Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Получим аналогичные формулы для режима с двумя активными участками. В этом случае, после вычисления интегралов, равенства (9.3.2) могут быть записаны так: а~э шах 2~„, — Т = —. (9.3.9) вшах Режим с двумя активными участками можно рассматривать и как режим с одним пассивным участком, расположенным при 0( 8 ( Т. В формулах (9.3.8) и (9.3.9) через Лг, и г„а обозначены, соответственно, продолжительность этого пассивного участкаиположениеего середины. Режим сдвумя активными участъами, очевидно, существует лишь в случаях, когда разделяющий их пассивный участок располагается внутри промежутка 0 (~ < ( Т.
Соответственно условия существования такого режима могут быть записаны в виде ЛСп )~ 01 1 (9.3.(0) Из равенства (9.3.9) получается следующая формула для ~ „: ашах l Подставляя это выражение для х, „в (9.3.8), можно получить выражение для Лг„: шах шах [ п1ах 1 коллинеАРные вектОРы кОнечнОГО пРОНАхА 37з :з э.з) Формулы для 1, „и ЛГ, позволяют выразить условия существования режима управления с двумя активными участками (9.3.10) через величины векторов конечного промаха Лг(Т) и ЬЪ'(Т). Соответствующие неравенства записываются так: па ах паах [ паах ) Г, ь~(п ~~~а (~~~(~)' ~~У) пмах птах [ птах! птах (9.3.14) 4а (т) + 2Т ат (т) [а)'(т))а~ Т лт (т) а паах ~пах паах птах Последние два неравенства могут быть упрощены. Ясно, что пра- вые и левые части этих неравенств положительны.
Поэтому Ь~ (Т) 1 [ЬР (Т) ~а ЛР (7*) а 2 ааааа мах паах (9.3.15) т ~ а(е) зш(Т вЂ” $) д$ = Лг (Т), ~ ~ а ($) соз (Т вЂ” $) лс = ЛЧ (Т), о (9.3.16) где в рассматриваемом случае векторы ЛГ(Т) и ЬЧ(Т) коллинеарны. Из сопоставления между собой неравенств (9.3.7) и (9.3.15) видно, что область существования режима с двумя активными участками примыкает к области существования режима с одним активным участком. Следует отметить, что режим с двумя активными участками, в отличие от режима с одним активным участком, существует как при положительных, так и при отрицательных значениях Ьг(Т) и Л Р'(Т). Области существования рассмотренных режимов оптимального управления могут быть построены в плоскости параметров Лг(Т))а „, ЬУ(Т))а при различных значениях Т.
Такие результаты будут получены далее в процессе решения аналогичной задачи для однородного центрального поля. 9.3.2. Веометрическая интерпретация для однородного центрального поля при бг =О. В случае движения в очень тонких слоях центрального поля, когда можно считать, что бг„= О, граничные условия записываются (см. ез 8.1, 8.2) в форме зво 3АдАчи МАИИВРиРОВАния В тонких слоях [гл, гх Управляющее ускорение а(1) должно быть выбрано таким об разом, чтобы выполнялись равенства (9.3Л6), неравенство (а(г)(<а „(г), (9,3.17) где а (1) — заданная функция, н был минимален интеграл 1 = ) а ($) а$. о (9.3ЛЗ) Для данной задачи при оптимальном управлении вектор а(;) коллинеарен с векторами 1ог(Т) и ЬЧ(Т). В процессе движения возможно изменение направления этого вектора па противоположное.
Так же как и в предыдущем разделе, величины Ьг(Т) и Л г'(Т) будем считать положительными, если они совпадают с направлением а(о) на первом активном участке, и отрицательнымп в противном случае. Введем в равенствах (9.3.16) и (9.3.18) новую переменную интегрирования д, связанную с Э соотношеппек —, = а(э). Йз (9.3Л9) С учетом этого равенства и замечаний, сделанных выше, (9.3.16) и (9.3.18) можно переписать в виде )'.со а — оазис=л л.~ о 1 О (д) соз (Т вЂ” с (д)) дд = 1о 1 (Т) о (9.3.20) где через о(д) обозначена функция,приннмающая значение, равное единице, па первом активном участке и на всех остальных участках, па которых вектор а(г) направлен в положительну1о сторону прямой управления, и значение, равное минус единицс, на тех активных участках, па которых вектор а(1) направлен з отрицательную сторону. Введем в рассмотрение угол ы: = [Т вЂ” ~(9)1о (9.3.2 !) Из (9.3.19) следует: йо 1 ~я о(о)' Функция а($) представляет собой модуль управляющего ускорения н принимает либо положительное, либо нулевые значения.
Поэтому ясно, что с ростом д угол 19 убывает, причем всоответ'ствии с (9.3.21), 19) 9=Т, 19) 1=0. (9.3.23) Неравенство (9.3.17), ограничивающее величину управля1о1цего ускорения, накладывает, в свою очередь, ограничение на скорость изменения угла ю. Из этого неравенства и (9.3.22) следует: ао ~ 99! а Й) (9.3.24) С использованием угла 91 равенства (9.3.20) можно записать в форме Т=д(Т), 1 ( О(д) з)п19(д)Нд = Лг(Т), ) ( о (д) соз 19 (д) г(д = и Р (Т). о (9.3.25) Такая форма записи допускает простую геометрическую интер- претацию. Возьмем декартовусистему координат, по оси абсцисс которой будем откладывать значения ЛР'(Т), а по оси ординат значения Ог(Т) (рис.
