Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(8.2.12) 0 использованием этих обозначений граничные условия при» = Т могут быть записаны, так же как и ранее, в виде (8.1.20). Специфика рассматриваемого полн, очевидно,, проявляется в виде формул, описывающих свободное движение п функции влияния. Для случая однородного поля тяготения введенные выше безразмерные величины не являются достаточно характерными. Поэтому всюду далее, когда речь будет идти о движении в этом поле, под г, Ч и» следует подразумевать размерные величины. Формулы (8.2.11) и (8.2.12) могу~ бьшь получены из формул (8.2.7) н (8.2.8), которые описывают движение в однородном центральном поле тяготения при малых Т.
Для того чтобы в атом убедиться, необходимо в формулах (8.2.7) и (8.2.8) положить бг~ = О, отбросить старшие степени Т и затем перейти к размерным величинам. Использование векторной формы (8.1.20) для записи граничных условий позволяет единым образом исследовать особенности оптимального управления для всех рассмотренных однородных полей тяготения. 8.2.4. Сравнение с точным решением. Оценка погрешности. Для сравнения приближенных решений с точными ограничимся 333 ОптнмА:1ьнов НАнВВРВРОВАнпВ В тонких счоях !Г11 г,н случаем свободного движения.
Помимо самостоятельного зна ния, это необходимо и для задачи с управляющим ускорепн „ так как, в соответствии с результаталги 33 8.4 и 8.5, движе„п ' ' У направлениях, перпендикулярп,, я,, у к плоскости и ь прямои управ (Р— — 1 - нпя, происходит без воздействн„ Ьз О ~ тяги. Точные решения для свобод ного движения рассчитывались по кеплеровым формулам, описыва1ощим движение в ньютоновско11 юл — — поле тяготения. Сравнение проводилось для слоя с )бг ! = 0,1 Схема расположения траекторий изображена на рпс. 8.2.1.
Предполагалось,что движение начипастся ч нз апсидальной точки, лежащей на границе слоя. Для получения Рлс 3.2Л. расположенных в слое траекторий с разлнчпой продолжительностью перелета варьировалась величина начальной скорости Иш = Р,ь При У*а ( 1,0 траектории начинались с верхней границы слоя, а при )г„з ) 1,0 — с нижней границы. Прп сравнении точных реше1пш' с прнблнженпыз1Н сопоставлялпсь зависимости расстояния до центра тяготения г(1) и угловой дальности 13(1).
Результаты для Кю ( 1,0 изображены па рнс. 8.2.2 и 8.2.3, а для значений г',з ) 1,0 — на рис. 8.2.4 и 8.2.5 (1 — точные решения, 2 — однородное центральное поле, бг„Ф 0). Расчет коэффициентов а„входящих в формулу (8.1.12), проводился по формулам (8.1.5) прп заданных гм Рю = О, 1.1 и значениях Т, определенных из точного решения и представляющих собой момент попадания точного решения на границу слоя. Для сравнения нз рис. 8.2.2 — 8.2.5 напесепы также результаты расчетов для однородного поля тяготения (4), в котором ускорение силы тяготения вычисляется в точке с координатами (х = О, у = 1,0) (см. рис. 8.2.1), для однородного центрального поля (б) при бг,.
= О и для линеарнзоваппого в окрестности точки (х = О, у = 1,0) поля тяготения (У), которое впервые было предложено использовать для задачи выведения искусственного спутника на орбиту в работе Д. Е. Охоцимского и Т. М. Энеева 11). Из сопоставления кривых, привсдепиых па рнс. 8.2.2 — 8.2.5, видно, что погрешность результатов расчета по модели однородного цептральпо1'о полн при бг Ф 0 не превышает нескольких процентов от ~ бг,.
~ при ср ( 1,2. Такому же неравенству удовлетворяет безразмерное время г. При г„6500 км'ато соответствует интервалам времени, пе превосходящим величин порядка 1000 сек. Таким образом, изложе1шый метод обладает достаточно широкой областью з 8.3! свкдк1П!е зАдАчи к зАдАчАЗ! 1|кпьшеи РАзыеРностн 337 применимости.
Результаты расчетов для линеаризовапного поля имеют погрешность порядка нескольких процентов при 1р ( 0,4 (! ( 0,4). При использовании однородного поля погрешностьтакого же порядка получается лишь прн 1р ( 0,25 (! < 0,25). При определении формы траектории точность однородного центрального поля при бг = 0 примерно такая же, как и точность однородного поля.'Основное его значение состоит в том, что оно определяет главные члены при малых значениях [бг [ во всех формулах з 8.1. Из $ 8.1 следует, что структура оптимального управления при бг Ф О точно такая же, как и при бг = О.
В заключение этого раздела оценим погрешность в величине управляющего ускорения, которая возникает за счет приближенной аппроксимации зависимости Ь(!) в уравнении (8.1.3). Будем далее обозначать приближенное значение бг(!), определяемое из (8 1.4), тильдой сверху. Используя это обозначение, (8.1.3) перепишем так: —., + [1 + Збг (!)! г = а (!) + 3 [бг — бг (!)[ г. (8.2.13) Выражение, стоящее в правой части етого уравнения, можно рассматривать каь новый управля1ощий вектор а1(!)1 а1(!) = а(!)+ 3(бг — Ьг(1) ]г. (8.2.14) Все приводимые результаты имеют погрешность порядка (бг )и н для движений в тонких сферических слоях могут рассматриваться как практически точпыо„если решать задачу об оптимальном определении вектора а1(!).
