Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Выбор же условий па сфере влпяпня, обеспечивающих попадание па орбиту ИС, сам по сеое представляет весьма сложную задачу. Поскольку па рассматриваемых одно- илн двухимпульсных траекториях отсутствуют промежуточные импульсы, приведем алгорптмы решения краевой задачи только для этого случая. 1) Задаем бо и тем самым г(1») = р(бо) (см. (10.4.11) ) 7 (го) = р(йо) (см. (10.4.12)).
2) Поскольку на орбите ИС КА всегда сообщается импульс, в качество трех задаваемых параметров удобно ввести компоненты импульса скорости оптиыизлция схемы пеэклвтл 477 з |эя| 3) Зная з+(|с) п Ч+(|э), можем, как и выше в разделе 2'а, в точке |а одновременно рассматривать любью два условия нз (10.4.30), (10.4.34) и (10.4.35) как систему линейных алгебраических уравнений отяоснтельпо вектора р+(1э), из которых определяем р+(|о) прп заданной одной из компонент вектора р' (|о), например р,. (|,). + Таким образом. прп | = |с имеем пять свободно задаваез|ых параметров: 0о, АЧ(|с) и одну нз компонент вектора р (|о). Зная г(1о), Ч+(Со), рэ(|с) и зэ(|а), можем начать интегрирование фазовой п сопряженной систем.
4) Выбирая равенство (10.4.31) в качестве условия остановки процесса интегрирования, имеем в точке | = 1| пять условий (10.4.32), (10.4.33), которым должна удовлетворять оптимальная траектория. Подбор пяти задаваемых в начальной точке параметров проводится обычпымн число|шыми методами решения двух точечных краевых задач. Прп этом необходимо различать два случая. 4а) Если з(7|) ( 1, то нмпульс па сфере влияния отсутствует, вектор Ч непрерывен при с = || и имеем обычную краевую задачу с условиями (10.4.32), (10.4.33). 4б) Пусть г-(с,) = 1 (10.4.55) и в точке | = 7| КА сообщается импульс.
Тогда Ч+(|,) — Ч (с|) = Ч„,(4) — Ч (||) П з (7!). (10.4.56) Трп условия (10.4.55), (10.4.56) ааменяют теперь три условия (10.4.32). Очевидно, что успешная реализация рассмотренного алторитма зависит от наличия достаточно хорошего начального приближения для фазовых и сопряженных переменных в начальной точке траектории. Такое начальное приближение может быть получено с помощью результатов разделов 10.2.2, 10.2.4, 10.3.2 и указанного в 2'а алгоритма. Более подробно этот вопрос рассмотреп пиже, в разделе 10.4.3б.
3'. Конечная тяга. В случае конечной тяги, в отличие от импульсной, рассматривается только конечный радиус сферы влияния, р„, ( со. Кроме того, поскольку фазовая н сопряженная системы уравнений в общем случае па активных участках не пптсгрируютсяв аналитическом виде даже в ньютоновском гравитационном поле (см. $ 1.3), рассматривается схема решепия краевой задачи для численного интегрирования фазовой и сопряженной систем. Решение краевой задачи при этом состоит из двух этапов: а) построение исходного приближенного решения; б) получение точного численного решения краевой задачи. 47Я ОПТПМЛЛЪНЫГ ПБРЕлЕТЫ сФЕРЛ Влпяппя — О!'ГПТУ НС !Г,! Х (4.2.62), равна й= '~1 — е (10.4.57) Ограппчпмся рассмотрением таких величин Ь)го!с, что о~~ 1 е о <06 '"о (10.4.58) откуда †' < 0,9163.
(10.4.59) В этом случае точка приложения оптимального импульса схода с орбиты ИС с достаточной точностью совпадает с серединой активного участка: го (10.4.60) Истппная аномалия точки старта с орбиты ИС 0« отличается от истинной аномалии приложения импульса Оо (см. (4.2.6о) ). 0 —,=О,— бд„ (10.4.01) на величину 66, (см. (4.2.74)), ( то) аг„ 66 = — ' — "-)- о= го 2 + г п„)1+(1 — — 2 ))1п(1 — с 2 ) — 1~ л (10.4.6 ) где (Чо), и (ео).
