Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 75
Текст из файла (страница 75)
е. приближеппо Р Р считать, что в окрестности сферы влияния движение КА происходит по асимптоте гиперболы. Построение планетоцентрической гиперболы по векторам Р н Ч,в (р,в = со) приведено в монографии Бзттина [2]. Ниже прпведены другие решения этой задачи, полученные в работах В. А. Ильина, Н. А. Истомина [Ц и В.С. Вождаева [Ц, более удобные для рассмотрения оптимальных импульсных перелетов. Предположим вначале, что 417 (1о 9 ПОСТАНОВКА ЗАДАьи1 гсимптотическом приближении угловая Ааршруту В при 0 < р ( и 912(В ) ) я. 1оскольку величина р задапа,предельная перелет с заданной угловой дальностью (10.1.11) — (10.1.14) между конечным радиусом-вектором р2 и бесконечно удаленной точкой, направление на котоо рую определяется вектором р (10.1.10).
Для такой гиперболы с учетом (10.1.9) связь между фокальным дальность перелета по (10.1Л5) гипербола представляет и Юз ~~ ус д,о(~~ параметром р и эксцентриситетом е дается соотношением (5.1.64) при п = = р*о/р = "': 1 1 соа р 2 1з- соа р р + з1па(3 соз' Р р +,— 1, ( — ') . (10.1.16) В (10.1.16) и всюду в дальнейшем верхний знак перед соз р соответствует выходу на орбиту ИС, нижний знак — сходу с орбиты ИП (см. (10.1,8) ). Поскольку при заданной величине Ч,с и любом радиусе сферы влияния рмм в том числе р,с = оо, известна действительная полуось гиперболы а= р уз рсф (10.1.17) где 11 — гравитационная постоянная планеты, имеем также еа= ~ +1.
(10.1.18) Таким образом, задача построения предельной планетоцентрической гиперболы при р,с — — со является частным случаем рассмотренпой в пункте 4 раздела 5.1.4 задачи определения кеплеровой дуги при заданных угловой дальности перелета и большой (или действительной) полуоси конического сечения. Исключая ез нз (10.1Л6) и (10.1.18), получим (см. В. А. Ильин, Н. А. Истомин (11) ~" =)à — ' — ' Гр — = ~à — р з(па~+1+ сов~ -, '2 1Г р з1п~. (10.1.19) Анализируя точки пересечения кривых а)12 = сопв1 (10.1Л6) и а = сопз1 (10.1.17) (см. рис.
5.1.14), получим, что знак «+» перед вторым радикалом в (10.1.19) соответствует перелетам по 27 В. А. Ильин, Р. Е. Куаман ~гл х Р Р (10.1,20) что соответствует, очевидно, (5.1.68) при и -+. со. Прн 6 = я в случае выхода на ороиту ИС п 6 = 0 в случае схода с орбиты ИС получаем радиальные перелеты с угловой дальностью предельного перелета ~)м = 0 (см. (10.1.11) — (10.1.14)) и согласно (10ЛЛ9) (1ОЛлП) р= О. Соотношение (10.1.19), как п соответствующее соотношение в книге Бэттина (2), получено в предположении о/р,« = О. Покажем,что если вместо этого предположенпя сделать предположепие 0 ( Р!р,а « 1, то соотношение (10.1.19) будет справедливо с точностью до величин порядка (р!Р,«) ~. Обозначим через 6 угол между векторами Ч,«1 и («(10.1.6) (рис.
10.1.3). Имеем 6 = ) Ч1) т 6'— (10.1. 22) где гп — пстпппая аномалия планетоцентрической гиперболы в точке входа рп 0 — угол между векторами Чь1 и — рь Из (10Л.22) получаем з1п 6 = — сов д (сов т|1 — зш (т~1) 190). (10Л23) Используя псвестпые выраження (сп. (1.3.27), (1.3.37), (1.3.38)) соз и, = — ( —" — 1), (10Л.24) - = —.(Р„ 160 = р феа!о)ч,р (10Л.25) получим з(п6 = — созо. е (10.1.26) Выражая соз 0 через 1я 6, снова используя (10.1.24), (10Л.25) и выражая фекальный параметр р через радиус перицентра: (10Л,27) маршрутам А, В+ («пз ( и), а знак « — а — перелетам по марш руту В (т~~г ) и, см.
