Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В зависимости от знака соя 2(6 — е) в (7.3.25) получаются различные типы перелетов. Рассмотрим сначала случай, когда соя 2(6 — е) = 1 и соответственно 6 = е + пг (в — целое) . Достаточно выполнить вычисления, когда (7.3.28) так как добавление к е числа, кратного и, как это видно из (7.3.7) и (7.3.8), может быть учтено в итоговых формулах изменением знака у Л,. При е = 6 предпоследнее нз равенств (7 3.8) с учетом (7.3.26) может быть преобразовано к виду я1псро Х Луо,=я)норд ~з, Дуо, (7329) о,=о о,=о где у У <р = 6 + агся1п — — п ерг = 6 — агся(п — . о 1 2 ' Отсюда в силу положительности слагаемых, стоящих под знаком сумм, знак ягпсро совпадает со знаком ящсрь а это значит, что все импульсы (7.3.26) прикладываются по одну сторо ну от линии узлов.
Таким образом, рассматриваемый случай со ответствует перелетам с импульсами, прикладываемыми по одну сторону от линии узлов. Для этого класса перелетов из ра венств (7.3.25) н (7.3.27) при 6 = е могут быть получено' формулы Л='') "' ' =[1+(")](1-) ( ) ~( — ) — 3Д.(7.33~) лвРклвты ывя(ду нккоз1пллнлРнымн ОРвитлми 295 ели соз 2 (6 — е) = — 1, то 6 =. е + —.+ нз (г — целое) . Так же, как и ранее, достаточно выполнить вычислении для случая 6=в+ —.
в (7.3.31) Прн этом предпоследнее нз равенств (7.3.8) преобразуется и виду Ж, Ю~ з1п19, ~ АУЛ, = — з1п 191 ~чР, Ауас (7.3.32) л,=о л,=о Отсюда следует, что рассматриваемый случай соответствует перелетам с импульсами, прикладываемыми по разные стороны от линии узлов. Для этого класса перелетов из (7.3.25) и (7.3.27) получаются формулы '=- """" — "='-'1(-")'-'11" (-")1(-")' (7.3.33) Таким образом, при условии (7.3.19) существуют три типа перелетов, для каждого из которых на одном обороте КА около центра притяжения сообщается не более двух импульсов: перелеты с импульсами в узлах, перелеты с импульсами по одну сторону от линии узлов и перелеты с импульсами по разные стороны от линии узлов.
Однонмпульсные перелеты возможны, только если орбиты пересекаются. Импульс в этом случае прикладывается в точке пересечения орбит, которая совпадает с одной из узловых точек. Таким образом, одноимпульсные перелеты представляют собой частный случай перелетов с импульсами в узлах. Рассмотрим далее случай, когда условие (7.319) не выполняется. Тогда имеют место равенства т~зсоз2(6 — з) — Зув = О, ц'з1п2(6 — з) = О. (7.3.34) Из (7.3.7) видно, что ц ~ О, так как в противном случае АУ„= О и перелет оказывается плоским. При ц ~ О из (7.3.34) следует, что 6 = з + яг (г — целое) и т М О. При условиях (7.3.34) из первого уравнения системы (7.3.18) вытекает, что Х соз из = О. Если предположить что соз и„= О тоид, = — + 2нк1 и 2 + иь = ~ + я+ 2нй„где й1 н кз — целые числа.
Но тогда из вто- 2 рого уравпеппя системы (7.3.18) следует, что одновременно должны выполняться равенства — 16ХР = 2 — 8лз — буз — т~з, 162.у = 2 — 822 — 5уз — цз, 299 зАДАчи мАнеВРиРОВАниЯ по ОколокРУГОВыы ОРВптА11 ~гл у Л. РП чего быть не может. Поэтому сов и, Ф О, но тогда Х = О. Таким образом, при условиях (7.3.34) из (7.3.18) следуют равенств 1Стза ).
=- О, 5уз + т~з = 2, т~з — Зу' = О, 'У'З вЂ” Ч= „,, 6-.+' (7.3.35) При наличии равенств (7.3.35) уравнения (7.3.18) выполняются тождественно и моментов приложения импульсов не определяют. Получающиеся в этом случае перелеты будем называть вырожденными. 7.3.4. Перелеты с импульсами на линии узлов. Подставляя выражения (7.3.23) для 19А, и 19А, при дз = О в равенства (7.3,8) и во Второе из равенств (7.3.17), получим 4(Х+ т з1п 6) А,=О № 4(Х+ уз1п 6) ~ч', № Л(га, + 4(). — у з(п 6) Х ЛКА.
