Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 76
Текст из файла (страница 76)
10.2.1), откуда йуз = Рз+ Уз — 2(Р„У„+ Р,У, соя у); (10,2Л) адесь п„, У, — радиальные компоненты векторов Р и Ч; пе У,— их трансверсальные компопенты (в соответствующих плоскостях); параметр р и эксцентриситет е гиперболы и, следовательно, все ее параметры в плоскости движения. Векторные параметры движе ния, определенные в системе координат гиперболы 1.1„1., пересчи тываются с помощью матрицы перехода йй = (1~, 1., 1.), (10 1.41) имеющей своими столбцами орты 1„1„1„в основную систему координат х,у,з,. Направляющие косинусы радиусов-векторов р;, проведенных соответственно в точки входа (1 = 1) и выхода (1 = 2) на сфере влияния (рис.
10Л.З), в системе координат 1„11„(„всегда равны одноимпульсные пеРелеты 1 «з.з1 У„= — ея1п д р и Р' у, =- ео во и 6 ~Г т/ »о Ро )' ВР Р о М РР. (10.2.6) (10.2.7) где д — истинная аномалия точки, двпжущейся по орбите ИС.
Подставляя (10.2.3) — (10.2.7) в (10.2.1), используя соотношения (10.1.19) н (см. (1.3.27) н (1.3.34)) := 1+ е соя б, (10.2.8) з 1 Ро з а„' (10.2.9) получим ПУ = 1/ и ~3 + 4е, соя 6+ х + ео — 2е, яйп 0 е я1п д )/ Ро Р— — "' [~( х-'; . Р' + )х|~(ро,Ч~е, 1„) )(, (10.2АО) угол между плоскостями орбиты ИС и гиперболы (7)0, если 'кратчайший поворот от )Р, к и, в направлении вектора Р виден яроисеодящим против часовой стрелки) . Гл Чтобы исключить траектории Р„ с чрезмерно большими импульса- Р и„ Гсл ии скорости, ограничимся рассмотрением случая 7 о~7 2' — 90 <7<90; соя 7 ) О. (10.2,2) На основании (10.1.2) имеем Рнс. 10.2.1. (10.2.3) где «+» соответствует маршрутам А, В+, а « — » — маршруту В .
Используя интеграл энергии (1.3.24), представим Уз и из в виде $"=-2 ~+ — ", (10.2.4) Р ' а оо = — 2 — '+ — '. (10.2.5) Р ао Радиальные и трапсверсальные компоненты векторов Н и ' на основании (1.3.37), (1.3.38) равны 424 оптнмьлы1ык ПСРклкты сФкРА влияния — ОРвитх пс (гл где Х= Р'.
(10. 2,11) Входящие в (10.2,10) величины определяются вместе с (10.2,8) соотношениями, которые удобно записать в виде 1' — '; = 1~ Ф У вЂ” ', (10. 2,12) г е вш 11 = + 1/ е' — / — "' — 11 (10.2.13) ',Р где знак «+» соответствует маршрутам А при сходе с орбиты ИС и В при выходе на орбиту ИС, а знак з — » соответствует марш- рутам А при выходе на орбиту ИС и В при сходе с орбиты ИС, е =1+ (10.2Л4) Р Ра В этих соотношениях — определяется формулой (10.1.19), в ко- Р Р торой В проекциях на эти же оси вектор рз точки перехода равен р» = (совд, з»пд, О). (10.2. 17) Тогда (10,2.18) (10.2 19) сов (1 = (р», Ч~е) = (соз 0 + т в1п б (Р» Чса,),) = — л»совб — (в1пб. Введем обозначение а = 1» + т' = 1 — и», 0 ( о < 1, (10.2.20) Р р (10.2.15) Р» При фиксированных параметрах орбиты ИС и векторе Ч,» ЛУ является функцией радиуса-вектора р точки перехода на орбите ИС и, как непрерывная периодическая функция д, достигает минимума.