9.3.1), и рассмотрим кривую, длина дуги котороя до некоторой точки А на ней равняется д, а угол между касательной к ней вточке А и осью абсцисс равняется 19(д). Если считать, что эта кривая соответ- 4 М~ 1™Ч| ствует движению, то получающаяся для пее зависимость 19(д), в соответста впи с равенствами (9.3.21) и (9.3.22), определяет закон изменения управляющего ускорения а(з). Будем, далее, Р сй'У! предполагать, что при техзначениях д, при которых функция О(д) меняет свои Р .. ИЗА. значения с1 на — 1 и,наоборот, с — 1, на 1, угол ю (д) мгновенно получает приращение, равное я. Если такие точки существуют, то конечное значение 19, в до- полнение к значениям (9.3.23), будет равняться Вя, где й— число перемен знака функций о(д).
При таком определении уг- ла в интегралы, стоящие в левых частях равенств (9.3.25), пред- ставляют собой проекции указанной кривой на оси координат. В соответствии с этим любая кривая, выходящая из начала ко- ординат и оканчивающаяся в точке В с координатамп и Р(Т) ':а 9.9] кол1П1ВВАРнык ВВВТОРы конкчного ПРОМАХА ззз ~Г 3Адлчи мАнеВРиРовАния в тонкнх слоях !гл. Их и азг(Т) (см.рис.9.3.2 и 9.3.3), обеспечивает выполнение грани ных условий; длина же этой кривой равняется 1. Решение рас сматрнваемой вариационной задачи дается той из этих кривых которая имеет наименьшую длину и, кроме того, удовлетворяе, неравенству (9.3.24), представляющему собой ограничение, на АОЭ лагаемое на — — кривизну рассматриваемой кривой.
ыч Ясно, что на пассивных участках приращение д равняется пулю, а приращение угла ао, в соответствии с (9.3.21), равняет ся — М„где М,— продолжительность пассивного участка. Та ким образом, пассивные участки моделируются па указанноя кривой угловыми точками, причем мгновенное изменение ае в этих точках всегда приводит к его умепыпению.
Изложенная гео. метрическая интерпретация рассматриваемой вариационной задачи позволяет получить сведения о возможных режимах управления п наметить области существования каждого из них. Ясно, что длина дуги кривой, соединяющей начало координат и конечную точку В с координатами й 1а(Т) и азг(Т) (см. рис.9.3.2 и 9.3.3), будет наименьшей в том случае, когда используемая кривая во всех своих точках имеет наимепыпую кривизну. Отсюда, в соответствии с (9.3.22) и (9.3.24), следует, чтовеличинаускорепия а(1) приоптимальпом управлении всегда должна иметь граничное значение а „,(1).
Рассмотрим далее случай отсутствия активных участков, на которых вектор ускорения а(1) направлен в отрицательную сторону прямой управления. Соединим начало координат и конечную точку кривой с наименьшей возможной кривизной во всех ее точках. Эта кривая соответствует режиму управления с активным участком, расположенным в середине промежутка О < г ( Т. Пассивные участки в этом слу- ее~Л чае располагаютсявначале и в Лааа, конце траектории них величиааааа ны определяются углами Лава, и Лает„указанными па рис.
9.3.2. Введение пассивного участка ~Ъ)аааааеаеае ееаиееае где-то внутри промежутка О ~ ( т Я Т соответствует кривой с изломом в середине, которая имеет ббльшую длину, чем криле~д вая без излома, и,следовательРкс. 9.3.2. по, такой режим управления не является оптимальным. Включение активного участка с отрицательным направлением а (Г), очевидно, также приведет лишь к увеличе|нию длины кривой, Таким образом, во всех тех случаях, когда конечная точка В может быть достигнута с помощью кривой, соответствующей режимУ ь аз) КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ КОНЕЧНОГО ПРОМАХА ззз управления с одним активным участком, расположенным в середине промежутка, этот режем является оптимальным и обеспечивает минимальное значение 1. Из схемы, изображенной на рис.
9.3.2, видно, что при управлении с одним активным участком можно построить решения лишь для конечных точек В, лежащих между положительным направлением оси абсцисс и прямой, выходящей из начала координат и составляющей угол Т с этой осью. Очевидно, что при таком управлении нельзя достигнуть конечной точки, расположенной во П вЂ” 1'Ч квадрантах. Остановимся далее на случае, когда после первого активного участка с положительным направлением а(~) существует второй активный участок, на котором направление а(8) отрицательно.
Возможные расположения кривых изображены на рис. 9.3.3. Кривая наименьшей длины в этом случае строится следующим образом. Из начала коорщкнат проводится кривая 1, имеющая наименьшую кривизну и касающаяся в начале координат прямой, наклоненной к оси абсцисс под углом Т. Далеемзконечной точки В по касательной к линии Ог = сопзФ выпускается кривая 2, также имеющая во Р . Э.З.З. всех своих точках наименьшую возможную кривизну. Кривые 1 и 2 продолжаются до момента пересечения их друг с другом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
