Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Как показано в разделах 2.2.1 и 2.2.2, с учетом исключения переменных д и р, пз рассмотрения и замены векторов в начальной и конечной точках траектории Ч их предельнымп значениями слева н справа, а векторов р и з— предельными значениями справа и слева соответственно, условия трансверсальностк (2.2.62), (2.2.63) для импульсной траекторнп оказываются аналогичны условиям трансверсальности для траектории с конечной тягой. Поэтому из (2.2.62) и (2.2,63) для функционала (10.4.6) получаем краевые условия, аналогичные краевым условиям для конечной тяги.
В начальной точке ! = 2з смеем 7 условий (см. (10,4.7), (10.4.8), (10,4.10) ); 472 оптпмзлы|ъ|в ПеРБЛВТЫ СФвгА ВЛпяппя — ОРБПТл ИС |гЛ Х В конечной точке прп | = |! имеем 6 условий (см. (10.4.17), ()0.4.18), (10.4.22) ): (||) = р|,м (10.4.31) Ъ'+(г!) = Ч„!ь (10.4,32) р-(г!) ~~ г(г!). (10.4.33) Приведенные условия в координатной форме выписыва|отся аналогично случаю конечной тяги.
Краевая задача для импульсной тяги имеет 12-й порядок,и ее решение зависит от 12 констант (см. конец раздела 2.2.2). 13-й неизвестной нвляется истинная аномалия точки схода с орбиты ИС др. Для определения неизвестных констант имеем 13 условий (10.4.28) — (10.4.33). Заметим, что па основании принципа окаймления (см. раздел 2.2.3) условие трапсверсальности (10.4.30) эквивалентно условию (2.2.126): (10.4.34) У" (сь) = 0 Вдоль оптпх|альной импульсной траекторш| имеет место пер- вый интеграл (см.
(2.2.70)) Н(г) = (р, У) — (а, —,) = 0 (10.4.35) И|я (г„г,). Из трех соотношений (10.4.30), (10.4,34) н (10.4.35) псзаэисимымн являются только два (см. раздел 2.2.3). 10.4.2. Схез|ы решения краевой задачи. 1'. И и п у л ь с н а я т я г а, н ь ю т о н о в с к о е г р а в и т ац п о п п о е п о л е. Для случая ньютоновского гравитационного поля будем полагать, что подозреваемая на оптимальность одноилп двухнмпульсная фазовая траектория задана (см. разделы 10.2.2, 10.2.4, 10.3.2).
Поэтому рассмотрим алгоритмы определения сопряженных векторов р н з на основе аналитического решения Доудена сопряженной системы (см. 4 3.1) л способы проверки с пх помощью условий строгой локальной оптимальности схем перелета. Прн этом необходимо различать два случая: а) радиус сферы влияния планеты конечен, р,ь ( со; б) радиус сферы влияния планеты бесконечен (асимптотическая постановка внутренней задачи, см. раздел 10.1.3), р„!, = ао.
1'а. Ньютоновское гравитационное по,ге, р„„ ( оо. Для определения пяти постоянных интегрирования А, В, 77, Е, Р в решения (3.1.9) — (3.1.11) для вектора з н (ЗЛЛ9) — (ЗЛ.21) для вектора р имеем следующие условия: + г ауь а (гь)=)„,Г р-(Г!) Ц г(1!). (10.4.37) оптнмнзлция схемы пвгвлетл 473 о 1о.н Шестая постоянная интегрирования, С, для рассматриваемых траекторий равна нулю: С = О. .4.38 (10.4.39) Предполоноим, что нз каких-либо пяти скалярных соотношений постоянные А, В, Р, Е, Е найдены. Поскольку рассматриваемая траектория перелета состоит из одной кеплеровой дуги, требование строгой локальной оптимальности сводится к выполнению вдоль траектории условия (см.
(2.2.89)) е(о)~1 г'г=(о„г,). (10.4.40) Если рассматриваемая фазовая траектория действительно является строго локально оптимальной, то из выполнения любых пяти краевых скалярных условий следует выполнение других краевых условий. Например, если для определения решения сопряженной системы использованы соотношения (10.4.36), (10.4.37), то в начальной точке имеет место (10.4.34), в конечной точке для двухнмпульсных перелетов — соотношение (10.4.39) п т. п.