Поэтому при любых параметрах орбиты ИС и любом векторе. Ч,» всегда имеет смысл задача об оптимальном одноимпульсном переходе сфера влияния — орбита ИС, т. е. об отыскании такой точки на орбите ИС, в которой достигается ш»п ЛУ при выходе на орбиту ИС или сходе с нее. При определении оптимальной точки на орбите ИС, в которой достигается шип ЛУ, в качестве независимой переменной вместо д удобно взять сов р (см. В. С. Вождаев (1] и раздел 10.2.2). Обозначим направляющие косинусы Ч,» относительно осей )», Ь, ) через 1, л»,п соответственно; Ч~е = (1, лт, и), (10.2А6) 425 однон»«пульсныв первлеты 1 10.21 я вспомогательный угол т: »йпт = =, г' о (10.2.
21 а) (10.2.21б) тп сост = =. р' Тогда соз р = ф'а з1п (6+ т), (р», У,'ф,,1„) = )~ о соз (Ь + т), (10.2.22) (10.2.23) откуда (р», У«ф, )„) ~ = )/о — соз' б, Из (10.2.23) и (10.2.24) получаем соз(6+ т) = + )/ 1 — —, (10.2.25) где, согласно (10.1.2), знак «+» берется для маршрутов А, В+, знак « — » — для маршрута В . При заданном значении Р переход н д производится с помощью соотношений (10.2.22), (10.2.23) и (10,2.25). Отсюда окончательно получаем (10.2.24) з1пд =- — совр+ — » о — соз р, т 1 ° г » о а (10.2.26) = т'кр ~3+ х — 2 ($ 4 + =' + 2 )~л) )~о — соз'11 (10.2.29) где рк» вЂ” г Р— скорость движенпя по круговой орбите ИС радиуса р. Р При заданных а, Р или х =- — и о наидем на орбите ИС точку, в которой достигается ш1п ЬУ. Освобождаясь в получаемом из (10.2.30) соз Ь = + — ) 'о — соз' ~ + — соз ~, (10.2.27) где верхний знак соответствует маршрутам А, В+, а нижний знак — маршруту В .
Из (10.2.24) следует, в частности, что при заданной величине о допустимым диапазоном значений для соз Р является — ) 'о ~( соз () ~( ф'о. (10.2.28) 10.2.2. Круговая орбита ИС. В случае круговой орбиты ИС «ю = О, р = р«и из (10.2ЛО) с учетом (10.2.24) получаем 42В ОптимАльные пеРелеты сФБРА Влияния ОРБитА ис ~гл аа (10.2.29) равенстве — = 0 от иррациональностей, получим для определения оптимальных значений сов р следующее алгебра ическое уравнение четвертой степени относительно сов р: (1 + х) сов" () .+ [4 + (2 + с) к] совз ~ + + [4 + 2а + (1 + 2с) к| сов' (1 +- с(4 + х) сов р + с' = О.
(Ю.2.3Ц Непосредственный анализ уравнения (Ю.2.31) затруднителен За мечая, что х входит в (Ю.2.31) линейно, разрешим это соотношение относительно к и приведем его к виду (совс р ~ 2 сов р+ о)с Т- соз р (с + сов р)(1 + сов р)с ' В случае круговой орбиты параметр х из (10.2.11) (10.2.33) (10.2.32) имеет простой физический смысл. Если в соотношении (10.1.17) сс 2 пренебречь малым членом 2 — по сравнению с с'сф (или, что то рср же самое, положить р,ф = оо), то с учетом (Ю.1.38) и (10.2.30) получим из (10.2.33) ~ св 2 х к(рсф = со) = ~ Кр (10.2.34) (10,2. 35) 0 ((соз Расрс( ( О (~ ) О, 2) х + сс прп сов~- 0 и /сов Я- с. (10.2.36) 3) х= 0 при + сов() =1 — )Г1 — о(а, (10 23') причем каждое из этих значений сов р является двукратным корнем числителя (10.2.32) .
