Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Поэтому дальнейший анализ проведем для указанной выше схемы двухпмпульсных перелетов. Эаметим, что при этом траектория КА оказывается целиком расположенной между сферой влияния планеты и сферой с радпусом, равным радиусу орбиты ИС. двухпмпульсныв «первлвте1 457 В «а.з1 Для дальнейших рассмотрений в этом разделе будем пренебрегать малые«членов; 2««/р а в ( 10.1. 17) п полагать (см.
( 10 2 34) ) 1« ,а з ~ ««р (10.3.2) обозначим (рнс. 10.3.!) через Чм о вектор скорости КЛ па сфере влияния до сообщения импульса, через Л««,«, — вектор импульса скорости. Введем правую пря«моугольну«о систему координат хуз, начало которой совпадает с концом з вектора ««'.,«о, срт осн з га!! «'.,«, а, орт осн у уа!1И», 1~,«, а]. Вектор Л'««„«, задаем «У«р сферическими коордннатамн: величиной У„«:, долготой Х, отсчитываемой от осп х в плоскости ху против ча- совои стрелки. если смотреть с осн з, широтой «р, отсчитываемой от плоскости ху, з13«««р = з1дп з.
Меньший нз углов между ! п У„«,а обозначим через «а. Пусть (см. (10.2.20)) оо —— з1п'(,1„, У,ф о) = а!паса, (10.3.3) уз (10.3.4) К~ После сообщения импульса на сфере влияния (( сфа, 1«)+( 7«ф )а)1 2 1 сф Рис. 10.3.1. (1о.з.б) (10.3.6) я= аф нз «р где ««ар! = 0 при а" ( (10.3.8а) (10.3.86) Лар« = л при са) —. 2' рсф = !'с<во т Лрсф т 2Л!'аф оЛ1гсфз1п ««о (10 3 7) Поскольку оптимальный импульс перехода на орбиту ИС монотонно уменьшается с ростом о (см. рис.
10.2.5), а я не зависит от Х, получаем, подставляя в (10.3.5) ЛУ,ф (ЛУ,а, ), «р), что при оптимальной ориентации импульс расположен в плоскости вектоРов )„и 17«фа: 453 оптимальные пегвлеты ссьеРА Влияния — ОРБптл пс ~гл Х Таким образом, прн оптимальной ориентации импульса ЛЧ,ф [Г,ф о соз а+ Ьг'сф Я1в (ф — а Я13в соо а))о о — 1 (10.3,9) ~ сф Заметим, что случаи а и л — а (рис. 10.3.2) разлпчаяотся лишь симметричным расположением соответствующих векторов 7„,, и Ч,фо относительно плоскости орбиты ИС. Обращаясь к разделу 10.2.5, замечаем, что это соответ г,Ь ствует симметричному отображе.
нню оптимального планстоцентрнческого движения относнтель„, т и,,г я Л=Ю но плоскости орбиты ИС. Пара- Р метры гипербол перехода для т-а этих случаев п величины нмсн пульсов на сфере влияния я в ! Я1г ~ ~ Д~~~ЯЩ7 точке перехода на орбите ИС одни н те же, плоскости же гипербол, векторы У,с, ЛЧ,ф нУ,ф, Яг)" чя Лчсф расположены симметрич! Р, г но относительно плоскости орбиты ИС. Следовательно, прл l анализе оптимальных двухимА=.т пульсных перелетов достаточно ограшлчиться исследованном Рлс. 10.3.2, и случая а ( †' .
