Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 54
Текст из файла (страница 54)
(7.3.7) Заменим в уравнениях (7.3.3) Л У,д, ЛФ'„н ЛЪ',д соответствующимп соотношениями из (7.3.7). Тогда н до ~А~~ [) — у в1п (орд — 6)] ЛР д=о ~ (4 [1 — увтп(трд — 6)] сов трд+ т соя(срд — 6) в1п орд)ЛР'д = Л„ д=о Н ;«, (4 [)о — у я]п (орд — 6)] ятп трд — у соя (трд — 6) соя трд ) Л Р'д = Л „ д=о ) т] ~ [соа(1РА — е) втптРд] Л'г"д = О, д=о А7 т]~о [соя(ор1, — е) соя срд] ЛЪ'д = — Л,. д=о ]/де] д2 до 1/д2 ] д2' д, я]п ор~„= о/д2 ] д2 о— д, о СОВ 1Р„„д = у"де+ дз (7.3.91 Теперь выраясения (7.3.1) могут быть записаны в виде Лг(ор) = Л,о[к+ соя(тр — тр „„)], Л,(1р) = Л,я]пор.
(7.3.10) В. А. Пэычо Г. Е. Ктоиао (7.3.8) 7.3.2. Правила пересчета параметров перелетов при изменении знаков констант Ло, Л„Л. и Л,. Наряду с параметрами Ло, Л„Ло п Л, далее будут использоваться параметры к, о н ор „, определяемые формулами 290 ЗАДАЧП ЫАНВВРИРОВАНИЯ ПО ОКОЛОКРУГОВЬП1 ОРБНТА\1 1гл. 1'и Отсюда видно, что 1р „, представляет собой такое значенн не 1а, при котором функция Лг(1р) достигает максимума. При н ) проекции орбит не пересекаются, а при х ( 1 — пересекаются При и = 1 проекции орбит касаются в момент, да 1Р 31аааа + П.
Точки пересечения проекций орбит ар"1 н 1рм' определя1от „ из равенства К = — СОЯ '11аа — 1раааа) г СЦ 1 = 1, 2. (7.3.11) Ло М'„А ЛИаА Лр А арь — Ла — Луах — ЛР,А — ЛРаь 7А т и ( При таких преобразованиях удовлетворяются также и уран пения (7.3.5), для чего достаточно в них заменить А1 на — А1 Таким обРазом, пРи изменении знака У Лз необходимо изменить направления импульсов на противоположные, а моменты нх приложения сдвинуть на я. При изменении знаков какой-либо одной из остальных кон стант необходимые изменения параметров перелетов опреде' еляются аналогичными рассуждениями.
Опуская их, приведем ср с азу правила преобразований. При 1 ) ) х ( ) ( соз ар„„) обе точки пересечения проекций орбит располагаются по одну сторону от линии узлов. Прп ( и ) = ! соз 1р аа ( одна из точек пересечения проекций орбит на ходится на линии узлов, причем в этой точке пересекаются не только проекции орбит, но также и сами орбиты. При л = = соз 1р,„= 0 орбиты пересекаются в двух точках: ар = 0 и 1Р = 180'. Параметр О определяет взаимное расположение орбит в пространстве.
При конечных значениях х предельный переход прн Π— ь со соответствует переходу к плоскому случаю. Рассмотрим далее следующую задачу. Представим себе, что нам известны параметры экстремальных перелетов прн некоторых значениях Ло, Л„Л, и Л,. Выясним, как следует изменить это решение при изменении знаков одной или нескольких пз этих констант. Рассмотрим сначала случай, когда изменяется знак только Лс. Из первого уравнения системы (7.3.3) видно, что прн замене Ла на — Лс оно будет удовлетворено, если Лрн заменить на — Л$"„, й = 0,1,...,Х Второе и третье уравнения этой системы УдовлетвоРЯютсЯ, если ЛУ,а заменить на — Л1'.а и к 1ра добавить 180' для того, чтобы одновременно изменилнсь знаки У зш1Ра и сов 1Ра. ПослеДние Два нз УРавнений (7.3,3) УДовлетворяются, если Л У,а заменить на — Л 1'„. Снстематнзнруем это следующим образом: пеРелеты между некоз!пллнлРньюп1 ОРвптлмн 29! д ьз! Изменение знака Л,: Лс Л! «д Л] тд Л] я' тр1« (7.3ЛЗ) — Лс — ЛИ«д Лрт!т — Л] сд 11 — 1рд Изменение знака Л,: Л! «д 'рд (7.3.14) Изменение знака Л,: Л, Лт««д Лртд ЛР,тт тРд ] — Л, ЛР„ЛК,Л вЂ” ЛР„, 1р,]' (7.3.15) Если при этом будут найдены все решения системы (7.3.3), (7.3.5), то с помощью преобразований (7.3.12) — (7.3Л5) из этих решений можно получить все решения и в случае произвольных сочетаний знаков констант Лз, Л„Л, и Л,.
Никаких других решений у системы (7.3.3), (7.3.5) в случае, когда не выполняются условия (7.3.16), кроме тех, которые находятся таким способом, не существует. Если бы такие решения существовали, то это значило бы, что также существуют дополнительные решения и в случае, когда условия (7.3.16) выполняются. Их можно было бы найти с помощью преобразований, обратных к указанным. 7.3.3. Исследование соотношений для определения моментов приложения импульсов.