4) Чтобы установить соответствие между маршрутами перелета и ветвями зависимости х = х(сов р, с), рассмотрим выражение (10.2.29) поп х — АСС, В этом случае зависящую от совр часть Соотношение (10.2.32) н результаты численных расчетов (рис. 10.2.2 — 10.2.4) позволяют провести подробный анализ свойств оптимальных перелетов. 1) Поскольку х ) 0 только в промежутках 0 ( сов р ( о для выхода на орбиту ИС и с < соз р < 0 для схода с орбиты ИС, то значения сов р„с заключены в этих промежутках, меньших допустимого диапазона сов р (см. (Ю.2.28)): 42$ ОптимАльныв перелеты сФеРА Влпянип — ОРБитА нс 1гл х (10.2.29) можно приближенно представить в виде Г х 1, 1 — 2 (1~ — + + — )Гх/)Го — сояз(1= 4 1 + сов ~3 — 2 — 2 Р~х)Го — соя'р для маршрутов А, В+, (10.2.38а) 2 Р" а — соз' 6 ~/х 1 + соз 6 для маршрута  —.
(10.2.386) Из (10.2.38а) и (10.2.38б) следует, что оптимальными значениями соя р при х -+. Оо являются: (соя(1),р1=- 0 для маршрутов А, В+, (10.2.39а) (соя р)„, = +- а для маршрута В . (10.2.396) Аналогичное рассмотрение при х — э-0 показывает, что, в соответствии с графиком рис. 10.2.2, различие между маршрутами А, В+ н В пропадает, и дает для (соя 6)ор~ выражения (10.2.37). Эти результаты вместе с численным анализом приводят к выводу, что значения 0 <) соя Р,Р1 ((1 — 1Г1 — а характеризуют оптимальный перелет по маршрутам А, В+, а значения 1 — )Г1 — а ((соя~,р1(< о характеризуют оптимальный перелет по маршруту В . 5) Для ветви А, В+ при любом х (см.
рис. 10.2.3 и соотношение (10.1.40) ) ( соя (1 (х, о) ! ~ (! соя р (х, о = 1) !. (10.2.40) Отсюда и из сказанного в разделе 10.1.3 о соотношении углов 9 и 6 для различных маршрутов следует, что в составе оптимальных перелетов нет перелетов В+. Поскольку, как это непосредственно видно из (10.2.29), пзшЛУ(А, В+) ( ш1пЛИ(В ), то глобальный ппп Ь Р' достигается на дуге гиперболы А, не содержащей перпцентра, для которой 0()соя() р1(<1 ) 1 (10.2.41) Дуга гиперболы В, содержащая перицентр, для которой 1 — 1Г1 — а<(сояр,р1(<о, (10.2.42) дает локальный ш1п Л'г' (рис. 10.2.4).
Наличие оценок (10.2.41), (10.2.42) позволяет при решении уравнения (10.2.31) одним из регулярных методов, например методом Феррари (см. А. К. Сушкевич 111), выделить нужный корень соя борь 6) Пространственный характер перелета описывается лишь одним параметром о (10.2.20) . Прн о = сопя1, т. е. при расположгнпп У,рна ебразующей кругового конуса, у которого ось совпадает с ортом 1„, а половина угла при вершине равна агссоя(~)'1 — а), 429 одноимпульсные пегелеты оптимальные пеРелеты (пРп Условии а = сопят, х = сопаь) отличаются одип от другого лишь ориентацией относительно вектора 1„ и получаются один из другого вращением гиперболы перехода как жесткого целого вокруг оси )„вместе с вектором У,ю Рис.
10.2.4. Результаты расчета зависимостей х = х(совр, о) по (10.2.32) и минимального относительного импульса ДИ(х, а)/У„Р по (10.2.29) с учетом (10.2,32) приведены на рис. 10.2.3 и 10.2.5. Приперелете в плоскостп орбиты ИС о = 1,низ (10.2.32) получаем (исключая корни соа 6 = ~ 1, не дающие ш1п ДК) сое уоР1 ~Р 1 — соа Р— (10.2.43) Это — хорошо пзвсстпый результат (Гобец, Долл (1], Лоуден [6, 8, 191): в плоском случае оптимальным является выход на орбиту ИС плп сход с пее в псрицоптре гиперболы.
