Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 82
Текст из файла (страница 82)
1й3.5. р:пи,ач~ф) (10.3.35) где ЛЧ (яо = О, оз = 1) совпадает с характеристической скоростью соответствующего одноимпульсного перелета. Обращаясь к соотношению (10.2.44), получаем Л$ хоР1(ко = 0~ 0< <по <1) = )~ 2 — 1 (10 3 36) РассмотРим полУпРЯмУю ко ) О, ос = О.
ПРи оо 0 (илп а 0) вектор ЛЧ,Р „1 — ЛЧ. паправлен примерно по вектору — Н,фо (см. рис. 10.3.3). Но, как было показано выше в разделе 10.3.1, при оо = 0 и ЛГ,Р < У,фз вектор ЛЧ.Р.Р1 не может быть направлеп по — Ч,фф Естественны11 разрешением этого противоречия, согласующимся с проведенным выше качественным анализом оптимальных двухимпульсных перелетов, является предположение о том, что при оз = 0 (10.3.37) при этом вектор Ч,ф = Ч,ф о + ЛЧ,Р „1 = 0 следует считать лежащим в плоскости орбиты ИС (см. (10.3.31) ). Считая (10.3.37) справедливым для всех хз и приравнивая значения характеристической скорости из (10.3.31б) и ЛК)$"„Р (10.2.46), найдем, что прн оо = 0 граничное значение 3/е,, разделяющее области опти- 466 оптпмпльныв пврвлеты сФврп в шяппя — Орвптх пс ~гл мальпых одпопмпульсных п двухимпульсных перелетов, равно )~'хо — — 2 + ) "2 .
(10.3.38) Непосредственный численный анализ подтверждает этот результат (съь рис. 10.3.5). Аналогичный, хотя и полученный из сравнения рациональных (неоптимальных) схем, результат приводится в работе Гантера (1). На рис. 10.3.6, 10.3.7 приведены параметры оптимальных импульсов на сфере влияния Лг',оор,(хо, оо), <рорс(хо, оо) и соответствующпевелнчиныЛКо(хо, оо), оро(хо, оо).
Видно, что векторы ЛУ„, „„., и ЛУо близки между собой всюду, за исключением окрестностп граничной кривой рис. 10.3.5 при оо ) 0,6. Из приведенных на рис. 10.3.8 точных значений Л)го.р~ и соответствующих значений ЛРо(хо, ао, ЛУо) для двухпмпульсных г .~,р Ы л о Рпс. 10.3.8. перелетов видно, что практически во всех случаях относительная лу (йу ) — ау ошибка не превышает 5%. Таким обра- ~~ хоро аом в тех случаях, ногда двухимпульсный перелет выгоднее одно- импульсного, в качестве достаточно хорошего приближения к оптимальному импульсу на сфере влияния моя но взять вектор УЛ"', з !з.'д двухимпульснык пкгвлеты 467 авпый иаппепыпему по величине вектору ЛЧеи прп котором вектор Ч„, = Ч,аз + ЛУ„„становится компланарным плоскости орбиты ИС (см. (10.3.21) — (10.3.23) и рнс.
10.3.1) . Заметим, что отмеченное па рис. 10.3.6 и 10.3.7 различие между векторазш ЛУ.ь„! п ЛУ„при оо = 0,6 в окрестности гранины, отделяющей область двухимпульсных перелетов от области одноимпульсвых (сп. Рпс. 10.3.5), не оказывает, как видно нз данных рпс. 10.3.8, влияния на предыдущий результат. Это объясняется тем, что в окрестности граничной кривой величина ЛУ* прп ср — !р„„! практически не зависит от Л)г,ь (с!!. Рис. 10.3.4). Сравнение !Р„г! с!рв показывает (см. Рис. 10.3.7), что !~,.„! несколько меньше !Рз. Прп этом о,„! (см, (10.3.9)) практически пе меняется, о,,! '1, а к„! (к(ЛУз) (см.
(10.3.6), (10.3.7)), за счет чего п достигается полная мнннмизация Л)', в оптимальном двухимпу льспом перелете. Из приведенных на рис. 10.3.8 данных видно, что прн палых оэ — — 0 —:0,5 (угол между Ч,фз и плоскостью орбиты ИС ) 45') и малых яз = 0 —: 1,0 (значення относительной скорости КА на сфере влияния 1г,ьэ/1г„., = 0 —: 1,0) оптимальный двухнмпульсный перелет даст существенно меньшие значения Л!',, чем оптимальный однонмпульсный перелет (ЛУ, может снижаться более чегн в два раза).