Исключим нз последнего уравнения системы (7.3.7) и четвертого уравнения системы (7.3.5) компоненты импУльсов Л!«„, ЛК„и ЛРм с помощью пеРвых тРех УРавнений (7.3.7), что дает Р(Р соя (трд — 6) я!п(1рд — 6) + 4 ]). — Р я1п (1рд — 6)] ~ Х соЯ(1РЛ вЂ” 6))+ т]е сов(1Р1, — е) Я!п(1РЛ вЂ” е) = О, Ре соя'(1рд — 6) + 4 ]Х вЂ” Ря!и (1рд — 6)]с + г]е созе(трд — е) = 1, й=-0,1, ...,Л. (7.3.17) Здесь в верхних строках приводятся параметры исходного перелета, а в нижних — параметры перелета, получающегося при замене Л, на — Л„Л, на — Л, и Л, на — Л, соответственно.
В том случае, когда изменяются знаки у песколы их из этих координат, преобразования (7.3.12) — (7.3,15) надо применять последовательно. Полученные результаты позволяют в дальнейшем ограничиться рассмотрением случая, когда о > О, к > О, О л= 1р~„~( 90'. (7.3Л6) 292 зАдлчп мАНВВРВРОВлння по ОколОКРУГОВыы ОРВитлм (гл "'1 Г11 Используя тригонометрические функции двойного угла, прпв РВВЕ- дем уравнения (7.3.17) к виду [т(2 сов 2 (6 — с) — 3У2] зт В 2и» + т(2 зтп 2 (6 — е) з1 В 2В» -[- + 8) у соз и» = О, [т[' сов 2(6 — е) — Зу ] созйи„— т( зтп2(6 — е)зтп2и» вЂ” ' ' ' ) 2 2 2 (7.3.18) — 16).у зтп и» вЂ” — 2 — 8)2 — 5ут — т(2, где и» = 19„— 6, 42 = 0,1,...,Л(.
Рассмотрим сначала случай, когда коэффициенты Ври зш 2и» н соз 2и, одновременно не обращаются в нуль: р = + ]/[т('соз 2(6 — е) — Зтт]'+ т(4 зтп22(6 — е) = = +~' т]4+ 9»л — бутт[2 соз 2(6 — е) ~ О. (7.3,19) При таком условии уравнения (7.3.18) могут быть переписаны в форме зтп 2(и» + [1) + У соз ил = О, соз 2(и» + р) — 2У зш и» = Х, Й=0,1, ...,1"»1, (7.3.20) где 2 — 5У» — 8М вЂ” Ит Х= (» з1п 2(3 = т(2 ейв 2 (6 — з) (» У= —, соз 2р = — 322 + т(2 соз 2 (6 — 2) (» (7.3.21) Эти уравнения представляют собой параметрическое задание зависимости У(Х, р), в которой параметром является и».
Период уравнений (7.3.20) по и» равен 2п, а по р — я. Рассчитанные для 0 ~и, ( 2я зависимости У(Х) при нескольких значениях р из интервала 0 ( р = я приведены па рис. 7.3.2. Равенства (7.3.20) для одного н того же перелета должны выполняться при одних и тех же значениях У, Х, 6 и р. Простейший случай, в котором это условие выполняется, тот, когда моменты приложения импульсов отличаются на число, кратное 2я. Многоимпульсные перелеты с импульсами, сообщаемыми в пределах 0 ( ц1» — 6 ( 2я, возможны лишь в случаях, когда различные части кривых У(Х, р) имеют точки пересечения пли совпадают. Количество пересекающихся или совпадающих частей кривых равняется максимально возможному количеству импульсов, сообщаемых в пределах одного оборота.
Из форт»Ух (7.3.20), (7.3.21) и рис. 7.3.2 видно, что в пределах одного оборо та многоимпульсные перелеты возможны либо при У = О, ляоо при р = О, либо при р = 90'. псгклвты мвл;дт нвкомпллнлгпымп оввптлмн 293 а ьл Случай У = О. Уравнения (7.3.20) прилипают вид зш2(и,+ Р) = О, сов 2(и,+ р) = Х.
(7.3.22) Опп имеют две группы решений: ~рь, — фо+2яй1 йг= 0 1 2 7УВ ~Рь*=<ро+я+2лй йз=О 1 2 . Лэ' (7323) дгт Импульсы этих групп сообщаются в диаметрально противоположных точках. В пределах одного оборота сообщается не более Рас. 7.3.2. двух импульсов. С учетом (7.3,23) последние два из уравнений (7.3.8) могут быть записаны в виде ч соз (й~, — е) зш Ч~зйув —— О, д соз (~, — з) соз Ч~еЛУх = — — — Л„ (7.3.24) М где ЛУх = ~Х ЛУд.
а=о Отсгода при А, ~ 0 следует, что ~рс = О. Это значит, что рассматриваемьш случай соответствует перелетам с импульсами в узлах. Случаи Р = 0 и Р = 90'. В каждом из них в силу (7.3.21) з1п 2 (б — з) = 0 и уравнения (7.3.18) записываются в виде зш2и,+ Усово„= О, соз2и,— 2Узши, = Х, (7.3.25) 284 звдьчн оелнввгнговлния по околокггговым огвитхм ~гл ч.1п где 8Ло Х 2 — зов — 8Л' — Чв пв сов 2 (6 — е) — Зое ' цо сов 2 (6 — е) — Зое ' соя2(6 — е) = — + 1. Эти уравнения имеют две группы решений: орд, =- 6+ агся1п —, — и+ 2н)'и Й, == О, 1, ..., Л; У оро, = 6 — агся(п — + 2п!о„(ов = О, 1, ..., Лгв,' (7.3.26) у ЛГ1 + Лге Л~ 1 для которых одновременно выполняется равенство Х=1+ У~. (7.3.27) Здесь, как и ранее, количество импульсов, прикладываомых на одном обороте, не превышает двух.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