Соответствующая характеристическая скорость Дт' == Г„~ ()/2 + х — 1). (10.2.44) Найденному результату можно дать элементарное объяснение. Из (10 2.1) непосредственно видно, что прн плоском (соа ( = 1) переходе сфера влияния — круговая орбита ИС минимум ДР' соответствует максимуму р"о что и реализуется в перицсптре гпперболы. 43О ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ СФЕРА ВЛИЯНИЯ вЂ” ОРБИТА ПС 1Г11. Е В случае перелетов по нормали к орбите ИС (р', У~ф, 1„) = О, о = 0 (10.2. 45) и для всее точек орбиты ИС д)г — )Т„Р(6, . )Бг (10.2.46) Таким образом, в данном случае решения задачп оптимизации не существует; все точки орбиты оказываются в одинаковом положении, и задача сводится лишь к построению гиперболы перелета.
Рис. 10.2.5. Отметим еарактерпу1о особенность завпсимостп Д)г(х, а) для оптнмального перелета (см. рис. 10.2.5). Из (10.2.44) и (10.2.46) следует, что при о = 1 и а = 0 оптнь1альный импульс монотонно возрастает с увеличением х. При значениях же 0 ( о ( 1 кривые Д'г'(х, а = сопз$) для маршрута А достигают минимума прп значенияч х* « 1. ('ау ~1 Вычисляя с помощью (10.2.29) производную д~ — ' дх для М,1~ маршоута А с учетом того, что в (10.2.29) подставлено оптималь- одноныпулъснык перелеты 461 4 10.21 Ное значенпе соя Р.р|(х, а), получим р [ар |ркр~ ) а — соя' Роро (10.2.47) ) )Гх+4((1, соей~~,) Ух ) Полагал в (10.2.47) прн х « 1 величину соя р„, равной его зна~ар"-) ченпю прп х = 0 (10.2.37), получим пз условип д з дх=О следующее прполиженное выражение для х*: х Г 21 У1 — — 1+ 2 У2 — (1 — а) |~ч )' ~/1 — а — 1+ а ~ Прполиженные значения ха (10.2.48) вместе с точными значенплмп ха = х*(а), полученными численно, показаны на рис.
10.2.8. При значенилк х ) х* величины оптимальных импульсов Лр'(х, а) ),=„„о 0 < а < 1, монотонно возрастают с увеличением х. При х» 1этот результат можно получить аналитически (см. нн- лд же). При х = сопя1 ЛУ(х, а) молотов- Д-', но уменьшаетсп с ростом а. У Хотя решение уравнения (10.2.3'1) относительно соя 'Р при заданных а их может быть найдено одним из регулнрнык методов, вследствие громоздкости выражений длп корней практический ~ / интерес представляет получение простых прнближенныхрешенийэтого урав- ~ / пения, что осуществимо, когда известно точа решение этого уравпеипп прп каппа †:п|бо зпаченинх параметров х н Рвс, 10.2.6.
а, путем разложении решения в рлд по малому параметру. П гс кольку, согласно ( 1 О, 2.38 ), соя э,ю (Л ) -~ О, соя 6„, (В ) — |- а прп ': — х со н а|обем а, получим, подставляя в (10.2.32) разложение соя р,,р, в рад по степеням 1!х, приближенное решение при х» 1. — соя ~,р|(А) = —. [1 —, -'; О ~ — „)1 (10.2,49) + соя(3,р|(В ) .=- а [1 — — + 0 Я) (10.2,50) 432 оптимлльныв пкгвлвты савел влипниЯ вЂ” отпита ис Юл л Из (10.2.34) следует, что случай х » 1 соответствует равенству 1г,.«» Р„„ (10.2.5!) которое иа практике пря полете к Луне (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