2 ' Суммарная характеристическая скорость дзухпынульспого перелета ЛРя равна ЛРя = ЛИ(Я, о)+ ЛР.ф, (10.3.10) где ЛР(м, о) — оптимальный импульс в точке перехода па орбите ИС, подсчптываемый по формуле (10.2.29) (маршрут А) для параметров ос (10.3.6) и о (10.3.9). При задаяшых мо п оо (илн а) задача нахождения оптимального двухимпульсного перелета сво- днтсЯ к нахождению значений ЛР,ф„, и сР„о длЯ котоРых (10.3А1) ЛРв со~ = 1.1 (ЛР (', и) + Лр,ф) (яг,ф,ф) Покажем, что сообщение КА импульса на сфере влияния, только уменьшающего р,ф о и но изменяющего направления Ч,ф о(ср = = — — ), всегда невыгодно. Для значений параметров (1) оо = 1 (2) оо = О, (3) яо » 1, и » 1 этот результат можно получить двухпзшулъспык перелвты з из! налитическп.
В рассматриваемом случае (10.3.12) Заметны, что прп о = 1 ~ о = 0 величину иыпульса перехода на орбите ИС ЛУ(х, о) на оспованпи (10.2.44) и (10.2.46) можно записать с поз;ощыо одпого соотпошения: ЛУ = У„р(3 — о+ х)ьх — о, о =1 пли О. (10.3.13) црн о = ор = 1 пан о = ор = 0 из (10.3.10) с учетом (10.3.12) и (10.3 13) получаем = 1 или О. ('10.3.14) Е Вычпсляя с помощью (10.3.14) — х, имеем дЛУ,е ' Из (10.3.15) прп любых У,а о ( со н ЛУ,р ( У,ь р приходны к не- равенству ,';," )о, (10.3.16) откуда для ар = 1 и ор = 0 получаем нужный результат. Для то- го чтобы получить аналогичный результат для значений ха)) 1 —:2, х )) 1 —: 2 н любых о, воспользуемся аппроксимирующей зависи- мостью (10.2.62). Подставляя (10.2.62) в (10.3.10) и вычисляя дЬУ при о = сопз1 производную с учетом (10.3 12) и тождества дЬУ,е — х — "у'о = =(2 + о + х — 2 )' 2 + х )~ о) ~~, (10.3.17) получаеы — — — +1)0 деготь (2-';х — 2 ~Г2-(-х~lо)П у2+х (10.
3.18) пРичем знак равенства имеет ыесто только при х -+. со. Из (10.3.18) с учетоы сказанного относительно аппроксимации 4СО ОПТИЗ1АЛЬНЫК ПКРКЛКТЫ СФКРА ВЛПЯППЯ вЂ” ОРБПТА ПС юл (10.2.62) получаем дамх — ) 0 прп 1 —:2(к( ао. сф (10.3.19) дарх 1 Численное определение производпоп в области 1 сф )а=аспас 0 ( к (:1 приводит к тем же результатам. Такиы образом, сооощение КА на сфере влияния тормозного импульса всегда невыгодно. Пусть теперь импульс ЛЧ,ф используется толы'о для увеличо- ниЯ о, так что Р',с и х остаютсЯ оДними и темп лсе ДКЯ РассматРпваемых значений ЛЧ с: (10.3. 20) Усф — 1' сфа " ка Обозначим угол между векторами У,ф и Усф а через сэ (си.
рис. 10.3.1) . Воспользуемся снова аппроксимирующей зависну з постыл (10.2.62). Можно показать, что при ка» 1 д — дса> ~ кр ) О, и сообщение КА импульса для увеличения о невыгодно. Смысл этого результата достаточно ясен нз формулы (10.2.62) и графиков рис. 10.2.5: при больших У,се и кс )> 1 для значительного изменения ориентации Ч,фс требуются большие импульсы Лр,с, сравнимые с У,ф а, прн этом выигрыш в Лгс становится относительно малым.
При малых 0 ( асс ('1 возможны ситуации, дув / когда д 1 1 дю ( О. Смысл этого результата также достаточно акр ясен пз графиков рис. 10.2.5: при малых Р',с с и хс « 1 значительного увеличения о и, следовательно, значительного уменьшения первого члена ЛУ(х, а) в (10.3.10) можно достичь малыми по величине импульсами ЛК,„. В частности, при х — +-0 можно получить о = 1 и реализовать максимальный выигрыш в ЛУ, при исчезающе малом импульсе ЛГ,Р-+-О. На основании проведенного качествепного анализа можно с достаточным основанием полагать, что область предпочтителы1остп двухизшульсных перелетов перед одноимпульспыкш соответствует в основном малым значениям кс ( 1 и в этой области роль импульса ЛУсф сводится в основном к максимальному увеличению о.