1'б. Ньютоновское еравитауионное поле, р,ф — — ос. Как показано в разделе 2.2.4, нз условия ограниченности функции в(1) при г-э- со вытекает 1ппр=р =О, (10.4.41) 1ппз = а (10.4. 42) ь Из (10.4.41) следует, что условие (!0.4.37) можно считать удовлетворяющимся тождественно. Условие ограниченности функции г(Г) при г-+.
сс приводит к следующим соотношениям для постоянных А, Р, Е, Е (см. (3.2.50), (3.2.51) ): еР— 3~'ео — 1 А = О, — Е+)~ ео — 1Е=О, (10.4.43) (10.4.44) где е — зксцентрнситет гиперболы перехода орбита ИС вЂ” сфера влияния. В разделе 3.2.3 показано, что условие (10.4.41), с одной (10 ) Одно нли два пз скалярных условий (10.4.36), ('10.4.37) могут быть заменены одним или двумя какими-либо из (10.4.30), (10.4.34), (10.4.35) . Приведенные соотношения можно использовать как в случае одпонмпульсной, так п двухимнульсной траектории перелета.
При двухпмпульсном перелете донолнительпо к указанным соотношениям имеем 474 опэт1мзлы1ыв ПБРБЛБты сч>БРА Влияния — ОРБНТА пс ~гл сгоропы, п условна (10.4.43), (10.4.44), с другой стороны, эквивалентны. Соотпогезения (10.4.43), (10.4.44) заменяют в рассмат рпзаемом слуша условия (10.4.37). Пределып1о зпачеппе вектора з„= з(г„,, г „г,) равно (см. (3.2.55)) Б„=-~ — — +В)/е> — 1, —, '. (10445) ~/е' — Г )'ее — Г ) Требование оптимальности импульса в бесконечно удаленной точко (па «сфере влияния>) имеет внд (см.
(2.2.157) ) АУ, (10.4.46) Прн этом, согласно (10.4.41), для любой рассматриваемой траек- тории (10.4.47) Что касаетсп соотпошошш в начальной точке, то онп совпада1от с прпведепны1ш В разделе 1'а. Условпе строго локальной оптимальности записывается в виде, аналогичном (10.4.40): г (г) ( 1 р г Е (ге, + оо ) . Прп палпчпп импульса в бесконечно удаленной точке 1пп з(г) = — 1 — О. (10.4.49) Таким ооразом, в рассматрпваеъшм случае определение векторов р н з п проверка строгой лопальной оптимальности схемы перелета производятся точно так же, как н в случае конечного радиуса сферы вешчппя, с заменой соотношений (10.4.36) и (10.4.39) соотношениями (10.4.43), (10.4.44) и (10.4.45), (10.4.46) соответственно.
Что касается условия (10.4.47), то оно оказывается несущественным. Из Выложенного ясно, что рассмотрение случая р„> = со до конца возможно только прн йалични аналитического решения для сопряженного вектора э. 2'. Импульсная тяга, численное интегрнровапяе фазовой и сопряженной систем. В рассматриваемом случае сферу влияния всегда считаем конечной, р,> ( со. Прн апагшзе схем решения краевой задачи будем рассматривать два случая: а) подозреваемая па оптимальность одно-илп двухимпульсная фазовая траектория задана; б) оптимальная фазовая траектория определяется в процессе регпения краевой задачи. оптпмнзхция схкмы пкгклктл 475 я 1аи1 2'а.
Уислвпнов интвзрированив сопряженной систежь6 у1ивовая траектория задана. Пусть подозреваемая па оптимальность одноили двухимпульспая фазовая траектория перелета орбита ИС— сфера с: ияния известна. В этом случае решение сопряженной системы уравнений находится для установления строгой локальной оптимальности рассматриваемой фазовой траектории.
Поэтому, как и ьыше, речь идет о проверке известного импульсного решения па оптимальность (см. раздел 3.3.2) . Для составлс шя алгоритма нахождения решения сопряженной системы воспользуемся общимв соображениями, изложенными в разделе 3.3.2. Для численного интегрирования сопряженной системы ьекторы р и з должны быть заданы па одном из концов траектории. В качестве начальной точки целесообразно выбрать ту пз граничных точек. в которой на векторы р п з наложено больше условий, что позволяет уменьшить количество произвольно задаваемых параметров.