= Лю~ Аз=О № Л$'А, — 4(Л вЂ” уз1п 6) ~", ЛЪ'1О = гг„ А,=О (7.3.36) А,=О ( № № — ".6| ~ ЛУ,,+ ~ ЛР„=Л„ ь,=о а,=о № № Ь,=а 1.=а 1 созе 6+4(Х+ уз1п6)з+ т~'соз'з = 1. (7.3.37) Последнее равенство должно удовлетворяться при обоих знаках. Вто возможно либо при Х = О, либо при у = О, либо при зшб = О. Первые два случая соответствуют экстремальным перелетам, так как в силу (7.3.21) У = О при Ху = О.
В случае же зшб = О, УФ О первое из уравнений (7.3.17) не удовлетворяется и получающийся перелет не является экстремальным. Однако если при оптимизации перелетов заранее предполагать, что импульсы прикладываются в узлах, то первое из уравнений системы (7.3,17) исключается из рассмотрения, а остальные уравпения совпадают с уравнениями (7.3.36) и (7.3.37) .
Следовательно, перелет, получающийся при з1п 6 = О, можно рассматривать как условно экстремальный с заранее заданным расположением импульсов. Уравнения (7.3.7), (7.3.38) и (7.3.37) позволяю~ определить все параметры перелетов в каждом из указанных случаев. Опуская несложные выкладки, приведем получающиеся результаты. пеРелеты ддежду некомплАнАРнымп ОРБитАми 297 9 ьи Случай Л = 0: ЛИ вЂ” — 1' Л, + 4(Л,'+ Л',), (7.3.38) до о д ) с.
Л ° дУБ(1+ д ) Лд'о, м=о (7.3.39) д М.' ДУдд, ДУ„о др„ дауд 2ДУ о 2ДУ дуа Д~ ды (7.3.40) ДУБ' Ы1о, Лрх — — — ~' Ло + 4Л„дрд, = 2яй„дроо = я + 2зй„(7.3.41) До чд Ддх до ~ ЛРд, = 2 (1 д ) ~~ Луд, = —,х (1+ — '), (7.3.42) ып ~да, До ~ып й, = О, 1, 2, ..., Л",; йо == О, 1,..., Лд„дед+ Л з = Л вЂ” 1. (7.3.43,) В силу первого из равенств (7.3.37) при у = 0 и Л. = О.
Таким образом, в этом случае перелет существует при Л, = 0 и Ло~Л„т. е. прп о9„„=Он х) 1. Индексами ЛЧ и Ез обозначены соот~ветственпо параметры импульсов, прикладываемых при д9о, =2яйь й~ = 0,1,2,...,до'ь и при агрос — — л+ 2тйо, йо = О, 1,2,..., Ддо, Дд~ + Лдо — — йд — 1. В левых частях (7.3.39) стоят положительные величины. Следовательно, рассматриваемый перелет существует при Ло - Л, или, в силу (7.3.9), при и - соз д9,„. Выражение (7.3.38) для Ло'з при Л.-о-О не переходит в выражение для ЛР'о экстремальных плоских перелетов, существую щих при х,((1 (см.
Г. Н. Кузмак 111). Величина Л)го при Л. = 0 для рассматриваемого типа перелета с импульсами в узлах больше соответствующей величины Л"у', для плоского перелета с импульсами, прикладываемыми при др „, и д9 „+ я, и меньше Лу'х для плоского перелета с импульсами, прикладываемыми в точках пересечения орбит. Случай у = 0: Р93 ЗАДАЧИ МАНЕВРИРОВАНИЯ ПО ОНОЛОКРУГОВым ОРБИТАМ 1гл 1'11 Случай я1пб = 0: = Л, соя 6 + Л, жп 6, я1п ид) я»п ид — у сов' ид] ЛУ» = Л, соя 6 — Л, в1п 6, ,У', (4(Х вЂ” У д=о 11 ~ соя(и„ д=о »1 ~ сов(ид + 6 — е) сов и»ЛУ» = — Л, соя 6, + 6 — в) вдп и»ЛК» = Л, в1п 6, д=о (7.3.45) где и, = ор,— 6. ЛК — — — ~ГЛоо+ 4(Л~+ Л,) (7.3,44) Формулы для сумм импульсов ЛУ», н ЛУ», совпада1от с формулами (7.3.42), где ЛК, определяется согласно (7,3,44) Из (7.3.42) видно, что в этом случае перелет существует при Ло ) Л, или при х ) сов 19 „. При Л, = 0 этот перелет переходит в предыдущий.
