Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Е. Кт«м«« 322 ОПТИЫАЛЬНОЕ МАНЕВРИРОВАНИЕ В ТОНКИХ СЛОЯХ юл. Рнг с помощью мпогочлена третьей степени бг(1) =бг (ао+ а)1+ а11~+ азгэ), (8.1.4) где бг, = г) — го — толщина слоя, рая является малым параметром. +г))/2, то для коэффициентов а) ражения выраженная в долях г„к Если считать, что г„= („ (1 = О, 1, 2, 3) получаются вы 1 а о ~0 а бг )А , если заданы г„)'ю, г„ 1 1' " а го гю,гдг,).
(8.1.5) О, если заданы г„ргэ, г„ к,э При задании бг(1) в виде Функции от времени (8.1.4) уравнение (8,.1.3) превращается в линейное уравнение с переменным коэффициентом и его решение может быть представлено в форме (см. формулу (П. 17) Приложения) 'О)-'ыЯ '~» )г)"; [)))ц)) )1)~Ь (8 1.6) т) ) = ф =,„,"* ~ч„— „', ). [ь)ц)),)1)л[ с где гю и Нее — значения радиуса-вектора и вектора скорости при 1 = 0; с(1) и г(1) — частные решения уравнения + [1 — 3бг))) (а + а11 + а. 1~ + а 1~)) и = О, (8 1 7) удовлетворшощие при 1 = 0 соответственно условиям с(0) = 1 )11 1)=о — = 0 и г(0) = О, — ~ = 1. Функции влияния К(1, $) ил=о и А'(1, Е) при 1= сопе1 удовлетворяют аналогичному уравнению —., + [1 — 3бг (ао+ аД+ ад$~+азчз)[ и 0 (8.1.8) постАнОВкА ЗАдАчи.
ОснОВные уРАВнения 323 я ол! с граничными условиями, заданпыми при Ь = 1: К(1,Р~,,-О, '— "! Ь(1,$)!о, =1, — „, ~ =-О. (8Л.9) В уравнениях (8Л.7) и (8.1.8) под и подразумеваются соответственно функции с(1), г(г) и К(1, 3), Ь(1, $). Точные решения уравнений (8.1.7) и (8.1.8) через известные функции не выражаются. Но поскольку они содержат малый параметр бг„, решение можно найти приближенно методом малого параметра (см. Коул (Ц, И. Г. Малкин [1) ).
Так как исходное уравнение (8.1.3) справедливо с относительной погре1пностью порядка (бг )г, то и решение уравнений (8.1.7) и (8.1.8) следует искать с такой же точностью. Таким образом, при построении рядов по степеням малого параметра моя<по ограничиться определением лишь членов нулевого и первого порядков относительно бг . Наметим основные этапы вычисления функции с(1).
В соответствии со сказанным выше выражение для нее будем искать в виде с(1) = сояо+ бг О(1) + О (бгз )). (8.1.10) Подставляя это выражение в (8.1.7), получим аосог1 + соя г + бг ~ —,, + Π— 3 (а, + а11 + а.,10 + ао10) соя 1) + 1 аое + О (бг ) = О. Члены порядка единицы в этом уравнении взаимно уничтожаются, членами О (бгг ) пренебрегаем, а для того, чтобы скомпенсировать члены порядка бг„, функция О(1) должна быть определена из уравнения —, + О = 3 (аз+ а11 + Оооо + а 1') соя 1 (8.1.11) с начальными условиями аа ~ О(1=0 = — = О. 01 11=О Путь вычисления функции г(1) аналогичен. Опуская несложные выкладки, приведем получающиеся приближенные выражения для функций с(1), г(1) и производных от них: з г с(1) = сояг+бг,„~~а101(1), г(1) =я1пг+бг ~ а1г(1), (8Л.12) 1=0 1=О г з оо 301 аг ог1 — = — я1пг+ бг,„~о ао —, —, = соя1+ бг ~Э„ао — '.