Из (8.2.14) видно, что ошибка Ла(!) в определении искомого вектора а1(!), ож1есеппая к б(г.ь), даетсЯ выРажепнем Ла(!) = З(бг — Ь (!) ] г. (8.2.15) Если принять, что бг„0,05 —: 0,1, и считать, что зависимость бг(!) аппрокспмпрует точную зависимость бг(!) с погрешностью, не превышающей 20з!н от бгьи то из равенства (8.2.15) видно, что [Ла(7) [ пе превосходит величин порядка 0,03 —: 0,06. Таким образом, если значения управляющего ускорения являются величинами порядка д(г„), то при достаточно длительных активных участках можно он1идать, что изложенный приближенный метод будет обладать высокой точностью. б 8.3. Сведение пространственной задачи к задачам меньшей размерности 8.3.1.
Геометрическая интерпретация. Важной особенностью однородных полей тяготения является возможность сведения пространственной задачи к задачам меныпей размерности. Чтобы зто показать, свяжем с движущейся точкой систему координат О'х'у'з', З~ В. А. Ильин, Г. К. Кузинн 338 Оптимлльнов ыАнкВРНРОВлник в тОнких слоях !Рл ч! чп! Будем откладывать его из Качи ! системы координат О'х'у'з'.
В процессе движения конец этого вектора опишет некоторую, вообще говоря, пространственную кривую Г— годограф вектора ч('!). Метод доказательства с использованием годографа воктора ч(1) применялся В, М. Шурыгиным (1960 г.) для определения оптимального управления при плоском движении в однородном поле тяготения. В соответствии с равенствамп (8.'1.23) и (8.3.1) длина кривой Г равняется 1.
Каждая кривая Г определяет закон изменения управляющего ускорения а(!). Будем далее рассматривать только такие кривые Г, для которых выполняются условия (8.1.20) и условия, налагаемые на а(г), огранпчпвающпо скорость движения ко!ща вектора ч(!) по кривой Г. Решение рассматриваемой вариационной задачи определяется той и; этих кривых, которая имеет наименьшую длину. Обозначим через Ги проекцию кривой Г па плоскость У. Если для кривой Г выполняются условия (8.1.20), то они также выполняются и для ее проекции Гв.
Для того чтобы в этом убедиться, достаточно векторные равенства (8.1.20) спроектировать на плоскость 6' и учесть то, что компонента вектора а(!) по нормали к плоскости Ьг никак не влияет на выполнение условий (8РЬ20). Точно так жо обстоит дело с ограничениями, калагаемымп на а(Г). Дл!Ню кривой Гв всегда не более длгшы кривой Г. Позтовгу минпмзл;- ное значение Удостпгаетсядлякривых,расположенных в плоскости П (Г. Е. Куамак, В. К. Исаев, Б. Х.
Давидсон (11). Таким образом, доказано, что при оптимальном пространственном движении вектор а(Г) расположен в плоскости У, сохраняющей свою ориентацию в пространстве. Рвс 8.3. ! оси которой параллельны осям системы Охуз, а начало совпадао с движущейся точной (рис. 8.3.1). Будем предполагать,что извес ны неколлинеарные векторы Йг(у') и !АЧ(Т). Отложим их от начала 7 системы координат О х у'з и проведенную через них плоскость обозна чим буквой Гг. Докажем, что при оп тимальном управлении, минимизиру ющем интеграл 1 и обеспечивающем выполнение условий (8.1.20) и пе равенства (8.1.24), вектор управляющего ускорения а(!) при 0 ~ ! с Г располагается в плоскости с!.
Введем в рассмотрение вектор ч ( !) с помощью форъгулы во — = а (!). 1зз) сведннпе злдлчи к злдлчлм меньший Рлзмкзности 939 8.3.2. Правило для определения ориентации плоскости упвления. Из доказанного в предыдущем разделе следует, что в оцессе движения вектор а(г) остается параллельным плоскоти У, имеющей неизменную ориентацию в пространстве. Эту лоскость далее будем называть плоскостью управления.
Ее оринтация определяется векторами Лг(Т) и ЛЧ(Т), откладываемыиз какой-либо фиксированной в инерциальном пространстве очки. При неколлинеарных векторах Лг(Т) и ЛЧ(Т) построеная таким образом плоскость определяется однозначно и паралельна перемещающейся поступательно плоскости управления К При известной ориентации плоскости управления задача об оптимальном управлении пространственным движением сводится к плоской задаче.
Чтобы зто сделать, плоскость Оху'системы координат Охуз следует выбрать параллельной плоскости управления. При такой ориентации системы координат проекция траек!тории на плоскость Оху должна удовлетворять условиям (8.1.20), ограничениям на а(г), где все входящие в них векторы являются двумерными, и минимизировать нптеграл Т. Движение же точки в направлении оси з, перпендикулярной к плоскостиуправления, определяется проекцией вектора гз(1) на зту ось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