Проведенный анализ показывает, что перелеты с импульса ми в узлах существуют всегда, однако экстремальными они яв ляются в области х ( соя 1р „и при 19 „= 0 и х ~ >1. Границе области х = сов 19,, соответствует случай, когда орбиты пересекаются при ор = 180'. Согласно (7.3.39) и (7.3.42) в этом случае все импульсы прикладываются прн 191п =л+ 2ле,, ло = 0,1,...,61м по одному импульсу в точке пересечения орбит в течение каждого оборота. Из (7.3.40) и (7.3.43) видно, что все импульсы каждой из групп имеют одинаковое направление, а величины их, в силу (7.3.39) и (7.3.42), могут выбираться с большим произволом. Минимально необходимое количество импульсов равно двум, а в случае пересекающихся орбит — одному.
Увеличение ноличества импульсов не влияет на величину ЛУА. 7.3.5. Перелеты с импульсами по одну сторону от линии узлов. При исследовании этого класса перелетов будем исходить из уравнений (7.3.7), (7.3.8), (7.3.26) и (7.3.28). Преобразуем систему (7.3.8). Умножим второе уравнение этой системы на соя 6, третье на вш 6 и сложим, затем второе уравнение умножим на — вкпб, а третье на соя 6 и также сложим. Аналогичные операции проделаем с третьим и четвертым уравнениями, Получим л 4 (А — У в»п ид) ЛК» — — — Л„ д=о к [4(Х вЂ” УЯ1п ид) соа и»+ Усов и» Я1п ид] ЛР'д = д=о ПЕРЕЛЕТЫ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫЫН ОРБИТАМИ 2зв а ьз! Эта система эквивалентна (7.3.8) и справедлива для всех типов перелетов.
Подставляя в (7.3.45) выражения для и„ из (7.3.26), полагая 6 = е и исключая Л с помощью первого из равенств (7.3.30), будем иметь 2У ( т 4у /(Л з+ ЛУ )'=-Лсз1п 6 — Лз сов 6, ум Ч (1 — — (ЛУ,-ТЛУз) = — Л, соя 6, 4~ Пэ уз — 2„У )/ 1 — — (ЛУ,— ЛК) .= Л,Б1п 6 + Л,сов 6, Ч 2 у 1 4 (ЛУ Л~ )=Л Б1пб, (7.3.46) где — = (Л, — — Л,) сов 6 — Л,Б1п6, — ' = (Л + — 1Л,) соя 6 — Л,я(пб. (7..3.49) № № ЛУ,= ~ ЛРА ь,=о А,=О Эта система пз пяти ураинений содержит шесть неизвестных: и, № 6, У, ЛУ~ и ЛУМ Чтобы ее замкнуть, необходимо присоединить к ней второе из уравнений (7.3.30). Физический смысл имеют действительные решения этой системы, удовлетворяющие, в соответствии с (7.3.5), (7.3.6) и (7.3.26), неравенствам У > О, й > О, ) У) < 2, ЛУ1 > О, ЛУБ < О. (7.3.47) В силу (7.3.47) из третьего уравнения системы (7.3.46) при условиях (7.3.16) следует соя 6 ( О.
Выражения для соя 6 и ып6 получаются в результате исключении разности ЛУ1 — ЛУз из последних двух уравнений системы (7.3.46): + Ч соз 6 з(пб = )/(~,+ —," ь,) ~~* )/(~,~ — ", ь,)~.л,' (7.3.48) Умножая первое, второе и третье уравнения системы (7.3.46) соответственно на У/2, 1, — У/Ч и складывал почленно, а затем умножая этп уравнении соответственно на — 2/У, 1 и д/У п такЖе складывая, получим следующие соотношения: 3ОО зАДАчи ИАнеВРиРОВАниЯ по ОколокРУГОВыэг ОРВптАМ ~гл гл. т гг Эти уравнения после исключения соз6 и зшб с помощ (7.3.48) преобразуются к виду 2~о У= г ( ' ') * эл.50) (6,— — 'Л,)(Л,+ — ", 6,)+6~=6Г Второе из этих равенств представляет собой уравнение для опре деления ц/У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
