Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Поясним этот результат на примере однородного поля. В этом случае момент выключения двигателя определяется формулой (9.1.8). Рассмотрим зависимость д,„кв от Т прп Ьг(Т) = сопз$. Из формулы (9.1.8) видно, что в этом случае д,ыкв с увеличением Т монотонно убывает. Зависимость Г„„кл от Т, построенная с помощью формулы (9.1.8), изображена на рис.9.1.2. Этот результат имеет место и в общем случае однородного центрального поля тяготения при условии (9.1.21), что следует из жесткАя ВстРечА 9 9.!! дК уравнения (9.1.1), ибо при —, ) 0 и 11г(Т) = сопзФ возрастание Т приводит к увеличению подынтегрального выражения и, следовательно, промежуток интегрирования может быть уменьшен.
Ясно также, что если бы с возрастанием Т функция 11г(Т) ВВ .ЗР 27!! Гям Рнс. 98.2. уоывала, то одновременно уменьшалось бы время работы двигателя. Таким образом, минимум у зависимости г, „„„от Т может быть только в случае, когда зависимость Ьг(Т) имеет такие интервалы изменения Т, на которых она является монотонно возрастающей функцией. Из сказанного следует, что определение оптимального значения Т существенно связано с характером зависимости Лг(Т). Рассмотрим случай, когда движение летательного аппарата, с которым организуется встреча, и свободное движение летательного аппарата, закон управления которым определяется, описываются формуламн (8.2.11) для однородного поля тяготения: ят г1(Т) г10 + У1 Т + 2 (9 1.24) 362 задачи млнввгиговьнпя в тонких слоях 1гл. зх Соответственно формула для вектора Ьг(Т) записывается в виде Ьг (Т) = Ага + ЬЧаТ.
(9.1 25) Здесь Ага = гю — гаа, ЛУа = Ч~а — Уаа — векторы, определяющие различие в координатах и скоростях летательных аппаратов при г=О. Характер зависимости йг(Т), очевидно, связан с взаимным расположением векторов аъга и КЧа Если эти векторы обоазуют 1стя А.а0 в. я вк л;г зб зйт а/ Рзс. 9.1.3. между собой острый угол, то из рис. 9.1.3,а ясно, что Аг(Т) при всех значениях Т возрастает с увеличением Т, Если же угол между векторами йга и йЧа тупой (рис. 9 1.3, б), то Ьг(Т) при увеличении Т сначала убывает до некоторого минимального значения Ьг „, а затем монотонно возрастает. При больших значениях Т величина вектора йг(Т) определяется формулой Ьг(Т) ж ЛуаТ. Представим себе качественный характер зависимости г,„„„от Т, данной формулой (9.1.8). При очень малых значениях Т ота формула дает комплексные значения для 1,„„„что соответствует отсутствию решения.
Лишь при Т ) )Т оя где Т ы является наименьшим действительным корнем уравнения а г' йг(Т)! (9 1.27) возможен перелет с рассматриваемыми граничными условиями. Заметим, что в общем случае уравнение (9.1.27) может иметь несколько корней. Так, например, в случае, копка вектор Ьг(Т) определяется формулой (9.1.25), это уравнение может иметь от одного до трех действительных положительных корней.
В последнем случае при Т ) )Т „ существует конечный интервал аначений Т, на котором рассматриваемая задача не имеет решения. Покажем, что оптимальное значение Т = Т„а всегда больше, чем Т,„. Вычислим производную а11,„„,'1оТ, основываясь на ЖЕСТКАЯ ВСТРЕЧА З Эл! 363 равенстве (9.1.8): Ц( в 2аг(Т)1 Швынл Вынл (9 1.28) ет 2аг(Т) 21г Т' —— шах Так как Тх возрастает быстрее, чем Лг(Т), при Т, близких к Т „, то ясно, что при Т, стремящемся к Т „+ О, производная, стоящая в числителе второго слагаемого, положительна. Из этого следует неравенство И вынл ла Т 'тш1в гн г(Т (9.1.29) Таким образом, в малой окрестности Т,„при увеличении Т величина 1,„„, всегда убывает.
