Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 77
Текст из файла (страница 77)
гл. Х1) п планетам (см. гл. Х11) может реализоваться прп достаточно большой высоте орбиты ИС (малом $'„.„). Обозначая корни уравнения (10.2.32) прп х = 0 через сов Р»р«(съь (10.2.37)). положим соз р,р« = соз р,р« — ', Л соз ().
(10.2.52) Ограничиваясь в правой части (10.2.32) членом порядка (Л соз 3)', получим приближенное решение при х « 1: + Л соз () = + —, )~'х ~(1 — )/1 — о) ()/1 — о — 1+ о)('". (10.2. 53) Злак « — » перед Л соз р соответствует выходу на орбиту ИС, зпак «+» — сходу с орбиты ИС. В правой части знак «+» соответствует маршруту А, знак « — » — маршруту В . Указанная расстановка знаков непосредственно следует из проведенного выше анализа зависимости (10.2.32) (см. рис.
10.2.2). Из (10.2.34) следует, что случай х « 1 соответствует неравенству (10.2.54) г„.,» г,ч, которое на практике прп полете к Лупе (см. гл. Х1) и плапетам (см. гл. ХП) может реализоваться лля пизковысотныл орбит ИС прп достаточно малой скорости аппарата на сфере влигпп«я планеты. Получим теперь просту«о формулу, с достаточной степенью точности аппроксимирующую зависимость Л'г'(х, о) для оптимального перехода по маршруту А во всем возможном диапазоне значений х н с. Для стого перепишем (10.2.29) в виде — = )/ х ЛГ(х, о), (10.2.55) кв где ЛР= ~/р! а — +1 — 2) у — +» + — — ~)~'о — соз»р / г» х, 4х ' х»(1:~- со»Я) 2 -~/х/ (10.2.56) Одноимпульсные перелеты з 10.21 При х » 1 с учетом разложения (10.2А9) для маршрута А имеем (1 асов~,р2) — ' =1+ — —, ~+ 0( — — „'ь).
(10.2.57) Разложение функции ЛГ(х, а) (10.2.56) в ряд по степеням 1( ~ х, полученное с учетом (10.2.57), имеет вид и ау х -иуй Рис. $0.27. Графики суммы первых четырех членов ряда (10.2.58) и точного значения ЬГ(х, о) приведены на рис. 10.2.7. 28 в. А. ильин, Г. е. Бузьин 434 оптпмлльнык пккклкты сэкгл влпаниЯ вЂ” огвптл пс ~гл и Поскольку для маршрута А (см. (10.2.36), (10.2.41) ) 1пп соэ роро = О, (10.2.59) з о из (10.2.29) с учетом (10.2.59) при х» 1 получаем — =(3+ х — 2)~'ох)'~~.
(10.2.60) кар Заметим, что если правую часть (10.2.60) представить в виде 3 'пз (3+ х — 2)~ ох)'" = )~ х ( 1 — 2 =+ — ) (10.2.61) к и скобку в правой частп равенства (10.2.61) разложить в ряд по степеням 1/'г х, то сумма первых членов этого разложения, включая член порядка (р' х), совпадет с суммой первых членов разложения (10.2.58) после умножения последней, согласно (10.2.61), на р' х. Функция (10.2.60) с достаточной точностью аппроксимирует строгу1о зависимость ЛУ(х, о) при х ( 7 —: 8 и заметно хуже при х (6 —: 7 (см.рис.10.2.7).
Чтобы улучшить аппроксимацию точной зависимости в области умеренных значений х (6 —: 7, не ухудшая ее при х» 1, рассмотрим вместо (10.2.60) функцию — = (3+ х — 2)' 2+ х)/ о)пз. (10.2.62) — — т Раскладывая ее, аналогично (10.2.58), в ряд по степеням ()/х) нетрудно убедиться, что соответствующие разложениясовпадают ° г-~ — з вплоть до членов порядка ()' х) . Обе зависимостп— (10.2.60) и (10.2.62) — совпадают с точной зависимостью Л'г'(и, о) при о = 0 (см.
