Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 85
Текст из файла (страница 85)
В качестве указанных компонент векторов р(оо ), з(го ) можно взять соответствующиекомпонентывекторовр( го ), е(7о )(10.4.80). 4) Выбирая равенство (10.4.23) в качестве условия остановки процесса интегрирования, имеем в точке 1 = Г~ шесть условий (10.4 19), (10.4.24), (10.4.25), которым должна удовлетворять оптимальная траектория. Подбор задаваемых в начальной точке параметров проводится обычными численными методами решения двухточечных краевых задач (см. Г. Л. Гродзовскпй, Ю. Н. Иванов, В. В. Токарев [1), В. К.
Исаев, В. В. Сонин [1), Ланс [1), Р. Лн [1), Н. Н. Моисеев [1), Моррей [1), Хедли [1) ). Численное решение соответствующей краевой задачи на ЭЦВМ (см. раздел 10.4.3в) выявило, что при применении указанного алгоритма важное значение имеет выбор признака конца активного участка Го . + Это объясняется сильной чувствительностью скорости аппарата к изменению длины активного участка. Использование условия 0(го ) = з(го ) + Ро (го ) = 0 (10.4.84) в качестве такого признака оказывается не совсем удобным, так как, согласно приведенным оценкам, на активном участке д(г) « 1 при ЛЕо « 1, (10.4.85) в то время как )ро[ж1, зж1 прп ггг ((1, (10,4.86) в результате чего накопление ошибки в р, и з оказывает заметное влияние на величину О.
Поэтому условие (10.4.84) удобно заменнть другим условием, однозначно определяющим длину актпвно- 483 ОПТИМПЗАЦ44Я СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТА а!0.4) го участка; в качестве такого условия можно взять достижение в Г +) конце активного участка заданной величины скорости У )сс ) равной, на основании интеграла энергии (1.3.24), И()с ) = ~/)'сф+ 2 ( — — — ).
(10,4,87) '4Р,ф (4+) ! При таком выборе призпака конца активного участка условие на сфере влияния ~'()4) = Исф (10,4.88) всегда выполняется, поэтому количество краевых условий на сфере влияния уменьшается на одно. В качестве дополнительного условия, замыкающего краевую задачу, можно теперь взять условие (10.4.84) обращения функции переключения в нуль при значении ГС~, определяемом из (10.4.87).
10.4.3. Результаты численного решения для круговой орбиты ИС. В случае круговой орбиты ИС систему координат худ (см. раздел (10.4.1) удобно выбрать так, чтобы вектор 4),с находился в плоскости хз меясду положительными направлениями осей х и з (рис. 10.4.2); в проекциях на эти оси Ч„= ~'„(1 о, О, )Г1 — и).
(10.4.89) Рсф ~~ 1 Рс (10.4.90) При этом как в случае импульсной, так и конечной тяги рассматривались точпые ретпепия вариациопных задач для конечных спачоппй Рсе< с (10.4.91) Ро Конкретно далее везде рассъсатривался старт с круговой орбиты ИС Луны высотой 300 км пад ее поверхностью с выходом па Зт* Поскольку задача решается в безразмерном виде, выбор размерного радиуса орбиты ИС рс и размерного ра- Рвс. 10.4гс диуса сферы влияния планетыр,сне имеет принципиального значения.
Однако, поскольку в дальнейшем попользовались результаты приближенного исследования з 10.2 и з 10.3. ка эти размерные радиусы налагалось условие 484 ОПТИ11АЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ СФЕРА ВЛИП1ШЯ вЂ” ОРБИТА ИС Шл сферу влпяппя Луны. При этом (см. таблицу 11.4.1) ~'Ф = 32 385. Рв Подчеркнем еще раз, что величина рсе/ро входит в решение вариационной задачи только через условие остановки процесса нп тегрирозапия (10.4.23) плн (10.4.31), определя1ощее продолжительность полета КА, н через соотношение (10.4,92) где У,Ф вЂ” скорость движения по круговой орбите радиуса рз (см. (10.2.30)), получаемое из (10.1.17) и (10.2.33) и определяющее У,з при заданных х и р з/рз. Из сказанного ясно (см.
