Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Из (9.4.33) видно, что условием оптимальности перелета является ортогональность векторов ЛЧз и и. Это условно, в частности, выполняется в задаче о повороте плоскости орбиты. Прп Лгать О вектор тяги при оптимальном управлении перемещается в плоскости управления, проходящеи через векторы Лг(Т) н ЛЧ(Т). Установим связь между ориентацией этой плоскости и векторамн Чзз, Ч18.
Основываясь на формулах (9.4.31), с погрешностью порядка (Лт) з получим [Лг(Т), ЛЧ(Т)]т[ЛЧо, Чрю]~Лт= [Чьь Чзс)ЛТ. (9434) 'гак как вектор [Лг(Т), ЛЧ(Т) ) ортогоналеп к плоскости управленпя, то из формулы (9.4.34) следует, что зта плоскость параллельна плоскости, проходящей через векторы скорости на начальной и коночной орбитах в точке их пересеченпя. Следует отметить независимость ориентации плоскости управления от Лт прп малых значениях Лт.
задачи зглнввгиговлния в тонких слоях ~гл ьх 402 (9.5.2) Здесь (9.5А) Лгз = гю гоа. Из этих формул видно, что в рассматриваемом случае конечная орбита получается из начальной путем поступательного перемешения на вектор Лгз, причем в точках А1 и Бь которые соответствуют моменту окончания перелета Т, векторы скорости совпадают, как это имеет место для точен А и Б. Для рассматриваемой задачи граничные условия определяются равенствами (9.3.2), где вектор управляющего ускорения а(ь) в соответствии с результатами ~ 8.5, параллелен или антипараллелен вектору Лгз.
Второе из равенств (9.3.2) с учетом того, что М~(Т) = О, записывается в виде ) а($)Ы$ = О. о (9.5.5) тоРых вектоРы скоРости имеют одно и то же значение Чоь Нор гш и гю обозначены радиусы-векторы этих точек. При задании уравнений движения по начальной и конечной орбитам время т будем отсчитывать от точек А и Б и считать начальные данные заданными в этих точках. рассмотрим задачу о перелете иезиду орбитами с указанными свойствами с минимальными затратами характеристической скорости.
Начало перелета при ~ = О н его окончание при г = Т будем считать незаданными и подлежащими рациональному выбору. В настоящем разделе получим решение для случая однородного поля тяготения. Тогда с учетом сделанных выше замечаний имеем: для начальной орбиты ат' го = гоо + Чэзт + (9.5Л) Ча=Ч..+от; для конечной орбиты Ятй г1 = гга + 1 оот + Чаа + ят Как и в предыдущем параграфе, будем предполагать, что момент Т окончания перелета соответствует некоторым точкам А~ и Б1 (см. рис. 9.5А) на начальной и конечной орбитах, которые определяются их уравнениями при одном и том же значении т.
При таком предположении получается задача с коллинеарными векторами конечного промаха. С учетом этого предположения из (9.5А) и (9.5.2) получаются следующие выражения для векторов конечного промаха: Ьг(Т) = Лгм ЬЧ(Т) = О. з ЭВ1 ОээнтЫ, У КОтОГЫХ СОВПХДЛЮт ВККтО1 Ы СКОГОСтн 4РЗ тсюда следует, что возможен только один режим оптимального правления с двумя активными участками, с противоположным вправлением управляющего ускорения на них.
Ясно, что на пером активном участке направление вектора а(Э) совпадает с наавлением веьтора Лга. Доведем анализ до конца при а ах(г) = солей В этом случае граничные условия (9.3.2) для режима с двумя активными участками сводятся к равенствам (9.3.х() и (9.3.12). Эти равенства с учетом выражений (9.5.3) для вектор в конечного промаха заппсываются в виде Т а »Р (9.5.6) Л~ = 1ГТ вЂ” 4 ~"' . тах (9.5.7) Суммарная продолжительность активных участков Ло„, которая пропорциональна величине характеристической скорости, в дап- ной задаче определяется формулой ЛГ»в=Т Л~а =Т 1l Тх 4 о (95'8) па ах Эту формулу можно также переписать иначе: 4лго!а,аах Лгал = Т + )/ Та 4Ьго(а (9.5.9) Из приведенных формул видно, что рассматриваемый перелет воз- можен лишь при Т ~ )Тхоаа = 2 1 Г мах (9.5 аО) Из (9.5.9) также следует, что М„монотонно уменьшается при Увеличении времени перелета Т.