Что касается больших значений ха )> 1, то здесь при любых ос оптимальными должны являться одноимпульсныо перелеты. Заметим, что численный анализ (см. разделы 10.3.2 п 10.4.3) полностью подтверждает этот качественный прогноз. Обозначим через ЛЧ„наименьший по модулю вектор ЛЧсм для которого вектор ЛЧ, а+ ЛУ„1, ортогоналеп 1, (рис. 10.3.1).
двххпмпульснык пкрелкты З ло.1( 46! для соответствующих значений Л1'„!л'„р п ~р = Чр получаем — * = )/(1 — а,) х,, (10.3.21) вр а — ~р. з1яп сов а = —, х 2' (10.3. 22) (10.3.23) ак„ з1лл ~р -- — —" = — "р 1 — а . Рассллотрилл возможную область значений гр„, при заданном значении Лл'„л, ограничиваясь для определенности случаем а< —, горл — 0 (рис. 10.3.3).
Пусть Л)г,р (~Л)ге( К,р о (рис. 10.3.3, а). Опишем из конца вектора Ч,со окружность радиуса Л1',р. Максимум а = а „, соответствует касанию вектора Ч,ос+ ЛУ,р указанной окружности. лй .1хр ~срр аби *- '1' Рзс. 10.3.3. Обозначим соответствующие значения ЛУ,р и ~р через ЛЧ, и лр,. При ллобом другом а, ао < а < а „„, получаются два возможных импульса ЛЧ,о: ЛЧрр1 с ор1 < ср„ЛЧ,р о с ~рл ) ~р,. Напомним (см. раздел 10.2.2, рис.
10.2.5), что величина оптимального импульса перехода па орбите ИС Л)г(х, а) при а = сопел и х ) х* (см. Рис. 10.2.6) монотонно возрастает с увеличением х. Поскольку 1Чсоо+ ЛУ„л ~! ( ) Ч.,л о+ ЛЧ ел), на основании сказанного имеем для х ) х* Л р х (ЛУое! ) ( Л) е (Л~ лез)' (10.3.24) поэтому — — ( орорл~ (Ч'о (0 (10.3.25) 482 оптима 1ьпык пкРвлеть| сфеРА влияния — СРППТА пс ~гл .х С Увелпчеппем ЛУаф Угол 1г.
УменьшаетсЯ. ПРп ЛГ,ф = Л)' птах .= 1 1га = Фа ° (10.3. О) Пусть теперь ЛУР( ЛУаф ( Уафо (рис. 10.3.3, б). Постропп, как п в предыдущем случае, вектор ЛЧ,(ЛИ„1р,). Из точки О проведем прямую ОА под углом я~2 к )„. Для векторов ЛЧ„,, Е = = 1, 2, концы которых лежат на этой прямой, о = 1. Поскольку о(Ч„',,'+ ЛЧаф1) =1 и (Чафе+ ЛЧ,ф1) = ш1п (Ч,ф+ ЛЧ,ф(, (10.3.27) г 2~ ю Р~«Р~ (10.3.28) Область, в которой находится ЛЧ,ф, 1, на рис.
10.3.3, б заштрихована. Пусть теперь Л У,ф монотонно возрастает п Л а',ф -~ 'а'.аа — О. Тогда 1р1 монотонно убывает п ара-а- †" + О. Но тогда пз (10.3.28) следует, что и 1Роаа + 2 + О. Вектор Ч,а — ~+ 0 следует считать лежащим в плоскости орбп- ты ИС. При этом реализуется пш1 Л Ув ~)ауаф=уафе — е = Л)г(х = О, о = 1) + )г фе (10.3.31а) пли ЛУ ппп= =)Г2 — 1+ Р к,. укр (10.3.31б) Очевидно, что дальнейшее увеличение Лу,ф нецелесообразно.