разделы 10.1.3, 10.2.2, 10.3.1), что при условии (10.4.90) конкретный выбор величины р„,/рз не оказывает практически никакого влияния па структуру оптимальной траектории и численные результаты. При фиксированной величине р,з/рз решение вариационнойзадачи, рассматриваемой в безразмерном виде, зависит лишь от вектора Ъ',ю т. е., на основании (10.4.89) и (10.4.92), толькоотпараметров к и О. Во всех случаях решения краевых задач фазовые и сопряжеипые переменные вдоль траектории находились численным интегрированием на ЭЦВМ соответствующих систем уравнений. Такой подход для импульсных траекторий был выбран нз методических соображений, поскольку ои давал возможность апробировать наиболее общие алгоритмы решения краевой задачи (см.
раздел 10.4.2, 2'), применимые как в ньютоновском, так и в произвольном гравитационном поле, и выяснить эффективность указанных общих алгоритмов, блнзннх по своей структуре к общим алгоритмам решения краевых задач оптимизации импульсных перелетов. В случае же траекторий с конечной тягой такой подход обусловлен отсутствием аналитического решения для фазовых и сопряженных переменных на активных участках (см. раздел 10.4.2, 3"). Ввиду схожести общих алгоритмов решения краевых задач с конечной н нз|пульспой тягой (см. раздел 10.4.2, 2' и 3') прн этом оказывается возможным как для конечной, так и импульсной тяги нспользовать с незначительными изменениями одни и те же программы решения краевых задач па ЭЦВМ.
Последнее обостоятел1.- ство имеет немаловажное практическое значение. Для реализации итерационного процесса нахождения точно~о численного решения краевой задачи во всех случаях использовался метод Ньютона (см. В. К. Исаев, В. В. Сонин [1), Н. Н. Моисеев [1], Хедли [Ц). 4аб оптпмизлцпя схемы пегелвтл о ~о.Н а) Проверка оптимальности приближенного импульсного реигеиил.
Проверка оптимальности известного импульсного решения проводится с использованием алгоритма раздела 10.4.2, 2'а. При известных х и а и заданной схеме перелета оптимальные одно- нли двухимпульспая фазовые траектории приближенно находятся на основе рассмотрений, приведенных в разделах 10.2.2 и 10.3.2. Если эти схемы перелета оптимальны, то полученные для них истинная аномалия бо точки старта с орбиты ИС и вектор импульса Ь'о'(1о) приближенно, с точностью решения задач в разделах 10.2.2 н 10.3.2, являются искомыми оптимальными параметрами в начальной точке траектории.
При этом находится также вектор з+(1о) (см. (10.4.36) ). В результате в начальной точке произвольно можно задать лишь одну компоненту вектора р+(го), в качестве которой была выбрана компонента р„о =— р„(~о). Если +=— + принятая схема перелета оптимальна, то должно найтись такое значение р„о, при котором одновременно удовлетворяются + (10.4.50), (10.4.51) и будет (см. (10.4.39), (10.4.40)) в(11) ( 1 для одноимпульсного перелета, в (11) 1 для двухимпульсного перелета. На рис.
10.4.3 — 10.4.6 приведены примеры зависимостей г (1~), ~р1(г1) и срз(г1) от р о, гдеср~(11),рг(о1) — певязкивкраевыхусловиях (10.4.50), (10.4.51) соответственно. Из приведенных данных видно, что невязки ср1(о1) и с~о(11) практически при одном и том же значении р„о обращаются в нуль. При этом же значении роо + +~ функция в (й) достигает минимума; величина в (11) удовлетворяет указанным выше условпям.
Такой же характер указанных зависимостей получается при других к, а и прн изменении р„о в более широком диапазоне ( — 1 ( р„о ('+ 1). Минимальная + ошибка в выполнении условий (10.4.32), (10.4.50) и (10.4.51) для одноимпульспых перелетов составляет 10 з. Для уменьшения ошибки в условии (10.4.32) при приближенной оптимизации двухнмпульсных перелетов была учтена конечность размеров сферы влияния (в методике з 10.3 вместо (10.3.2) рассматривалось соотношение (10.4.92) ). В результате минимальная ошибка в условиях (10.4.56), (10.4.50), (10.4.51) составила 10 з, а в условии (10.4.55) — 10 '. С помощью найденного значения р„о находился вектор р (1о), + + и сопряженная система интегрировалась вдоль траектории от 1о к Гь Соответствующие функции в(т) показаны на рис.