Это значит, что оптимальное значение Т всегда больше, чем Т,„. Выясним далее, к чему стремится г,„„л прн Т, стремящемся к оо. Воспользуемся для этого выражением (9.1.26) для Лг(Т), которое является тем более точным, чем больше значение Т. Для вычисления искомого предела перепишем выражение (9.1.8) для а, „„в следующем виде: 2аг (Т) шах гг юг(Т) т+1, Т вЂ”, вшах (9.1.30) Отсюда с использованием равенства (9.1.26) сразу получается искомый предельный результат: ада Пааа авынл— т вшах Таким образом, при больших значениях Т величина характеристической скорости Т= а „(,а„ы (9.1.32) определяется главным образом различием между векторамп скоростей обоих летательных аппаратов в момент Ф = О.
Этот факт характерен не только для рассмотренного предельного случая,но и для целого рндз других задач астродннамики. Этот класс задач отличается тем, что в нем величина вектора Лг(Т) в основном определяетсв воллчппой вектора Лага. Приведем некоторые численные оценки. Пусть Лга = 100 000 за, ЛТ"а = 6000 м/сек, Т = 200 сек, задачи млнквгиговлнпя в тонких слоях !г-~ ах что является достаточно характерным для задач выведения. В этом случае Лг ЛР аТ (9 1.33) п можно считать, что Ага « й ахаТ. (9.1.31) Прп паличии такого неравенства для всего практически важного диапазона значений Т приближенно выполняется равенство (9.1.26) .
При таком предположении можно выяснить все особенности зависимости 1,„„, от Т вовсемдиапазонеизменения Т от Т = Т,„ до Т = со. Вычислимсначала Т ~ . Из уравнения (9 1.27) имеем Т (9.1.35) мах Прп Т = Т„,„, в соответствии с равенством (9.1.8), величина г.а,, определяется формулой (9.1.36) атах ( (г — — ) ~~выкл 1 ~ атах l ит а 2ь кот У Т вЂ”, шах (9 1.37) Можно показать, что правая часть этого равенства не равна ну- лю.
Из этого, а также из результатов, полученных выше, следу- ет, что '",","." < О (9.1.38) при Т ~ (Тты, оо). Хаким образом, при всех допустимых значениях Т в рассматриваемом случае зависимость г,а„а от Т имеет монотонно убывающий характер.
Для рассматриваемого случая, очевидно, по-прежнему имеет место предельный результат (9.1.31). Сопоставляя этот результат с формулой (9.1.36), получаем что за счет увеличения Т можно уменьшить величину характеристической скорости по крайней мере в два раза. Для того чтобы показать, что значение 1,„„, нельзя выбором Т уменьшить еще более, очевидно, достаточно установить, что зависимость г',„„, от Т при Те= 1Т „, со) имеет монотонно убывающий характер. Выпишем с атой целью выражение для производной й,аа,(ЮТ. Обращаясь к формулам (9 1.28) н (9.1.26), имеем ЖЕСТКАЯ ВСТРЕ'1А ЗГ>5 $ 9.1) Заметим, что формула (9Л.ЗО) позволяет также решить вопрос о минимизации характеристической скорости перелета 1 с помощью выбора величины а „. Из этой формулы видно, что величина 1, определяемая выражением (9.1.32), является монотонно убывающей функцией от а .