Поскольку па орбите ИС аппарату всегда сообщается импульс (условие (10.4.36) ) и имеет место условпе трапсверсальностп (!0.4.30),а на сфере влияния в общем случае пмсст место лишь условие (10.4.33), в начальной точке га имеем па два условия больше, чем в конечной точке 1ь Поэтому сопряженную систему шпегрируем от 1а к Г1 (см. также ниже начало ра.алела 2'б).
Векторы р+(Га) н зь(за) в точке Га удовлетворяют тем же условиям, что п выше в разделе 1'а: условию (10.4.36) п любым двум условиям пз (10.4.30), (10.4.34) н (10.4.35) . Условпс (10.4.36) полностью определяет вектор зэ(га). Что касается вектора Р+(Га) = (1з~ (Га) Ра (Га) Р* (Га)), тестокомпонсптыУДовлетэоРЯ1от двум линейным алгеораическим уравнениям. В рс;улыате в начальной точке аа произвольно можно задать лишь олпу компоненту вектора р" (:а), например р„(га). На правом конце траектории 11 сопряженная система в общем случае удовлетворяот лишь условлю трансверсальпостп (10.4.33), которое перепишем в виде га1(гз) — = рх (гг) у1 ра (гг) хг == О, (10.4.50) гра(П) == р„(П) з — р, (П) у, = О. (10.4.51) Заметим, что если вектор р (Г~) не соответствует оптпмальному решению, то функции ар1(а1) Ф О, арз(г1) Ф 0 характеризуют невязшг в краевых условиях (10.4.50), (10.4.51).
Таким образом, количество свободных параметров в рассматриваемой краевой задаче (р~(га)) меньше количества краевых условий (10.4.50), (10.4,51), которые на нпх наложены. Отметим, что подобная ситуация типична для задач проверки строгой локальной оптимальности заданных фазовых импульсных траекторий. Алгоритм нахождения решения сопряженной системы при фиксированной фазовой траектории близок к описанному в разде- 47о опгпмллы«ыв пвгвлвты с«пыл в:шлкпя — огсптл пс )г,«х АЧ(1«) = (Л)т.о, АР«о, Л)т.о) (10 4 52) Вектор з" (Ео) прн этом равен (см. (10.4.36) ) — йу (»о) в' (го) = ) йу(,')). (10.4. 53) Скорость КА после импульса равна Ч+(1,) = Ч-(1,) + АЧ(1«).
(10,4. 54) ло 3.3.2 общему алгоритму решшшя такого рода задач (см. соот пошевня (3.3.22) — (3.3.30)). В основе его лежит использование ;шпсйпостп сопряженной системы. В результате при фиксирован пой фазовой траектории вектор р («1) и функции «р1(г~) (10.4,э0) п <рг(г1) (10.4.51) линейно зависят от компоненты р«х(г ) Зто как п в общем случае, позволяет построить простой одношаговый алгоритм регпопия задачи с заменой в указанных выше соотношениях раздела 3.3.2 вектора р" (1«) его компонентой р+ (»о).
Если рассматриваемая фазовая траектория строго локально оптпмалы«а, одно и то же значение р,(~о + О) должно одпов) омопяо удовлетворять двум уравнениям: (10.4.50) и (10.4.51). Проверка строгой локальной оптимальности фазовой траектории производится точно так же, как и выше в разделе 1'а. 2'б. Решение краевой задачи с помои1ью численного интегрирования фиговой и сопряженной систем (при заданной схел«е перелета). Пусть фазовая траектория не задана и должна быть определена в процессе решения краевой задачи.
Оптимальной схемой перелета считаем по-прежнему рассмотрнные выше одно- илп двухпмпульспую схемы. Дополнительно к высказанным в разделе 2 а соооражепиям относительно целесообразности интегрирования системы уравнений от начальной точки »о к конечной »1 заметим, что условнс ('10.4.31) — «протыкапне» траекторией сферы влияппя — элементарно удовлетворяется для любой траектории КА с монотонным возрастанием г(1). Соотношение (10.4.31) прп этом рассматривается в качестве условия остановки интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
