Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Угол Ью„который они образуют в точке пересечения, определяет продолжительность пассивного участка, разделяющего активные участки с противоположяыми направлениями управляющего ускорения а(г). Построенная таким образом кривая определяет оптимальное решение, позволяющее достигнуть конечных точек, расположенных во П и 111 квадрантах. Таким образом, рассмотренный режим оптимального управления весьма существенно расширяет область возможных значений Ьг(Т) и Ю(Т), прн которых имеем решение рассматриваемой задачи. Более детальный анализ возможных расположений кривых в указанной плоскости показывает, что при Т ( я/2 никаких других режимов оптимального управления, кроме рассмотренных, не существует.
Этот результат согласуется с результатами $ 8.5, вде анализ возможных режимов оптимального управления был проведен с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина. 9.3.3. Решение задачи для еднородного центрального поля прн Ьг„=О. Перейдем к аналитическому решению задачи, сформулированной в начале предыдущего раздела, в предполо1кении, 884 3АдАчи ИАнеВРиРОВАння в тонких слоях 1ГЛ. 1Х что а „(г) = сопзе.
Снова рассмотрим сначала режим оптималь ного управления с одним активным участком. Для этого режима граничные услевия (9.3А6) после вычисления интегралов могут быть преобразованы к следующему виду: А1а Ьг (Т) 2 Я1 и —,' Я1п (Т вЂ” (, „, ) == —, 2 атал Ьг (Т) 2 Я1П вЂ”,' СОЯ (Т вЂ” (а ар ) 2 а~пап (9,3.26) Здесь через Таа, снова обозначена продолжительность активпого участка, а через ~„р — положение его середипы. Эти обозначения поясняются на рис.
9.3.4. Решение системы уравнений (9.3.26), АУ', ' ра г' Т Л(а Рлс. 9.3.4. АгУУЭ РА имеющее физический смысл, так же как это было в случае однородного поля, должно удовлетворять неравенствам (9.3.5). Область допустимых значений М, и ~„р изображена на рис. 9.3.4 и представляет собой внутренность треугольника АВС.
Отображение границ этой области на плоскость параметров Лг(Т)/а„„„, ЬЪ (Т)(а,„может быть получено с помощью равенств (9.3.26). Сторона АС, на которой М, = О., переходит в начало координат. Стороны же АВ и ВС переходят в дуги окружностей, параметрические уравнения которых могут быть записаны в виде: Уравнение окружности, соответствующей стороке АВ: — = — СОЯ Т + СОЯ (Т вЂ” Ма), Лг (Т) п1а а а (т) — = яш Т вЂ” я1п ( Т вЂ” Л1а). пм» (9.3,27) колл1п|елРные вгктОРы ЕОнечного пРО|1лхл 385 Центр этой окружности располагается в точке Е (см. рпс. 9.3.6), имеющей координаты ( — соз Т, зьп Т), а радиус равен единице.
Прп нзмене|шп Т точка Š— центр окружностп — в свою очередь перемещается по окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Уравнение окружности, соответствующей стороне ВС: Лн',т, — ' — 1 — соз Л1а, 'ных лг (т~ — = з1п Лга. ~ила (9.3.28) [ — '-~~~~ = 1 — соз Т, (9.3.29) ] = з|пТ. Расстояние Ва от начала координат до точки В' равняется Вв = 2з(п (9.3.30) Прп изменении Т точка В' перемещается по окружности с центром в точке С (см. рис, 9.3.6) и радиусом, равным единице.
Проведенный анализ позволяет построить области существования оптимального решения с одним активным участком в координатах Лг(Т))а, ЛУ(Т)(а „. Такие области построены на рис. 9.3.6 прн различных значениях Т. Видно, что при уменьшении Т области существования быстро уменьшаются. При малых Т получающиеся области соответствуют решению аналогичной;ыдачн для однородного поля тяготения, которое определяется 1 еравеястзамп (9.3.7). С помощью формул (9.3.26) нетрудно указать уравнения семейств линий Лг, = сопзФ и 1„н = сопзн Семейство линий Л|а = сопз1 представляет собой дуги окружностей с центром в начале координат и радиусом, равным 25 З Л Ильин Г Е. Кгаьььн Центр этой окружности располагается в точке С (см.
рис.9.3.6) с координатами (1, О), а радиус равен единице. Эта окружпость не зависит от Т. Влияние же Т проявляется лишь в том, что при различных значениях его в качестве границы используются раз~личные части окружности. Таким образом, треугольник АВС на 'рис. 9.3А при отобран<енин с помощью преобразования (9.3.26) 'переходит в чечевицеобразную область А'В'С'. Нетрудно убедить'ся, что при таком преобразовании внутренние точки треугольника АВС переходят во внутренние точки области А'В'С', Приведем еще значения координат точки В'. Этой точке соответствует значение Лг, = Т, и из формул (9.3.27) получаем злдлчи млнвврировлния в тонких слоях шч. сх Ыа 2яш —,а.