(10.2.46) ). Важной особенностью, отличающей зависимость (10.2.62) от (10.2.60), является совпадение зависимости (10.2.62) с точной зависимостью ЛУ(х, о) при а = 1 (сэь (10.2.44) ). Последнее следует из тождества (3+ х — 2)~2+ х) я =— ки ) 2+ х — 1. Из всего сказанного получаем, что фуккцпя (10.2.62) достаточно хорошо аппроксимирует точную зависимость для отимального импульса ЛУ(х, о) как при х» 1, так и прп уморенныл значениях х. Приведенные на рис. 10.2.5 результаты расчетов подтверждают этот вывод: аппроксимация (10.2.62) оказывается достаточно точной при х ) 1 —: 2. 10.2.3.
Оптимизация высоты и ориентации в пространстве круговой орбиты. Рсасмотрнп выражение (10.2.29) для маршрута .4, в котором считаем заданными а (т. е. )г,ь), а и в которое вместо соз р подставлено его оптимальное значение соэ рмо(х, о). Прп этик условиях импульс перехода ЛУ достигает абсолютного минимума.
Считаем, что х = — меняется за счет р. Вэтом случае вмес- р одноиыпульсныв пврвлкты г ]0.2] то (10.2.29) для импульса целесообразно рассматривать соотношение (10.2.56). Зависимость (10.2.56) приведена парис. 10.2.7. Определим оптимальную высоту круговой орбиты р„с или, что тоже самое, х„„котоРаЯ пРизаДанных а, ои совр,гс(х, о) доставлЯет ]п]п Л1Р и пл]п Л]Р. Из анализа производной — с учетом ддр.г дДуг дх дх зависимости соз Р„с = соз Р,гс(х, о) и графика рис.
10.2.7 следует, что для маршрута А существует единственная оптимальная высота орбиты ИС х,рс(о) = —, доставляющая ш]псл'гР. АналоР»РС а ' гично можно получить, что в случае маршрута В слУ монотонно уменьшается с ростом х или р (см. рис. 10.2.7). 0 0Уррр 0Урар ~а/а хсрм 4д Г р Точная зависимость х,рс(о) может быть получена лкбо путелс дДГг совлсестного решения уравнений (10.2.32) и — = О, либо непосредственно путем численного определения ппп Л]р по (10.2.56) при условии (10.2.32).
Она приведена на рис. 10.2.8. На атом же 28» 433 ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ СФЕРА ВЛ11ЯНПЯ вЂ” ОРБПТА ПС срл рисунке показаны минимальные значения АГ(о) =сАГ(х,рс(о), о), При о = 1 на основании (10.2.44) имеем — АР с 2, 1 сс'сг== = ]г — +1 — —, )сс10~а х ~/х (10.2. 63) откуда хорс(о =1) == 2. (10.2,64) Соответственно сс)'(хорс о = 1) = †, =- 0,707.
(10.2.6э) При о = 0 на основании (10.2.46) (10.2. 66) откуда хоро(о = 0) = оа, (10.2.67) Найдесс производную ~А1 и при х >> 1 с учетом (10.2.57) предрх ставим ее в виде дЬГсо 1 ( -( 3 3 — Зо — = — — )3 — )/х~1+ — —, + ах хс ) х хо + 0( з)])/о[1 — —,—, + ОЯ~~. (10.2.68) 3-)/-(1+ а =О, (10.2.69) откуда получим — 3+ (/9 — 12о ) хорс = 2 )со Соотпошенне (10.2.70) определяет хмх толы'о до Чтобы избавиться от этого дефекта, заменим (10.2.69) шепнем (10.2.70) о = 3)4.
соотпо- (10.2. 71) где должно быть А ( 3, откуда — 3+ )с'9 — 4Ао г .орс = (10.2. 72) Чтобы получить приближенное аналитическое выражение для хио при 0 ( о ( 1, приравняем нулю сумму первых трех членов разложения выражения в фигурных скобках (10.2.68) по степеням )с х одноизгпульсныв пврглкты 437 1 ~аг~ Величину А можно определить различным образом, добиваясь той или ппой степени приближения аппроксимирующей зависимости (10.2.72) и точной. Если потребовать, чтобы величина кмп (о=1) из (10.2.72) совпадала с точным значепием к„,(о=1) =2 (10.2.64), то А = 3 )Г2 — 2 = 2,242. (10.2.73) Более удобная формула для к„, получается, если потребовать, чтобы соответствующая (10.2.72) зависимость о(к,„,) достигала максимума при о = 1 (т.