Более того, предельный случай (10.3.29), (10.3.30) эквивалентен уменьшению )г,фа без изменения о, что, как было показано вьппе, всегда невыгодно. Таким образом, в случае оптимального двухимпульсного перехода при У,ее ) 0 всегда Лраф ора( )Гаф О. (10.3.32) Аналогичные результаты получаются и при а) 2 )арс = и. то теперь (к» и*) Р <'Р1Р1(ГР1<%~. В результате +ЛЧ, (р ) +О. (10.3.29) (10.3.30) 463 двух11мпульсные перелеты Э »аз! 16.3.2.
Численное исследование. Результаты качественного анализа оптимальных двухимпульсных перелетов были использованы при пх численном исследованпп. В соответствии с (10.3.32) а ус. Г,— ВЕЛИЧППа Лу,ь/Рк, МЕНяЛаСЬ В дИаПаЗОНЕ 0« — 1 я,. кр На рис. 10.3.4 для оо — — 0,6 п ряда значений хо приведены зависимости А~ Х ('СО' ОО~ А~ сф/1'кр)Л' кр = = '" »орх(яо о Арсе/Укр, »р)!ркр (10.3.33) () полученные путем минимизации по ср, — 90' < со < О, суммарного импУльса АЧ, (10.3.10) пРи Л'к',о/Ркр = солей гх о Уст»» .ск Рис.
16.34. Приведенные результаты расчетов полностью подтверждают результаты качественного анализа. Видно, что при малых хо двухимпульспые перелеты (ЛГ,о/Р'„о ) О) могут быть выгоднее одноимпульспых (ЬР',о/Уко = О). Оптимальным двухнмпульсным перелетам соответствуют точки минимума на кривых (10.3.33). На этом жо рисунке для тех же значений мо и оо приведены зависимости (см.
в конце раздела 10.3,1 анализ рис. 10.3.3) А~ х(яо оо АЧо)/~ кр для А) се<~А) к (10 3 34 Лрх(яо, оо, ЛЧсф»)/рко для Ар"сф) Ар'»,. Видно, что в тех случаях, когда двухимпульсный перелет выгоднее одноимпульсного, Лй', из (10.3.34) очень близки к точным значениям (10.3.33). При этом ЬЧ,о.о»/Ч„о очень близко к КЧ./Ч„о (10.3.21). Аналогпчные результаты получаются и для других значений 0<а,<1. йз4 оптппАльпые ппРелеты сФеРА Влияния — ОРБИТА пс 1гл Путем численного сравнения оптимальных значений Л)1: д.
для одноимпульсных и двухимпульсных перелетов была найдена г граничная кривая Р',аз/$'„,(оз), разделяющая область начальных ус Повий аю и У,фз1"г'цр ='Р' кз на две части, в каждой пз которых выгоднее или двухимпульсный или одноимпульсный перелет (рис. 10.3.5). Видно, что структура этих областей соответствует проведенному выше качественному анализу, в частности: 1.~-'Р "; (а) полупрямая мс)~ О, оз = 1при- надлежит областп одноимпульсных пей,: ' ' ' (б) промежуток ко = О, 0 =' оо < 1 принадлежит обласгп двухимпульсных перелетов. Посколыгу для всех точек этого промежутка с помощью импульса Л'Р',ф-+-0 можно получить о = 1, прп мз — — О, ,~йХМ1П~~ГЬОЕЕ 0 0 оо < 1 характеристическая скорость оптимального двухимпульсного перелета получается одной и той же: р Е11Р1 (Еэ 0 0 < оз ( 1 ) дз = 1пХ ДТ'в= — ЛЧ(х, = О, о, =1), рпс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