рассмотрим теперь, как изменятся полученные результаты при переходе от перелета сфера влияния — орбита ИС к перелету орбита ИС вЂ” сфера влияния (рис. 10.3.9). При этом вектор У,аз меняет знак н составляет с ортом )„угол я — а. Указанный переход можно разбить на „!,/и два: (1) рассмотренное ранее кп (см. разделы 10.2.5 н 10.3.1) симметричное отображение г3 гч вектора Ч,„з относительно ! ! ', ~ э,гг "..'!ге плоскости орбиты ИС (см. рис. 10.3.2) н (2) поворот „ !! Р т;.:;: '.к-, * вектора У,аз, симметричного ' 7 вектору У,фа, вокруг орта 1.
на угол л. Рвс. 10.3.9 В результате прн оптимальном двухимпульсноп перелете векторы ЛЧ,ь н Ч,з заменяются на векторы — ЛЧм, и — У,ы Очевидно, что в системе сферических координат, связанной с векторами )„и — У,ь з, вектор — ЛЧ,ь имеет ту же широту %,!, что и вектор ЛЧгы в системе координат, связанной с вектоРами )„п У,вы соответствующие же значения долготы Х„„! отлича!отса на я (см.
(10.3 8) ) ° Зол 463 Оптио1Альнык ПЕРклготы сФКРА Влияния — ОРБитА пс (гл 4 10.4. Оптимизация схемы перелета 10.4.1. Постановка вариационной задачи. Общая постановка вариационной задачи дана в разделе 10ЛЛ. На основании резуль татов решения задач об оптимальных импульсных перелетах (см. разделы 10.2.2, 10.2.4 и $10.3) можно ожидать, что 1) одно- или двухимпульсная траектории перелета (с одним илн двуми активными участками соответственно), на которых один импульс сообщается КА на орбите ИС, другой — на сфере влияния, являются решениями вариационной задачи в соответствующих ооластях (см.
раздел 10.3.2); 2) малая эллиптичность орбиты ИС пе оказывает влияния на количество и расположение на траектории перелета импульсов или актпвпых участков. Как п в разделе 10.3.1, будем полагать, что в случае круговоп орбиты ИС (см. раздел 10.4.3) оптимальная траектория перелета не выходит за пределы сферического слоя, ограниченного снизу сферой с радиусом ра, где ро — радиус орбиты ИС, н сверху— сферой влияния.
Орбиту ИС в общем случае считаем эллиптической и задаем теми жс параметрами, что и в разделе 10Л.2 (см. рис. 10.1.2). Выберем планетоцентрическую правую прямоугольную декартову систему координат луз: ось х направлена по орту ), ось у — по орту )о. ось з — по орту )„. Для определенности и удобства решения краевых задач (см. раздел 10.4.2, 2', 3') далее рассматривается задача об оптимальном перелете орбита ИС вЂ” сфера влияния планеты. Начальную точку на орбите ИС обозначаем О, конечную точку па сфере влияния обозначаем 1; соответственно индексируются все величины.
Начальный момент времени го = 0; конечный моне-1т времени г1 и, следовательно, время перелета 1о1 не заданы. Задачу записываем в безразмерном виде (см. раздел 1.2.1, соотношения (1.2.8) — (1.2.13) ), относя все линейпые размеры к по=ро (10.4.1) а скорость — к (10.4.2) Ро ' где ра — фокальпый параметр орбиты ИС.
В случае круговой орбиты ИС Н„вЂ” радиус орбиты ро — = ро, )го — скорость движения по ней г'„а. Рассматриваемая варнационная задача как в случае конечной, так и иошульспой тяги полностью укладывается в рамки общеп задачи, рассмотренной в разделах 1.2.1, 1.2.2 и з 2.2 соответственпо. Рассматривается случай огранпчонной тяги, Т„=- Т ао т. е. 0(Т<1, (10.4.3) 9 1а.'а1 ОПТПМПЗАЦИЯ СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТА 469 В качестве характерной массы тх берется начальная масса аппарата еию, поэтому параметр пх (1.2.13) равен (10.4.4) Ееуеа (10.4.11а) Рх (еа) = ° ха з1п Оа (10.4.12а) (10,4.12б) (10.4 12в) Ру (еа) — = а' уа= еа 1 соз ба р,(с,)=~'„= О.
где (см. (1.2.14) ) Н 2 — в случае эллиптпческой орбпты ПС, ьх= (10.4.5) — в случае круговой орбиты ИС. рО Минимизируемый функционал с (1.2.26) в данном случае равен характеристической скорости перелета д1 (Дю = 0): С, = д, ~- 1ППЬ (10.4.6) Перейдем к записи краевых условий для рассматриваемой задачи оптнмпзацнп перелета.