Чем больше а „, тем меньше значение 1. Отсутствие минимума у зависимости саы от Т не является общим правилом. Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим случай, когда величина активного участка С,„„, мала по сравнению с полным временем движения Т: с аыкл ~» 1 т (9.1 39) Данная ситуация имеет место, когда величина располагаемого ускорения а „„велика н реализуется нвазиимпульсная схема движения. В соответствии с формулой (9.1.30) условие реализации этого случая может быть записано также в виде Дг (т) ((1 (9Л.40) ашахт' Если пренебречь квадратом Сы„„(Т по сравнению с первой степенью атой величины, то выражение (9.1.30) для с„,„л может быть записано в аиде Схг (Т) Свыкл г ° шах (9.1.41) С использованием этого выражения формула (9.1.41) ДлЯ Сакка москет быть написана в виде Свыкл= —, ~гг С1гоф+2(11го Лро) у +й)го (9143) ошах Минимальное значение этого Выражения достигается прп Лго "о 991 (Ьго, л'г' ) лго (9Л.44) Физический смысл имеют лишь значения Т„, ) О, получающиеся при условии (Ьго, сх'хСо) ( О, (9,1.45)' Чтобы иметь возможность проанализировать зависимость этого выражения от Т, выпишем выражение для Ьг(Т).
Из формулы (9Л.25) имеем Лг(Т) = )l Лго~+ 2(ЛТ„ЛЪ'о) Т+ ЮоТ9. (9Л.42) 366 ЗАДАЧИ МАНЕВРИРОВАНИЯ В ТОНКИХ СЛОЯХ сгл. сх т. е. тогда, когда угол между векторами саго и ЛУо тупой и зависимость Ьг(Т) имеет минимум (см. рис. 9.1.3). Если эта зависимость минимального значения не имеет, то минимальное значение ~,„,„, так же как и ранее, достигается при Т.„, = со и определяется формулой (9.1.31).
При наличии минимума у зл сора) ВИСИМОСТИ СХГ(Т) НаИМЕНЬШЕЕ ЗНаЧЕНИЕ а ыка ~выссл Онродсаяется формулой 1»ыкл — зсп (саго~ са ыо). Со»СС Луа оспах (9 1Ас)) Сопоставляя это выражение с формулой (9.1.31), можно заключить, что минимальное значение 1,„„„, достигающееся прп Т,„„ может быть заметно ниже, чем значение г,„„„которое достигается при Т = со. Приведем далее формулу для отношения 1выклс'Торс. ИспольСорхс зуя формулы (9.1.44) и (9.1.48), сможем написать — — зсп2(йго Луо) (91 47) ТорС алсахасо С использованием этого равенства условие реализации только что рассмотренного квазннмпульспого случая движения может быть записано так: йс ю/2 (з1В2(Лго Луо))((1.
(9.1.48) осрахасо Отметим, что это условие выполняется, в частности, в случаях, когда векторы Лго и с»Чо антиколлинеарны или взаимно перпендикулярны. Независимо от направления этих векторов условие (9.1.48) всегда выполняется, если «кинетическая энергия» ЛЮ2много меньше «потенциальной энергии» а „саго.
Выше была детально рассмотрена задача об определении оптимального значения Т в наиболее простом случае, когда движение происходит в однородном поле тяготения и движение летательного аппарата-цели является неуправляемым свободным движением. Приведенный анализ показал, что рассмотренная задача имеет достаточно большое количество интересных особенностей. Эти особенности следует иметь в виду и в более сложных случаях задания вектор-функции гс(Т). Определение характера зависимости г.ыкк от Т в общем случае следует производить с помощью численного расчета по формулам (9.1.8) илн (9.1.10) илп непосредственно с помощью исходного уравнения (9.1.1). 9.1.3.
Оптимизация положения летательных аппаратов в момент начала управления. Рассмотрим далее задачу оптимального определения произвольных параметров, от которых моясет завп- зад 367 жБсткАя ВстгвчА сеть вектор конечного промаха Лг(Т). Если от этих параметров не зависят одновременно функция влияния К(Т, $) и максимальная величина управляющего ускорения а (З), то из уравнения (9.1.1) вытекает простое правило для минимизации момента выключения двигателя г„,„п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
