Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Заметим, что полученные выше формулы справедливы при з роизвольном законе регулирования тяги и могут быть нспольованы для построения системы управления траекторией перехоа между произвольнымн пересекающимися орбитами прп наличия возмущений в величине управляющего ускорения. Проведем далее вычисления для случая, когда а „(а) = сопя$. Из (9.4.15) имеем а * ямах я1п Т, Т, = ам„(1 — соя Т). (9.4.21) Используя эти равенства п (9.4.17), получаем я1п т пса 2 аюах (9.4.22) Равенства же (9.4.16) дают та(Т вЂ” т) = М вЂ”, т откуда, так же как и в случае однородного поля, т т= —, 2 ' (9.4.23) 'Таким образом, прп а„„,.(2) = солях траектория перелета по-прежнему симметрична относительно точки А на рис.
9.4.2. Этн же результаты можно получить по графикам рис. 9.3.4, на котором видно, что рассматриваемому случаю, когда активный участок адин и занимает весь промежуток 0 ~( Г < Т, соответствует точу ка В с М, = Т, 8а са = —, Выражения для безразмерных параметров гхг(Т)(а„„и ахГ (Т)/а „, откладываемых на осях координат на этом рисунке, имеют па основании (9.4.12) следующий внд: л.(т~ = Ля1пт, а1ах (9.4.24) лк (т1 = Л соя т, го ах гле (9.4.25) шах Эти формулы с помощью выражений (9.3.29) для координат точки В' дают получештые выше соотношения (9.4.22) и (9.4.23).
9.4.3. Сравнение перелетов с одним и двумя актнвнымп участками. Рассмотрим далее вопрос о всех возможных режимах управления прн а„„,(г) = сонэк Прп изменении т и фиксированном Л 9 9.П пвгвлкт мкждз ппэвсвклющимися огвптхмп 397 888 злдлчп млнввгиговлния в тонких слоях ~гл. зх соотношения (9.4.24) представляют собой параметрическое ураз пение окружности с радиусом Х. Угол т отсчитывается от ос„ ЬЬ'(Т)7а „по часовой стрелке (см. рис. 9.3.7). Из графиков приведенных на рис.
9.3.7, 9.3.8, и формул (9.3.30) и (9,3.38)' следует, что решение рассматривамой задачи существует лишь з случаях, когда выполняется неравенство лу, . т Л =- — ' ~( Лв =- Лл- = 2 з(п —,. тах (9 4.28) На рис. 9.3.7 видно, что при значениях Х, удовлетворяющих этому неравенству с запасом, возможны режимы управления как с одним активным участком, так и с двумя.
Режимы с одним активным участком на рис. 9.3.7 соответствуют дуге ар и отличаются от режима, рассмотренного выше, наличием пассивных участков по краям. Они имеют одну и ту я<е энергетику и одьн н те же моменты включения ивыключенпя двигателя. Такие режимы могут представить интерес при построении системы управленпя с точки зрения больших возможностей, связанных с обработкой информации о конечном промахе. Режимы с двумя активными участками соответствуют на рис. 9.3.7 дугам р7 и зб. Однако из расположения кривых Ьг,„= = сопзФ и Лг, = сопз1 следует, что эти режимы имеют большее значение 7, чем режимы с одним активным участком. В то же время с их помощью нельзя уменьшить время перелета Т.
Минимальное значение Т, очевидно, соответствует такому расположению кривых на рис. 9.3.7, при котором область существования столь мала, что ее крайние точки лежат на окружности с радиусом Х. Если бы Лл было больше Лв, то перелеты с двумя активными участками, соответствующие дуге зб, существовали бы при меньших значениях Т, чем перелеты с одним активным участком.
Но это не так. Из (9.3.30) и (9.3.38) видно, что Лл" = = Лв, и, следовательно, при а „(г) = сопзь перелеты с двумя активными участками не позволяют уменьшить время совершения маневра. Таким образом, в рассматриваемой задаче наибольший интерес представляют перелеты с одним активным участком. Онп выгоднее энергетически, проще для реализации, и, кроме того, д.~я нпх выше развита теория, применимая прп произвольном закс~ о регулирования величины управляющего ускорения.
В заключение настоящего параграфа укажем приморпый зсд траекторий перелета для всех рассмотренных выше режимов регулирования а(г). Выше было указано, что положительное поправление отсчета величин Ьг(Т) и йГ(Т) совпадает с напряг; лением а(Т) на первом активном участке.
Соответственно прп задании направления а однозначно определяются направления векторов Ьг(Т) и ЬЧ(Т). Чтобы анализ возможных режимов пе- а вп пеРелет между пеРесекАзощимися ОРБнтАми 399 влета был полным, необходимо рассматривать оба противопоожных направления вектора а. Формулы (9.4.24) для Дг(Т)(а Д)е(Т)7а„„получены при условии, что направление вектора (Г) на первом активном участке совпадает с направлением векора ДЧс.