10.4.7 для одпонмпульсных перелетов н 10.4.8 для двухимпульсных перелетов штрнховымп линиями. Из этих зависимостей следует, что после уточнения соответствующих решений (точного определения импульсной траектории перелета и нахождения соответствуюЩего решения сопряженной системы, см. ниже пункт б)) можно 416 си~иилиииыи ии~иии~ы сеирА иииииии — срии~А ис си и. и Рг Рг Рис. 1О.4.3. Рис. 10.4.4. 4ЯЗ оптпмлльныв пкгклкты счжгл влпнннп — отшил ис ~г,~ с достаточной уверенностью ожидать подтверждения строгой ло кальной оптимальности рассматриваемых перелетов.
б) Решение краееой задачи для импульсной тяги. Краевая за дача решалась в соответствии с алгоритмом, изложенным в разде ле 10.4.2, 2'б, с использованием метода Ньютона. ге е,ш В Ряс. 10.4.7. Начальные прнблиноения для 0о, Л'т'(1о) и з+(Ео) брались из приближенного импульсного решения (см. разделы 10.2.2 н 10.3.2), а для р„(го) — из расчетов предыдущего пункта. Крае- + вые условия (10.4.32), (10.4.50) и (10.4.51) для одноимпульсных перелетов были выполнены с точностью 10 о, а краевые условия (10.4.55), (10.4.56), (10.4.50) и (10.4.51) для двухимпульсных перелетов — с точностью 10 з.
На рис. 10.4.7 для одпопмпульспых перелетов н рнс. !0.03 для двухнмпульспых перелетов приведены примеры походных и окончательных зависимостей з(г(о)),поскольку, как показали расчеты, зависимость г = г(1) практически близка к линейной. Поведение функции е(г) объясняется, очевидно, установлепньо|и в разделах 2.2.4, 3.2.3 общими свойствами решения сопряженной системы на кеплеровых траекториях, проходящих через бесконечно удаленную точку. Поскольку положение точки старта с орбиты ИС выбирается оптимальным, в атой точке (см. (10 4.34) ) й+(Го) = 0 (в масштабе рис. 10.4.7, 10.4.8 зта особенность крпвой е(1) пе воспроизводится).
Качественные особенности зависимостей е(г) (или соответствующих зависимостей г(1)), приведенных па рпс. 10.4.7, и 10.4.8, являются общими для оптимальных импульс пых перелетов орбита ИС вЂ” сфера влияния. Сравнение зависимо- оптпмнзз цпя схимы пввилктх з 1ап ей з = з(г) па рис. 10.4.7 показывает, что по мере приближения параметров к, о к области оптимальности двухимпульсных перелетов (см. Рис, 10.3.5) функция з(г) деформируется, принимая характерный для двухимпульсных перелетов вид (см.
Рис. 10.4.8). Ряс. !0.4.8. С целью численной апробации условия строгой локальной оптимальности (10.4.40) в области оптимальности двухимпульсных перелетов для значений параметров х = 1, а = 0,6 (см. Рис. 10.3.5) был приближенно найден оптимальный одноимпульсный перелет и затем решена соответствующая краевая задача (т. е. выполнены все краевые условия для одноимпульсного перелета, являющиеся необходимыми условиями оптимальности (стационар- ности) перелета). Согласно общей теории импульсных перелетов (см.
$2.2) для соответствующей зависимости з(г) на рис. 10.4.7 Условие строгой локальной оптимальности перелета (10.4.40) оказалось нарушенным. Переход к оптимальному двухимпульсному перелету (см. соответствующую зависимость г(г) на рис. 10.4.8) сРазу же привел и выполнению (в пределах точности численного Решения краевой задачи) условия строгой локальной оптимальности перелета (10.4.40).
На основании проведеппого численного исследования вариационной задачи для импульсных перелетов можно сделать следующий основной вывод: Одноимпульспая и двухимпульсная траектории являются строго локально оптимальными траекториями перехода между круговой орбитой ИС н сферой влияния планеты, в зависимости от ве- 49О ОптГГъ|АльГГые пеРелеты ОФИРА ВлиянГГЯ ОРБитА ис шл х личипы и ориентации относительно плоскости орбиты ИС вектора скорости КА на сфере влияния ЧГ и Параметры оптимальных тра екторий приближенно, с достаточной степенью точности, могут быть определены с помощью методов и данных, приведенных в разделах 10.2.2 и 10.3.2. в) Решение краевой задачи для конечной тяги. Ниже приведе пы результаты решения краевой задачи для конечной тяги, полученные А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
