Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 63
Текст из файла (страница 63)
(8.5.20) ", Отметим, что этот результат справедлив в предположении о песувществеппости влишшя возможного различия в коэффпцпептах ! а„! = О, 1, 2, 3, входящих в формулы (8.1.12) п (8.1.13), па на;.!чальной и конечной орбитах. ! Из равенства (8.5.20) следует, что векторы Лг(Т) п ЛЧ(Т) ' коллинеарвы в следующих случаях: 1) Лга — — О, 2) ЛЧо = О, 3) ЛгоПЛЧо (8.5.21) ' Случай Лгэ = 0 соответствует переходу между орбитаъги, имеющими точку пересечения; случай ЛЧэ = 0 — переходу между орбитами, у которых в некоторых точках совпадают векторы ско' рости. Третий случай, когда Лгэ~~ЛЧм представляет собой обобщение первых двух. В этом случае, в частности, может быть как Лг(Т) = О, так н ЛЧ(Т) = О.
В заключепие заметим, что из равенства (8.5.20) прн указанных в процессе его вывода предположениях следует, что коль скоро коллинеарность векторов Лг(Т) и ЛЧ(Т) имеет место при каком-либо одном значении Т, то опа имеет место п прп всех остальных ого:шачениях. а 8.6. Линеаризованное решение 8.6.1.
Постановка задачи. Основные соотношения. Пусть известно некоторое оптимальное решение, соответствующее вектоРам Р~ = Р4м Ръ = Рю. Тогда с помощью лнпоарпзацпп можно аналитически найти все оптимальные рсшсппя, расположенные в его окрестности. Они могут быть положены в основу системы коррекции траектории, обеспечивающей возвращение пз возмущенного состояния в поминальное оптимальным образом. Итак, положим Р~ = Р~о + бр, Рв = Ръа+ бр! (8.6.1) где бр„, бръ — малые величины, стар!ними степенями которых моя"но пренебречь. Номинальные значения векторов Р~ = Р~э, Ръ = ръэ соответствуют номинальным значениям векторов конечного промаха Лг = = Лго, ЛЧ = ЛЧо и параметров т, = та и Т = Та Возмущен пые значения векторов конечного промаха определяются формула, ами Лг = Лгз+ 6Лг, ЛЧ = ЛЧз+ 6ЛЧ, (8.6.2) где 6Лг и 6ЛЧ предполагаются малыми одного порядка с бр„ Основное внимание будет уделено линеаризации граничнь,, условий (8.4.2), (8.4.3) и условий оптимальности (8.4.9), П и этом с целью сокращения вычислений время перелета Т и пара метры т; будут считаться равными их номинальным значениям Получим две вспомогательные формулы.
Пусть Ь вЂ” некоторы;,; вектор, номинальное значение которого равно Ьо, а возмущенное равно Ьо+6Ь; пусть, кроме того, ! — его орт. Вычислим 6|Ъ| и бй Сначала выведем формулу для 6|Ь|. Имеют место равенства |Ь!з =- Ь', |Ь„! 6|Ь| = (Ь,р 6Ь), (з = ! |, (8.6.3) где (с — номинальное значение Ь Комбинируя зти выражения, приходим к следующей формуле для 6|Ь |: 6|Ь| = ((з, 6Ь). (8.0.4) Эта формула имеет простой геометрический смысл: прирап!юше модуля вектора с точностью до малых второго порядка равняется проекции приращения вектора ча его номинальное направление.
Вычислим далее бй Исходя из определения этого вектора н используя формулы (8.8.3) н (8.6.4), получим (8.6.5) Введем в рассмотрение орт )и перпендикулярный орту !ю. Имеет место равенство 6Ь = (1с, 6Ь) (а + (!о 6Ь) )о, (8.6.6) с помощью которого формулу (8.6.5) можно преобразовать к бо- лее компактной форме: 6' = | 3о ! |ь„!) 3о. (8.6,7) Это равенство, так же как и равенство (8.6.4), допускает слоду ющую геометрическую интерпретацию: векторы 6! и !з парач лельпы, а |6!| представляет собой угол между векторами Ьз и Ьо + 6Ь, который с точностью до малых второго порядка равен проекции вектора 6Ь па направление вектора )з, отнесенной к |Ьз!.