(8.1ЛЗ) 1=0 1=0 2Р постлнОВкл элдл*ш. ОснОВные утлВНВнпя 325 а,(~) == — (а, + 2азс+ Зазсз), (8.1 16) (8.1.7) и начальными условиями со~ с,ф 65 "5 55 15 15 551 15 сс /5 .;5 'О 55,,'0 /5 за С а Рвс. 8ЗЗ. К (З, Е) = З (З)) (з,, а,(О = В1П ([ — Е) -) ~ (З, $) = с (т~) !„,.=„61> = соз (1 — $) + бг а (1) = — а + а,1-'- пзсз + пзсз 111(1) == аз+ Зазз сзз = аз. опоставленне этих равенств с для Функций с(з) н з(з) дает а5 ы /,5 5л с а5 ы '.5 ',Ф 1 з 6г ~~.", а1 (з) зз (з — $), 1 =э (8.1 17) з ~~Р ~а1(г) с1(г — $).
(8.1.18) Ззб ОптимАльнОе мАневРиРОЕАние В тонких слОях ~гл. тп, Из (8.1.14) и (8.1.16) видим, что поз — = с — = с1+ го, — '- = со + 2а — ' = с + Зс.„ Ло= о~ ,ц Отсюда следует: Т(г, $) = дК(т, $)/д1, что обеспечивает сов местность обоих равенств (8.1.6). Обозначим внеинтегральные члены в равенствах (8.1.6), о,е сывающие свободное движение КА, следующим образом: оо сЬ г (1) = г, с(8)+ Ч,г(1), Ч,(1) = г„— „+ ׄ—. (8,1 1о) — (2 — — "о ) —,, если задапы го, )г„, г, а,= 1о1)гго гп Ры его, )' если заданы го, У„, г„ ш ао го~ ~ го О, если заданы г„ог„„г1, т~ о о ГО1 ) гу Г1 ) г1.
(8.1.2 Тогда (8.1.6) для конечного момента времени 1= Т можпо представить так: т т ) К(Т,$)а(ь)о$ = Аг(Т), ) 1 (Т, ь)аД)д$ = АЧ(Т), (8.1.20) о о где Аг(Т) = г(Т) — го(Т), АЧ(Т) = Ч(Т) — Чо(Т). (8.1.21) Векторы Аг(Т) и АЧ(Т) представляют собой невязки в граничных условиях, которые должны быть выбраны с помощью управляющего ускорения а(~). Эти векторы далее будем называть векторами конечного промаха. Заметам, что при ~ = Т выраяоения (8.1.16) для определения коэффициентов а,(1) могут бытьупрощены.
Опуская несложные выкладки, приведем окончательные ! результаты: 327 одногоднык поля тяготвния 'з.з! Равенства (8.1.20) обеспечивают выполнение граничных усовий. Им можно удовлетворить с помощью достаточпо широко- класса зависимостей а(1). Чтобы сделать задачу определенной, отребуем от а(1) удовлетворения условия (8.1.20) и ограниче'ия па а(1) = ~ а(1) ~ и минимизации интеграла г (8.1.23) Этот интеграл представляет собой величину характеристичеой скорости, необходимой для перелета (см. раздел 1.1.1).
Таим образом, вариациопная задача, которая будет рассматриватьея далее, формулируется следующим образом; необходимо найти акоп изменения управляющего вектора а(1) при условии (а (~)( ( а „ (1), (8 1.24) где а,„„(Г) — заданная функция, такой, чтобы выполнялись услойвия (8.1.20) и был бы минимален интеграл (8.1.23). Векторлфупкция а(~) будет выбираться из класса кусочно-непрерывных вектор-функций. ~ 8.2. Однородные поля тяготения 8.2.1. Равенство функций влияния и определение однородн полей тяготения. Важным обстоятельством, характеризующим ложенный метод, является возможность записи граничных вий (8.1.20) в векторной форме.
Как будет показано далее. по с этим связано существование целого ряда простых оптимального управления. Возможность векторной заг ничных условий является следствием равенства мег функций влияния по различным координатам. На з нии рассматриваемые поля тяготения, в которых д' симируются полиномом от времени, можно назвать В таких полях вследствие равенства функций в личным координатам одинаковые вариации ко Управляющего ускорения а(1) приводят к один компонент радиуса-вектора и вектора скорости ности аппроксимации вектора ускорепия си но, что в рассматриваемом методе точно у его направления и приближенно — изме Вследствие того, что при движепии в то поля тяготения л(г) и д(г)/г изменяютг постоянным величинам, рассматривае~ поля тяготения можно называть таюг Рального поля тяготения по аналогии 128 оптимлльнов млнквгиговлпнв в тонких слоях ~гл гп чп тяготения, в котором вектор силы тяготения принимается и :тоянным как по величине, так и по направлению.