Ясно, что для перелета с Т=Т, длина пассивного участка равняется нулю и этот перелет является оптимальным по быстродействию. Величина же потребной для этого перелета характеристической скорости имеет максимально возможное значение. Формулы (9.5.6) и (9.5.8) показывают, что длины активных Участков, примыкающих к концам перелета, одинаковы и величина их уменьшается при росте Т. В пределе при очень больших значениях Т длины активных участков исчезающе малы, и в этом случае для осуществления перелета достаточно приложения в начале и в конце перелета двух противоположных по направлению бесконечно малых импульсов.
Следует отметить, что, в отличие от задачи о переходе между пересекающимися орбитами, в рассматриваемой здесь задаче о 26» ЗАДАЧП МАНГВРИРОВАЫИЯ В ТОНКИХ СЛОЯХ ДХ1 1Х 404 для конечной орбиты г, = г„совт+ Чоов(пт, Ч, = — гоов1пт+ 1', соят. ) (9.5Л2) С использованием (9.5Л1) и (9.5.12) получаем выражения для векторов конечного промаха: Лг(Т) =йг совт, ЬЧ(Т) = — йгов1пт, (9.5ЛЗ) ГДЕ ЛГО = Г1Π— ГОО. Отсюда видно, что в рассматриваемом случае направление управляющего ускорения а(1) параллельно или антипараллельпс вектоРУ 11го.
Если считать, что на пеРвом активном Участке направлении этих векторов совпадают, то безразмерные параметры переходемежду эквидистантно сдвинутыми орбитами граничные условия (9.3.2) не определяют однозначно ни его продолжитель ности, ни точки Б1 на орбите (см. рис. 9.5.1), в которой оп окан чивается. Ясно, что положение точки Б1 может быть выбрано совершенно произвольно, точно так же как и положение точки на начальной орбите. в которой перелет начинается.
Важно л1ппь, чтобы время двпжопня от начальной точки до конечной равнялось выбранному значошпо Т ) Т „. 9.5.2. Решение для однородного центрального поли при бц„=д В предыдущем разделе было выяснено, что в задаче о перелете между орбитами, у которых в какой-то момент совпадают зпаченпя векторов скорости, наименьшие значения потребной характеристической скорости получаются при больших значениях времени перелета.
В этом случае траектории перелета получа1отся достаточно протяженными и может оказаться необходимым учет нов менения направления вектора ускорения силы тяжести. Поэтому целесообразно получить также решение аналогичной задачи для случая однородного центрального поля тяготения. Для этого поля задача будет рассматриваться в той же самой постановке, что и в предыдущем разделе. По-прежнему будет использоваться основное упрощающее предположение о том, что время полета по начальной и конечной орбитам от точек А и Б (см.
рис. 9.5.1), в которы.' значения векторов скорости одинаковы, до точек А1 и Б1, которые соответствуют моменту 1 = Т окончания перелета, одинаково. Как п в предыдущем разделе, это предположение обеспечивает коллинеарность векторов конечного промаха. Согласно (8.2.1) в рассматриваемом случае имеем: для начальной орбиты г, =-г„совт+ Чоов1пт, Ч, = — гоов1пт+Ч соат; зв) Отпиты, т котогых совпадхзот ввктогы скогостп 405 спольэуемые па рпс. 9.3.7, 9.3.8, вычисляются по формулам — = — )а соз т, ю (7) тах И" (Т) = — )а з)п т, азах (9.5Л4) где и'а а ~ааах (9.5Л5) Зависимости йа„суагмарной продолжительности одного или двух активных участков, которая при а„,„(г) = сопзФ пропорциональна гаг т, гггаа Рис.