В рассматриваемой задаче вектор Ь определяется формулой (8.4.10). Соответственно, если зафиксировать значение $, прирз або оптимлльнон млнквгиговлннв в тонких слоях Юл л. тп, ЛИНБАРНЗОВАПНОЕ РВШЕЫИЕ О О.О1 35'х 1выкл 1выкл 6 ~ Кнтаххс(вь ~ = 6Лг, 6 ( ~ Татах1О(вь = 6ЛУ (8 6 9) 1вкл ~вкл l При переходе от номипальпого режима к возмущенному моменты времени 1,„„и Г. ва изменяются: Овна = Гвкл, О + 6|вал Саыкл = Гвыкл, О + Мвыкл (8 6.10) В соответствии с (8.4.9) С„вл и 8„„вл являются корнями уравнения ~Ь(Т, 6)( (8,6.11) 1вынл Варьируя обе части этого уравнения и используя при этом фор- мулы (8.6.4) н (8.6.8), получим уравпения для й,„л и й,„ка: [[ —,: ' —, 1 Гдя .
дб [ да (Рко 1О) + д (Рзо 1О)1 бгв«л + К(бра 1О) + выкл +Т (брв,вв)~, П,кл О =О. Ввынл, О (8.6.12) Отсюда следует, что изменение длины активного участка определяется проекциями векторов бр„и бра на номинальное направление тяги!а. Векторы бр и бра определяются уравнениями (8.6.9) . Для того чтобы в этом убедиться, необходимо проварьировать интегралы в левых частях уравнений (8.6.9) в воспользоваться формулами (8.6.7), (8.6.8) н (8.4.10).
В результате условия (8.6.9) можно записать в виде (К (К + ы бг тах О)ь=~выкл,а выкл атаххо)а=1вкл ОЛГвкл ~выкл,з + ~ ((бр ) )Кв+ (6РО, ЫКТ) — „",),Ж = 6Л ~вкл, О (8.6.13) щепие ого прн переходе от номинального режима к возмущенному записывается так: 6Ь = К(Т, $) бр«+ 1(Т, $) бра. (8.6.8) Как было показано выше, возможны два режима оптимального управления величиной тяги: режим с одним активным участком и режим с двумя активными участками, примыкающими к концам отрезка 0 ~ $ ( Т. Рассмотрим далее режим с одним активным участком. Обозначим через 1,в„и 1,„,„соответственно моменты включения и выкщочения двигателя.
Для этого режима линеаризовапные граничные условия (8.4.2), (8.4.3) можно представить в виде Зйх ОПТНМАЛЬЫОВ 31АНКВРНРОВАННВ В ТОННПХ СЛОЯХ (гл. Рзц (~оп(ах[О)$-.-( ык . О акына (Го~пах[О)1 =.(вкл ОЬГвкл + (выкл,п + ) ИЬР„, 1,) ЬК+ (Ьрю т,) ьа[ — „'",[,3з = ЬЬ т, [ о[ (вкл,п (8.6.13) где [ЬО[ ='= 7 К Рпп+ ~'"РГО+ 2КВ(рап Раа)' (8.6,14) [(Ко~ах)О=( .
ОЬ(~ынл (Каппах) Ь~~кл[ [в + -[- [1кк(ЬР )О)+1ль(ЬРР,[в)[)О=- Ьйг ~ Г (ОД ., (О( ((а...,а-п п„азами.ып. — (а....а),=...,,аа..( |, ~- + [хьь (Ьра 1О) + льь(ЬРР ав)[ав = Ьс(т где (вынл,п К ап(ах ,(ОД (вкл,п 'вынл,п (8.6.16) (выкк,п [ь,[ КЬап, [ "а[ х(О> ахАЬ = (вкл,з (впл,п Заметим, что в рассматрнваемом случае векторы рап и рвп коллинеарны н [ЬО[ (см.