(10ЛЛ5)). При Р = 0 в случае выхода па орбпту ИС и 6 = и в случае схода с орбиты ИС угловая дальность предельного перелета цм = я (см. (10.1.11) — (10.1.14)) и согласно (10ЛЛ9) для всех маршрутов постлновкз задлсп! ф !з.!! 419 приведем выражение (10.1.26) к виду 2 !!2 3!и 6 = — ' 1+ —," . ' '), . (10.1.28) Рсф ~ Рз ес — — (1+ е) — 1 Рсф Для всех имеющих практический смысл гиперболических кеплеровых дуг перехода сфера влияния — орбита ИС можно считать — с «1. (10.1.
29) Рсф Пусть е ) 1. Тогда на основании (10.1.29) получим, раскладывая (10.1.28) в ряд, для гиперболической кеплеровой дуги зш6 — — 1 ( Рсф 12 = — '+О( — Р" ~. ( . ) е !,Рсф Пусть теперь е-е.1. Полагая в (10.1.28) е = 1, получим аналогично для параболической кеплеровой дуги зш6 =1 — — —" — + ... =1+0( — "~). (10.1.31) 9 Рсф Рес ! Рсф/ 1 —— Рсф згпб = —. 1 е (10.1. 32) Такой же результат получается, очевидно, н для случая схода с орбиты ИС.
Формула (10.1.32) приведена в работе Бэттина 11], однако там она была получена в предположении, что Р„/р,е — — О. При этом Угол 6 совпадает с углом между асимптотой гиперболы и 2„. В последовавших затем многочисленных работах, посвященных синте- зУ траекторий полета к Луне и планетам, эта формула применялась в указанном асимптотическом смысле, как соответствующая перелетам орбита ИС вЂ” Ч„. 27е Учитывая, что при решении задач синтеза и оптимизации траекторий КА при полетах к Луне и планетам (см. гл. Х1 и ХП) скорость аппарата на сфере влияния е',е практически всегда превосходит скорость, соответствующую параболическому планетоцентрическому движению, получифч при е ) 1 с точностью до малых порядка (Р./р„,) ' 42О Оптимальные пеРелеты сФеРХ влияния ОРвнтл ис 1гл х Из проведенного выше анализа следует, что формула (10.1.32) широко используемая в астродинамике, обладает, как это, по-ви димому, впервые было показано в работе В.
А. Ильина Я квадратичной по р./р,ь погрешно- Л!7 стью. Это обстоятельство, как будет показано ниже, на порядок 4!7 повышает точность расчета плане тоцентрического движения аппаЛ7 рата по сравнению с асимптотпче- /Р. скип подходом ~ — — 0~, что име- Ь' !7 ЕГ 7» Ле ДЕ Ш е 7О» Рис. 10ЛЛ, 11» — р = —;", — 6 для маршрута В, (10.1.34) откуда (10л1.35) соз 7! СОБ Цз +' Б1п Р Б!и !11 — Б1п 6~ где е — » соответствует (10.1.33), а е+» — (10л!.34). Подставляя в (10Л.35) соотношенпя (10.1.18), (10.1.32), вырая'ение 1/Р соз 11» = — ! — — 1) е (10Л.36) и освобождаясь от иррацпопальпосте11, приходим к (10.1.19).
По- сколы»у практически всегда ЄР(10.1.32) и (10Л.32) имеет точность (р, /р,е)», точность соотношения (10.1.19) имеет порядок (р/р,»)Б. Отметим существенное различие между использованием формулы (10Л.32) п других соотношений, содержащих величину р/р„„в асимптотическом смысле прн — -+ 0 (см. Вэттип [1, 2) ) Р Рее и рассмотрением, проведенным выше. При асимптотическом под- ет важное практическое значенле, Из приведенных на рис.