9.5.2. интегралу 1 от т, построены на рис. 9.5.2 при различных значениях И. 1'асчеты были выполнены с помощью формул 9 9.3 и графиков, приведенных на рис. 9.3.8. Кусочный характер кривых, приведенных на атом рисунке, связан с отсутствием решения дан- Если направление а()) на первом активном участке заменяется на направление, противоположное вектору гага, то угол т в этих формулах заменяется на угол я+ т.
При постоянном )а и переменном т формулы (9.5Л4) определяют на рис. 9.3.7, 9.3.8 окружность с радиусом, равным )а. В соответствии с (9.5Л4) угол т отсчитывается от положительного направления оси абсцисс ло часовой стрелке. Условие существования решения данной задачи записывается в виде (~ 77а" = Дв = 2з(п —. йаа ° Р ашах 2 ' зхдхч11 ззхневгиговхння В тонкззх слоях 406 ~гл, х ной задачи па отдельных интервалах измепепия т. Наиболывпй практический интерес в данной задаче представляют перез, с двумя активными участками, соответствующие на рис 9;, у 9.3.8 дуге р1 "(~ окружности радиуса р. Для этих режимов веьто, р а(1) на первом активном участке направлен параллельно вектог.
Лгз. На рис. 9.3.8 эти режимы соответствуют малым значениям —, Заметим, что при движении в однородном центральном поле, в отличие от движения в однородном поле, величина характерп стической скорости перелета зависит от параметра т, определяющего конец перелета. При этом в однородном центральном поло для рассматриваемой задачи возможны перелеты как с одним ак тивным участком, так и с двумя. Минимальное значение харакгеристической скорости получается для перелетов с одним актпвным участком при больших значениях т.
Однако возможность применения получающихся результатов при т ~ )я/2 требует специального исследования. Поэтому по-прежнему в данной задаче наиболее важными являются перелеты с двумя активными участками, существующие при малых значениях т. Следует отметить, что, как это видно из графиков на рис. 9.3.8 и 9,5.2, значение характеристической скорости, достаточно близкое к минимально возможному, получается при т = О. з 9.6. Мягкая встреча 9.6Л.
Постановка задачи. Описание схемы перелета. Рассмотрим задачу о мягкой встрече двух летательных аппаратов. Пусзь при Г = О известны их координаты и скорости. Будем предпо; а- гать, что движение одного из них, а именно движение летательного аппарата-цели, задано, а управление вторым аппаратом должно быть выбрано таким образом, чтобы в момент окончавпя перелета г = Т они находились бы в одной и той же точке пространства с радиусом-вектором г1 (Т) и имели бы одинаковые векторы скорости 7~(Т). Тогда в момент встречи их относительная скорость равняется нулю — отсюда название,чягкая встреча. Ясно. что после осуществления мягкой встречи при г ) Т оба летательных аппарата будут двигаться по орбите цели. Вектор-фупкпвн г~(г) и 71(~),описывающие орбиту цели, будем предполагать жданными. Зта задача значительно сложнее рассматривавшихся ранее.
так как в конце перелета условия накладываютсн как па падпугвектор, так н на вектор скорости, а векторы конечпого прома'а в общем случае пеколлипеарны. Однако ее рациональное решегпе может бьггь получено с помощью последовательного использов1- пия решений задач, рассматривавшихся в $ 9.1 и з 9.4. Разобьг" весь мапевр па два этапа. В течение первого этапа управлевпе осуществляется таким образом, чтобы попасть при г = Т' ( Т в МЯГКАЯ ВСТРЕЧА в аз1 точку, расположенную на орбите цели, характеризующуюся вектором г1(Т') (рис. 9.6.1). Такая задача рассматривалась в 9 9.1. 1'ам было выяснено, что для осуществления такого маневра вектор з(1) должен быть постоянно ориентирован в пространстве и направлен по вектору пг(т') = г~(т') — гс(Т'), (9 6.1) где гс(Т') описывает свободное движение летательного аппарата, управление которым выбирается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