е. если взять наибольшее А ( 3, при котором решение уравнения (10.2.71) существует при о ( 1 и не существует при о ) 1). В атом случае 4 9 (1+ р ( — о) (10 2 74) карг— о При о «1 как из (10.2.70), так п из (10.2.72) при любом А получим к 9 (10.2.75) Формула (10.2.74) при о 1 дает, как зто следует из сравнения значения кмп(а = 1) по (10.2.74) с точным значением к„,(о = = 1) = 2 (10.2.64), несколько завышенные значения кмо Этот недостаток устраним, взяв для о ж 1 с учетом (10.2.64) вместо (10.2.74) соотношение (10.2.76) Заметим, однако, что при и «1 и кмо » 1 формула (10.2.76) дает значенпя к.р~ менее точно, чем зависимость (10.2.74), что следует из сопоставления (10.2.74) и (10.2.76) с (10.270).
Вычисленные с помощью (10.2.74) и (10.2.76) значения к.„(о) и соответствующие значения ЬГ(к„,(о), о) показаны на рис. 10.2.8. Видно хорошее совпадение точных и приближенных значений кмп (ошибка не превышает 20%) п очень хорошее совпадение (не менее чем в двух знаках поело запятой) соответствующих величин ЛГПоследнеепепосредственно следует из графика рис. 10.2.7: прп к к„, ЬГ сопзг. Из приведенных данных видно, что формулой (10.2.76) целесообразно пользоваться при о '~ ~0 5 —: 0,6, а формулой (10.2.74) — при о ( 0,4 —: 0,5.
Для приблингенного вычисления ЛУ(корь о) при к„„, » 1 можно использовать сумму первых четырех членов рззлоягсппя (10.2.58) функции ЛГг(к, о) по степеням 1/~' к. 43З ОПТЯ1!АЛЬНЪ|Е ПЕРЕЛЕРЫ СФЕРА ВлияНия — ОРБИТА ПС 1гл, х Прп с = 1 и х„с(с = 1) = 2 соответствующая сумма равна сх'в'(ко»1 = 2 о = 1) = ~ — — ж 0,793. (10.2.77) 2 Сопоставляя (10.2.77) сточным значением ох'в" (хор1, с = 1) = —, ~'з з приходим к выводу,что сумма первых четырех членов в (10.".38) с хорошей степенью точности (ошибка не превышает 12о/о) опреДЕЛЯЕт 1»вх(х.„, С) ВО ВСЕМ ДнанаЗОНЕ ЗНаЧЕНИй»«„с.
ГРафнК СООтветствующих значений схр'(х.рс, о), полученных прн использовании зависимостей (10.2.74) и (10.2.76), приведен на рис. 10.2.8. Суммируя с»'1Г из (10.2.29) для случаев выхода на орбиту и схода с нее при неизменной высоте орбиты, получим для суммарной характеристической скорости 1»р" выражение Г 1»Р"=1,/ ~ й«Х,(К„С„СОЗР,)+ Р 1»1Г,„(Х,х, О,х, СОЗР,х), в сх (10.2.78) где индексы «в» и «сх» означают выход и сход соответственно; мв = мох = соз Гав=сов реор1(кв~ 11в)с соз сбсх= сов Раор1(ксх~ осх).
Р . Р в сх Требуется при заданных а„а„, с„с„определить оптимальную высоту круговой орбиты Р.„или и,.„, доставляющую сх'вх из (10.2.78) минимум. Как и выше, можно доказать, что для маршрутов А выхода и схода существует м.„, а для маршрутов В значение с»вх монотонно убывает с ростом х,. Поэтому далее рассматривается движение только по маршрутам А, доставляющим глобальный шш 1» сх. Чтобы получить приближенное выражение для е..рь воспольд [Мз) д(ЛГ',„) зуемся для д ' н д '", по аналогии с (10.2.68), (10.2.71), дхв дхсх приближенным соотношением ж — —, ] 3 — фГх) Го [1+ — )], (10.2.79) где  — одна и та же постоянная для выхода и схода. Учитывая, что ох р'(оо, а = сопз$) сопз« в широком диапазоне значений я (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