Семейство линий Саар = сопя1 представляет собой се 2 мейство прямых, выходящих изначала координат и составляющих угол, равный (Т вЂ” С, „), с осью ординат. Физический смысл имеют части указанных линий, располо женные внутри области существования. Семейства линий лс„— = соня1 и С...
= сопяа, имеющие физический смысл, изображе ны на рнс. 9.3.4, 9.3.7, 9.3.8. Проведенные рассуждения позволяют получить выражение для бс,: 2 а — ' = р' ( — '~) «- ( (9.3.31) Интересно отметить, что ЛС, не зависит явно от продолжительности движения Т. Зависимость от Т проявляется только через посредство Лг(Т) и саУ(Т). Нет явной зависимости от Ттакже у Т вЂ” ф— времени движения от середины активного участка до конечного момента времени с = Т. Для этой величины нз (9.3.26) получается формула Лг (Т)сашаа 10(Т вЂ” Саар) = ар(Ту шаа (9.3.32) откуда и следует это утверждение. Влияние же параметра Тсказывается на размерах области существования решения и на длительности пассивного участка, с которого начинается движение.
Перейдем далее к анализу режима оптимального управления с двумя активными участками, на которых направления управляющего ускорения а(С) противоположны. Для этого случая граничные условия (9.3.16) при а „,(с) =сопя1 могут быть преобразованы к виду 2 соя — "соя(Т вЂ” с„,р) = + 1+ соя Т, лс„ Лг (Т) 2 вшах (9.3.33) Лс„ ЛР (Т) 2 соя — ясп (Т вЂ” Саар) = — + ясп Т. 2 вшах Здесь снова через Ас„обозначена продолжительность пассивного участка, разделяющего активные участки, а через С „— положение его середины.
Эти обозначения поясняются на рнс. 9.3.5. Полученные равенства (9.3.33) по виду очень близки к равенствам (9.3.26) для случая одного активного участка. Основное отличке (9.3.33) от (9.3.26) состоит в том, что в них входят параметры, характеризующие пассивный участок, вместо параметров актнзного участка, которые использовались ранее. Условия существования рассматриваемого режима управления определяются нера- з зл1 КОЛЛИНЕАРНЪ|Е ВЕКТОРЫ КОНЕЧНОГО ПРОМАЕА 387 венствами (9.3.10), выражающими собой факт существования пассивного участка внутри промежутка 0 ( ~( Т. Значения параметров хат и т,„, удовлетворяющие неравенствам (9.3ЛО), располагаются внутри треугольника А'В'С', изображенного на зрим Отаг Рвс. Н8.7.
Лх (Т) = — (1 + соз Т) + 2 соз (Т вЂ” гаар), ааааа АР (т) = з1п Т вЂ” 2 з1п (Т вЂ” Га ар). ахах (9.3.34) Центр этой окружности располагается в точке Р (см.рис.9.3.6) с координатами ( — (1+соз Т), з(НТ), а радиус равен 2. Приизменении Т точка Р в свою очередь перемещается по окружности с центром в точке Г' с координатами ( — 1, 0) и радиусом, равным единице.
28" рис. 9.3.5. Отображение этого треугольника на плоскость параметров ЬГ(Т)~а, М'(Т)~а „с помощью (9.3.33) позволяет получить область существования рассматриваемого режима оптимального управления. Все стороны треугольника А'В'С' переходят в дуги окружностей, параметрические уравнения которых приведены ниже. Уравнение окружности, соответствующей стороне А'С': эздхчп мзнввгнговлнпя в топких слоях Уравнение окружности, соответствующей стороне А'В': игл. 1в — = — 1 + сов (Т вЂ” Л1а), л (т) мах — = — з1п (Т вЂ” Л Ц.
лг (т) "мах (9.3.35) Центр этой окружности располагается в точке Р (см. рис.9.3,6), а радиус равеп единице. При измененнп Т зта окружность пе лэменяется, изменяется лишь величина ее дуги, используемой в качестве границы области существования решения. Уравнение окружности, соответствующей стороне В'С'. Лг (Т) = — соеТ+ сов Лг„, амах (9.3.36) м. <т) = ехп Т вЂ” зш Лх„.