При изменении направления а(1) входящий в эти ормулы угол т заменяется на угол я+т. Указанный анализ л выполнен, и его результаты в виде взаимного расположения аектории перелета н начальной и конечной орбит представлеы на рис. 9.4.3. При этом основное внимание уделено случа1о, когда ~т) ( я/2. Это условие обеспечивает выполнение маневра аааесааа аааеаааа аааеааае 4эе еа Рис. 9.4.3. в ркрестности точки пересечения орбит. Именно для этого случая изображены траектории перехода на рис. 9.4.3. Такое ограничение, накладываемое на значения т, связано с тем, что, как уже Указывалось, при больших протяженностях траектории точность модели однородного центрального поля может оказаться недостаточной. Случаи а) и б) соответствуют одному активному участку, случаи же в) и г) соответствуют перелетам с двумя активными участками.
В случае а) изображена траектория перехода, соответствующая дуге ир на рис. 9.3.7. В этом случае тяга направлена по вектору ДЧс. Случай б) соответствует противоположному направлению тяги. При таком направлении тяги не суЩествует перелета с одним активным участком в окрестности точки пересечения орбит.
В случаях в) и г) тяга на первом активном участке направлена соответственно по вектору ДЧс и противоположно ему. В случае в) возможные режимы перелета определяются дугой р7 на рис. 9.3.7. Этот перелет заканчивается за точкой пересечения орбит. Случай же г) соответствует дуге сб на рнс. 9.3.7; перелет заканчивается до пли несколько позже точки пересечения ороит. ассмотренные случаи исчерпывают все возможные типы пере"етов, которые получаются при указанных выше предположениях. 400 зола~и! \гАнввгиговлгп!я в тон! пх сг!Оях !гл и 9.4.4.
Условие оптимальности. В предыдущих разделах задач,! о переходе между произвольнымп пересекающимися орбпта! и изучалась в предположении, что времена движения от точки и. ресеченпя орбит по начальной и конечной орбитам до момента окопчаппя перелета одинаковы. Это предположение приводит условию коллинеарности векторов конечного промаха, существенно упрощающему анализ.
Однако осталось невыясненным, па сколько получающееся таким образом решение близко к оптимальному. Для ответа на этот вопрос рассмотрим случай, когда указанные времена мало отличаются друг от друга, и выясним, как влияет это отличке на величину характеристической скорости перелета. При !!алом различии указанных отрезков врепепц получается задача с малой неколлинеарпостью векторов конечпого промаха.
Проведем этот анализ для однородного полн тяготения, когда уравнепия начальной и конечной орбит записываются в виде дтзо !"о — гоо Чоо'о '- — Чо -- Ч оо — К'о (9.4.27) Ят! "! = !ао Чоотг+ ~ ! — У!о вт! (9.'!,28) Здесь то и т! — времена движения по начальной и конечпой ! рбитам, отсчитываемые от момента прохождения через точку пх пересечения, остальные обозначения те же самые, что и в предыдущих разделах.
В соответствии с (9.4.27), (9.4.28) формулы !зя Лг(Т) и ЛЧ(Т) записываются следующим образом: Лг(Т) = Ч Ч о+ О~ (т! о) ЛЧ(Т) = Что Чао + я (т! то). (9.4.29) т! — — т+Лт, то= т, (9 4 36) где Лт — малая величина. Пренебрегая старшими степепямпЛт, приведем уравнения (9.4.29) к виду Лг(Т) = (ЛЧо+ яЛт) т+ Ч!аЛт, ЛЧ(Т) = ЛЧо+ яЛ !, (94 31) где ЛЧо = Ч!о — Час Из (9 431) видно, что при Лт = О векторы Лг (Т) и Л Ч (Т), а с ив довательно, и направление тяги параллельны ЛЧо. Прп малых Лт угол между Лг(Т) и ЛЧ(Т) будет величиной порядка Лт.
К ~к было показано в з 8.6, угол между направлением тяги и этики векторами будет величиной такого же порядка. Поэтому с погрешностью порядка (Лт)о проекция вектора а на направление вектора ЛЧ(Т) равпа а — модулю этого вектора. Имея это в вяду п Ранее задача решалась яри условип т! = то Теперь будем предполагать, что ОРвпты, у котОРых сОВпАдАют ВектОРы скОРОсти 401 (9.4.32) з 9.5. Перелет между орбитами, у которых в какой-то момент совпадают векторы скорости при движении по нпм 9.5.1. Постановка задачи и решение для однородного поля. Остановимся на анализе перелета, который получается во второмиз р р 5 85 р коллипеарности векторов Лг (Т) ' с Вррр и ЛЧ(Т), когда вектор ЛЧо равняется нулю.
Этот случай соответ- / ствуег перелету между орбитами, / у которых в какой-то момент совпадают векторы скорости. Схема ррррасрр а лл' лл взаимного расположения орбит в этом случае изображена на Рис. 9.5.1. Буквамн А и Бна нем обозначены тачки на орбитах, в коРас 9.53. 26 В. А. Илрррл, Г. Е. Курмам принимая во внимание, что Й(Т, $) = 1, можно записать т ( а(ь)Н$=ЛЧ(Т). о Таким образом, величина характеристической скорости равяется модулю вектора ЛЧ(Т). Из (9.4.31) имеем Ч(Т) = )РЛЧо+ 2(ЛЧо, я) Лт+ яз(ЛТ)зж ж ЛЧ8+ ~ —,,', н1 Лт. (9.4.33) ,Ар 8 олучепная формула позволяет решить вопрос об оптимальности п релета с Лт = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
