейдем к рассмотрению других возможных типов переле- тов. Перелеты, определяемые импульсами только либо 1-й, либо 2-й групп, являются частными случаями уже рассмотрен- ных. В этом нетрудво убедиться, если положить равной нулю № № либо ~2~ 11КМ, либо ~ ЬФ'ь; В силу (7.2.40) они реализуют- А,=1 А,=1 ся лишь,в случаях, когда неравенство (7.2.42) превращается в равенство. Более подробный анализ показывает, что эти пере- леты ничем не отличаются от рассмотренных выше перелетов, которые получаются при у = О.
Рассмотрим далее перелеты, которые определяются импуль- сами 2-й, З-й л 4-й групп либо импульсами 1-й, 3-й и 4-й групп. Эти перелеты соответствуют на рис. 7.2.2 точкам В и С..Пусть для определенности Лз ) О. Тогда, в силу первого из равенств (7.2.6), Л(г„) О, й = О, 1,..., 111, и следует рассматривать пере- лет, соответствующий точке С с координатами У=2, 2 ' (7.2.43) При таких значениях 1 и у равенства (7.2.22), (7.2.24), (7.2.25), (7.2.26), (7.2.28) и (7.2.29) записываются в виде фз, = 6+ —" + 2ЯУ„Л)г„ц, = О,ЬГ,ь, = йу„,~ фь, 1 = 6 + ~ + 2лгзд (7.2.44) йР ьз 0 ~~1ьзл ~ ьзло Зяз ЗАДАчи мАннвРнРОВАнпя по ОКОДОНРуговым ОгвитАы '-' У11 Из этих равенств видно, что импульсы 3-й и 4-й групп совп впадают с импульсами 1-й группы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