'10.1.5 данных видно, что формулой (10.1.32) можно с достаточной степенью точности пользоваться до значений р /р,», не превышающих 0,3 — 0,4. Получим теперь, используя формулу (10.1.32), соотношение (10.1.19). Следуя В. С. Вождаеву 111, пмее»1 (см. рис. 10.1.3) Р+»и =- — — 6 для маршрутов А, В', (10.1.33) Е «ссл1 постлнОВНА ЗАДАчи ходе, поскольку в (10.!.17) полагается 2 — = О, соотношение Р Рсф (10.1Л/) с точностью порядка 2 — — — 2 — — заменяется на Р Р Р Рсф Р Рсф а = —. (10Л.38) Усф' Поскольку, как показывают численные оценки, при синтезе траекторий для полетов к Лупе, Марсу и Венере практически всегда величины»т,ь и )Гр/р имеют один и тот же порядок, использование (10.1.38) вместо (10Л.17) приводит в определении а, в соотношениях для р/р и других элементов планетоцентрического движения, зависящих от а, к ошибке порядка Р/Р,ь.
Таким образом, учет конечности размеров сферы влияния в (10.1.17) позволяет при использовании соотношения (10.1.32) строить план«то«1ентрическое движение КЛ по гиперболе с точностью порядка (р/р,ь)з, т. е. на порядок точнее, чем при асимптотическом ( — — 0) l Р Рсф подходе. Перелеты Л и В+ при изменении Р непрерывно переходят друг в друга. Граничным между этими перелетами является перелет, соответствующий пересечению орбиты ИС в перицентре гиперболы. Обозначая соответствующее граничное значение Р через Р и замечая, что прн 3 = р «)з = О,получаем из (10Л.ЗЗ), (10.1.34) соз р = + з)п 8 = + —, (10.1.39) е ' где знак «+» соответствует выходу на орбиту ИС, а знак « — »вЂ” сходу с оропты ИС.
Используя для определения е соотношение (10Л.ЗО) прп О« = О, получим с помощью (10ЛЛ8) + соз)3 = (10.1.40) Р' 1+— а Используя соотношения (10.1.1'1) — (10.1.14) и таблицу 5.1.1, установим соответствие между значениями Ь и маршрутами перелета. В случае выхода на орбиту ИС при Р(Р реализуются маршруты В" п В, а прп 'Р ) Р— маршруты А н В . В случае схода с орбиты ИС при Р ( Р реализуются маршруты А и В, а при Р ) Р— маршруты В~ и В . Соотношения (10.1.2) — (10.1.8), (10.1.17) — ('10.1.19) полностью решают задачу определения параметров планетоцентрической кеплеровой дуги движения КА при известных векторах Ч и Р, заданпых в основной системе координат х,у,з,. Соотношения (10.1.2) — (10.1.5) определяют ориентацию гиперболы в пространстве. Формулы (10.1Л7) — (10.1.19) позволяют найти с))опальный 422 ОПТИЫАЛЬНЫЕ ПЕРЕЧЕТЫ СФЕРА ВЛИЯНИЯ ОРБИТА ПС 1ГЛ Х СОЗ Чз рз = з1пЧ1, 1=1,2, (10.1.42) о где ц, — истинная аномалия радиуса-вектора р1 в движении по ги- перболе.
Направляющие косинусы этих же единичных радиусов- векторов в системе координат х,у,з, равны СЕЗ 111 рз(х1э, ус, зз) = йй Х з1БЧ1, 1=1,2. (10.1.43) о Сферические координаты точек соотношений з1п 1рз входа и выхода вычисляются из (10Л.44) (10.1.45а) (10Л.45б) зэ 1' „о СОЗ 1Р1' хО з1п )11 соз Е,. сез ар ' 1 = 1, 2.
й 10.2. Одноимпульсные перелеты сфера влияния — орбита ИС 10.2Л. Импульс в точке перехода. Обозначим через Ч вектор скорости аппарата па гиперболе и через Р— вектор скорости аппарата па орбите ИС п точке выхода па орбиту или схода с пес. Вектор импульса скорости в этой точке равен Г1Ч = -~(Р— Ч) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