(8.6.14) ) представляет собой линейную комбинацию функций К н х.. Это обстоятельство позволяет интегралы (8.6.16) вычислить аналитически. Выражая здесь И,кл и Ь1,ыкл через Ьр н Ьрвс помощью (8.6.12) и проектируя уравнения (8.6.13) па некоторые фиксированные направления, получаем системы скалярных уравнений для четырех компонент векторов ЬР„ и Ьрв. Если при переходе от поминального режима к возмущенному помимо векторов р„и рв варьируются также параметры т, и Т. то в (8.6.13) появляются дополнительные слагаемые, содержащ: О вариации ЬТ н Ьтп Если зтн вариации необходимо определить оптимально, то соотношения, замыкающие (8.6.13), (8.6.14), получаются в результате варьирования условий трансверсальнсстп. Пусть теперь в номинальном режиме ориентация тяги не н.(- меняется — существует прямая управления. Прн таком предположения !О и 1Π— постоянные векторы, что существенно упрощает систему (8.6.13) и позволяет ее записать в виде ззз линелРнзозлнног Ре1аеш1Е > 8.8> Для получения скалярных уравнений спроеятнрусч векторные равенства (8.6.15) на направления векторов >О и )О В результате получим две зависимые группы уравнений.
Система уравнений для определения вариаций бг,„„и бг,на ° (хь>гьнах)ь=>вьп<л,абгви"л (~львах)а=>внл Обгв "л (6ЛГ' 18)~ (8.6.17) (Тльлах)О=>в ил Обгвьпьл (Таьлах)О=1ьнл Обгвнл '= (6ЛЧ~ 18) Система уравнений для определенна (бр„, )О) и (брь, )О)1 Тки(бр )О)+ 1)1ь(бра ОО) = (бйг ЯО) Ткь(бр )~)+ Ти (бра 1~) =(бЛЧ 1О), ) Решения системы уравнений (8.6.18) позволяют определить изменение ориентации тяги. Выражение для 61, согласно (8.6.7) и (8.6.8), имеет вид (Ьрп, 1„) 1Г Я> + (Эра, >ь) Ь Я) ~Р„Д(б)+ ра,ь(2)~ Зависимость К и Ь от Т здесь не указана.
Исключая пз этой формулы решения системы (8.6.18), выражение для 61 можем записать в форме ) 1ьль>к(8) — 1)81>ьд 11>О> 118> 11о>г~ ~ >р к(О) >.р ь(О)~ (»О) 1 1ккб (ь) 1>хь (8) + (-), Д)~ (6ЛЧ,>О)~ (8.6 20) Таким образом, при линеаризацин в окрестносгп прямой управления изменения моментов включенэя и выключения двигателя определяются проекциями бЛг и ЛЛЧ на номинальное направление тяги, а изменение ориентации тяги определяется проекциями бЛг н 6ЛЧ на направление, ортогональное к нему. Характер зависимости 61 от времени $ оказывается различным для разных задач с прямой управления. Нетрудно показать, что в задаче о перелете в точку (дан Лга, ЛЧО произволен) Й является функцией, близкой кдробно-линейной функции времени; в задаче же о повороте вектора скорости (дан ЛЧ„а Лга произволен) 61 оказывается функцией, близкой к линейной.
8.6.2. Решение для малого угла между векторами конечного промаха. В качестве примера приложения результатов раздела 8.6.1 найдем оптимальное управление при малых значениях угла е между векторами Лг и ЛЧ. Проведем плоскость через векторы Лг и ЛЧ и в этой плоскости прямую и с ортом 1О, составляющим угол О) с вектором Лг. Перпендикулярно орту 18 проведем орт 1> 23 в, л. ильин, Г. е. куаиав 354 ОНТПМАЛЬНОВ ЫАНЕВРИРОВАНИВ В ТОНКИХ СЛОЯ' [ГЛ - Ч!Н '(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