мах Зта окружпостьь очевидно, совпадает с окружностью, описываемой (9,3.27), определяющей границу существования оптимального рескина управления с одним активным участком. Таким оогэ зом, эта окружность является границей, отделяющей область «у. ществования режима оптимального управления с одним актпвнын участком от области существования режима управления с двумя активными участками. Равенства (9.3.34) — (9.3.36) позволяют построить область существования оптимального режима управления с двумя активными участками. Зта область изображена на рис. 9.3.5. Буквами А", В" п С" обозначены точки, соответствующие вершинам треугольника А'В'С'. Выпишем выражении для координат точки А".
Зта точна соответствует ~„, = О и Л~, = О. Основываясь на (9.3.33), получим — = — 1+ сов Т, 1-= Лг (ТП „атах вт [ ~ = — з1пТ. (9.3,37) Сопоставляя эти равенства с (9.3.29), можно заключить, что точка А" пмсет координаты, отличающиеся липхь знаком от коордгнат точкп В'. Пэ этого, в частности, следует, что т Ва" = Вв' —— — 2з~п —,, где через Вл- обозначено расстояппе от точки А" до начала координат.
КОЛЛННЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ КОНЕЧНОГО ПРОЗ1АХА 389 а ззл Выпишем далее вырая1ония для коордипат точки С". Для атой точки Г, „= Т и Л1, = О, с учетом чего из (9.3.33) имоем (9.3.39) Из сопоставления этих равенств с (9.3.29) видно, что зта С" совпадает с точкой В'. Области существования оптимального решения с двумя активпыми участками, примыкающими к концам промежутка 0 <~ < Т, с противоположным направлением а(1) знп Ряс.
9.3.8. на них построены на рпс. 9.3.6 при различных значениях Т.Так же как и ранее, с увеличением Т зги области быстро увеличиваются, по мере же уменьшения Т построенные здесь области превращаются в области существования решения с двумя активными участками для случая однородного поля тяготения. Равенства (9.3.33) позволяют также построить семейства линий ЛГ, = сопзс и 1„„= совет.
В рассматриваемом случае семейство линий ЛГ, = сопз1 представляет собой семейство окружностей с центром в точке В (см. рис. 9.3.6) с координатами( — (1+ ~1п + соз Т), зш Т) и радиусом, равным 2 соз — „. ЗАДАЧП МАНЕВРИРОВАНИЯ В ТОННИХ СЛОЯХ 999 ! Рл. ?х Семейство же 1, „= сопе1 представляет собой свивку и прямых, пРоходЯщих чеРез точкУ Р с кооРдинатами ( — (1+ сов Т),;аТ' и,составлявзщих угол — (Т вЂ” р„) с положительным н и ар направлением оси абсцисс на рис. 9.3.5, а также на рис.
9.3.7, 9,3.8 агр) р раа а% Рис. 9.3.7. Семейства линий М, = сопзФ н г„р = сопзс изображены при различных значениях Т на рис. 9.3.5 н 9.3.7, 9.3.8. Там же указаны границы области существования. Величина интеграла 1 для перелетов с двумя актпвныия участками при а „,(а) =сопес определяется формулой г — Я,х(Т Лг,) (9.3.40) Выражение для М, получаем из (9.3.33): / Гар(т) гаг (т) 1з 9 3.41) 2соз — "-= 1 ~ +1+сов Т~ -з-[, -,'-з1пТ1. ррах КОЛЛИНЕАРНЫВ ВЕКТОРЫ КОНЕЧНОГО ПРОМАХА зм а аз! )4з этих же Равенств находим и Г,,р.' И (Т) — + ага Т ае(Т асср) — А — + 1+ соа Т шаа (9.3.42) Рпс. 9.3.8.
Ррафики, приведенные па рис. 9.3.4 — 9.3.8, вместе с формула- "" (9 3.26) и (9.3.33) дают полное репгение задачи синтеза оптимального управления при кочлинеарных векторах Лг(Т), ЬЧ(Т» о 'а(Г) = сопзс в рассмотренном случае однородного центрального го поля тяготения. Ц отличие от режима с одним активным участком, в рассматри- ваемом случае Лаа и Г, „явно зависят от Т. ЗАДАЧП МАНКВРИРОВАНИЯ В ТОН1 ПХ СЛОЯ'; 399 РРЛ, 1х $9.4. Перелет между произвольными пересекающимися орбитами для движения по конечной орбите— ята гт = гсо+ Чтот+ 2 ' Ч, — — Ч„+ д~. (9.4.3) Через д в этих формулах обозначен постоянный вектор силы тяжести. Обозначим буквами В и С точки соответственно па колеи ной и начальной орбитах (рис. 9,4.2), которые определяются формулами (9.4.2) и (9.4.3) в некоторьпт момент т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