В дальнеи шем указанную модель центрального поля тяготения будем наз... вать однородным эентральным нолем. В однородном центральном поле тяготения все определяется функциямн влияния К(Т, $) и Т (Т, $) и векторами го(с) и Нв(с) которые даются формулами (8.1.19) и описывают свободное дви жение. Особенно простые выражения для этих величин полу~а. ются, если в выражениях (8.1.17) — (8.1.19) пренебречь члепамл порядка бг„по сравнению с членами порядка единицы. При та ком упрощении задачи формулы для векторов гв(Г), Ув(г) и функ ций влияпия К(Т, $) и Т(Т, $) принимают вид г, (с) = г„соз с + Чвв з|п г, (8.2 1) УЕ= — „~1 +У,, ( К(Т, й) = з1п(Т вЂ” в), Т (Т, Ц) = соз(Т вЂ” $).
(8.2.2) Эти формулы являются точными для случая движения по сфере. 8.2.2. Формулы для малых значений Т. Упростим выражеппя для векторов гв(1) и Ув(г) и функций влияния К(Т, ь) и Й(Т, Ц при бг„, чь О, когда Т мало. Выпишем с этой целью главные чле- ны при малых й в выражениях (8.1.14) для функций с,(с), г,(с), г' = О, 1, 2, 3, и пх производных: с (з) = — Е~ + 0 (е~), с (е) = — с~ + О (е~), с,(Г) — — Ю'+ О(г ), сз(г) — — 1 л- О(С ), в (г) = — Р + 0(г ), г (г) = — г + 0(г ), — '" = Зс + 0 (Р), —" =- — гз + 0 (с'), ег ' ыс 2 "— - = Рв+ 0(гв), — „", = — г'+ 0(г'), га + О (~4) 1 гз ( О (сь) — — г'+ 0(~ ~, — — = с + 0(с ). (8.2.3) е ~ее сераля того чтобы выделить главные члены при малых г и Тв ажепиях для функций влияния К(Т, $) и Т(Т, $) и векточ онаго(с) и Ув(г), необходимо оцепить порядок коэффициептова~ ур(Т), ~ = 0,1,2,3, в формулах (8.1.5) и (8.1.22).
При провеМнае(з таких оценок необходимо основываться на том, что пр" 330 ОптиыАльное мАневРиРОЕАние В тОнких слОЯх [гл ° 71п Для определения векторов конечного промаха необходн, нмо знать го(Т) и Чо(Т). При г = Т формулы (8.2.6) заметно ув1, щаются: То ., / $, 1 Пат 1 о оо~ 3 '"( 3 4 3о 1 + Ч (1 — — + Тобо оо и (8.2.7) Упрощенные выражения для функций влияния К(Т, $) и Ь(Т,;) получаются па основании (8.1.17), (8.1.18), формул (8.1.22) для случая задания го, Р,о гь (8.2.3) и имеют впд — — '('-''".')('г '7)Л вЂ” /), р -, '1( г — В1)-'~ (8.2 8) Зтн формулы, так же как п предыдущие (8.2.7), получены для случая, когда красвымп условиями задаоотся зпачсопоя га, 1г.а и г,.
Из приведенных приолиженных формул хо1зогло впд1кь что изложенный метод обладает высокой точностью, если траектория движения выбирается таким образом, что бг„« 1. 8.2.3. Однородное поле тяготения. Получим для етого поля векторные формулы, описывающие свободное движение, и выражения для функций влияния. В плоскопараллельном постоянном поле вектор ускорения силы тяготения я является постоянным одногодмык поля тяготкния тором и уравнения движения могут быть записаны в виде ,дя =а(»)+я Н""г (8.2.9) щее решение (8.2.9) может быть записано так: ю= лс-~ (з — в аа, ! о Ч (») = Ч, (») + ) а (с) дЕ о (8.2.10) есь Чв(») Чае+ а» (8.2.11) ,,де гзз и Чш — значения радиуса-вектора и вектора скорости при :=О. Очевидно, что функции влияния таковы: К(», $)=» — $, А(», $)=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