а) Конечная ограниченная тяга. В момепт схода КА с орбиты ИС должны выполняться условия г(гю) = Р(гю), ( 10.4.7) 1~(гю) = Р(гю), (10.4.8) где Р— радиус-вектор точки схода па орбите ИС. Из условия трансверсальностн (1.2.40) при 1 = ею с учетом (10.4.6) п (1.2.47) (см. ниже (10.4.27) ) получаеъ1 (р, 6.)+ (., бу) ~,=ь -.= О, (10.4.9) илп, принимая ьо внимание (10.4.7) п (10.4.8), (р, бр) -)- (е, бр) ~,, = О. (10.4.10) Входящие в (10.4.7), (10.4.8) и (10.4.10) величины Р, Р, бр, бр удобно выразить через истинную аномалию точки па орбите ИС.
В рассматриваемой системе координат с использованием соотно- шений (1.3.27), (1.3.37), (1.3.38) прн е = гю получаем сюю оа Р . (1а) =' иа = 4 Ру( а) = Уа = 1+ еа сюз да (10.4.11б) р,(1)=з, = О, (10.4.11в) 470 опт!~!лльнык пвРБлкЪы с'Рвгх влияния — ОРвптл пс ~гл. х бр = — соз О,бб„ бо„ = — 1 Ооббо. (10.4.15а) (10.4.156) В случае круговой орбиты ИП в соотношениях (10.-1.11) — (10А.15) достаточно положить ео = О. К приведенным условиям падо добавить начальное условие для характеристической скорости до = ч(зо) = О. (10.4.16) В конечной точке на сфере влияния при о = 11 траектория космического аппарата должна удовлетворять связям 2 (г, г) ~~ и = р,е, У(г) =Че, (10.4.17) (10. 4Л8) где вектор Ч,о задан.
Так как момент времени 11 не задан, связи (10.4.17), (10.4Л8) не зависят от гь из условия трансверсальностн (1.2.40) получаем: величпну постоянной в первом интеграле Н(11)=0 (сп. (1.2.47)), для функционала (10.4.6) (см. (1.2.41)) р.(1) = — 1 (10.4.19) и соотношение (р, бг)+ (з, бу) ~,=,, = О. (10.4.20) Поскольку па основании (10.4.18) вариация бН(21) = О, пз (10.4.17) п (10.4.20) имеем (г, бг)~ =, = О, ~ (10.4.21) (р, бг)~е=,, = О, ) откуда, исключая вариацию бг, р(Е~) Цг(11).
(10.4.22) Таким образом, в конечной точке на сфере влияния имеем усло- вия (10.4.17), (10.4.18), (10.4.19) и (10.4.22). Условия (10.4.17), Условие трапсверсальпостп (10.4.10) записывается в виде (Р,.бР,. + Р,бРа+ гебо,. + з„бР„) ~о з = О, (10ЛЛ8) где па основании (10.4.11), (10.4.12) (10.'ес14а) П + ео соз до)о (10Л.146) 0+е соз д )о оптнмиэхщ!я схемы пегплетл 471 ф 10.4) (10.4 18) и (10.4.22) в рассматриваемой системе координат запи- сываются в виде 2 2 2 2 ~~ + У 21 = Рсф У«(21) Усф. Ус(21) Усф сс У,(2,) = У„„„ Р (1!) Ру(1) Р,О) (10.4.25) «1 У! Рассматривает!ая краевая задача (см. конец раздела 1.2.3) имеет 14-й порядок, и ее решение зависит от 14 констант, 15-й неизвестной являетсн истинная аномалия точки схода па орбите ИС йь Для определения указанных 15 неизвестных имеем 8 условий (10.4.11) — (10.4.13), (10.4.16) в начальной точке п 7 условий (10 !Е19), (10Л.23) — (10А.25) в конечной точке.
Поскольку оптимизируется полон!ение точки схода па орбите ИС, к рассматриваемой задаче в начальной точке применим принцип окаймлення (см. раздел 2.2.3). Функция переключения (1.2.35) для оптимальной траектории перелета в начальной точке обращается в пуль (см. (2.2 133)): 0(2~) = О. (10.4.26) (10.4.23) (10.4.24а) (10.4.24б) (10.4.24в) Вдоль оптималы!ой траектории имеет место первый интеграл (1.2.47): г(го) = р(22), (2о) р (2о) (10.4.28) (10.4. 29) (р+, бр) + (з', 691/! 1 == О. (10.4.30) Н(2) = 0 У! е (2„! ) (1 0.4. 27) Заметим, что нз трех условий (10.4.13), (10.4.26) и ('10.4.27) независимыми являются только два (см, раздел 2.2.3). б) И и пуль си а я тяга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