— проекции вектора скорости движения по орбите ИС в точке приложения оптимальпого импульса Чо и единичного вектора импульса е, =- о =) ауо~ (10.4.63) на направлепие трансверсали к орбите ИС в этой же точке, сов радиальпое расстояние до точкп прило»кения импульса па орбите В дальнейшем для определенности ограничимся рассмотрением перелетов орбита ИС вЂ” сфера влияния планеты с одним активным участком.
3'а, 1Еостроение исходного приблизсенного ре1иения для срезе вой и сопряженной систеае Приближенное построение фазовой траектории производим с помощью правила пересчета (см. 2 42 раздел 4.2.2). Все величины, относящиеся к приближенным реше ниям фазовой и сопряженной систем, будем отмечать знаком «» сверху. В рассматриваемом случае точка старта с орбиты ИС выбирается оптимально.
Длина активного участка, па осповаппп Р э!Огм оптимизация схеззы пегелктл Зная истинную аномалию бз, с помощью соотпоз ений (10.4.11), (10.4.12) находим начальные значения фазовых переменных г(Ьэ ) п т(оо ). Поскольку, в соответствии с правилом пересчета Пз (см. раздел 4.2.1), на активном участке вектор тяги коллинеареп вектору (10.4.63), тле . Условие (10.4.23) берется в качестве признака конца интегрирования. Как гоказапо в разделах 4.2.1 и 4.2.2, построенная такпп образом приближенно оптималы|ая фазовая траектория удовлотворяет краевым условиям и условиям оптимальности с точно.тью 2 порядка ЛГз (сн. ниже результаты расчета в разделе 10.4.3в). Перейден теперь к построению приолиженного решения сопряженной системы р, з и р,.
Поскольку в процессе численного решения точной краевой задачи вектор тяги, согласно (!.2.34), (1.2.36), на каждой итерации определяется вектором з(г) п функцией переключения 0(г) (1.2.35), это решение должно, во-первых, с достаточной точностью определять длину активного участка, т. е.
нули функции переключения д(Г), и, во-вторых, с достаточной точностью определять вектор з(Г) па активном участие. Зафиксируем построенную приближенно оптимальную фазовую траекторию. Обозначим сопряженные переменные и функцию переключения для оптимального импульсного решения через Реп, эимп п бл т~ соответственно. Приведенный ниже алгоритм построения решения р, з п ря в частности получения значений этих величин в точке гз, предложен А.
С. Филатьевыи. Согласно (10.4.19) (10.4.66) Поскольку фуш цпя перез;почеппя (10.4.67) (10.4.68) 0(г) = з(г)+ рч(с) и ее производная зо 00 и. 00 ~18 ~11 ' ~18 непрерывны вдоль траектории (сзь раздел 1.2.3), с учетом (10.4.66) в конце активного участка 1з, соответствующем нулю + ИС, В случае круговой орбиты ИС (см. раздел 10.1.1) в формуле (10.4 62) достаточно положить (Уз)т == га = 1 .
(1 О.4. 64) 4ЗО оптимпльныГ ПБРелвты сФеРы В,П1янпя — ОРБптл пс (гл функции переключения (10.4.67), должно оыть г(«о') =-1, и'1 1+ а( (10.4. 69) (10.4,70) где, согласно (4.2.10), (10.4.69), и» ) ,и 11«. 1, . — =-(в, р)+. !о (10.4.71) Потребуем, чтобы зги же условия выполнялись па приближенной фазовой траектории: з((а ) =1 ! = — '1е (1 о ). Р ( «о )). (10.4.72) (10.4.73) Согласно (2.2.109), (2.2.126) функция переключения 0имп (() = зпмп (() 1 (10.4.74) т. е.
близка к симметричной параболе с вершиной в точке (о (рис. 10.4.1) . Чтобы удовлетворить л Х((( условию (10.4.72), положим з (1+1 'и. ((а ) и одновременно рд (Уюо) ро ((о ) = — 1. (10.4.77) Нормировка в (10.4.76) вектора з„и.(() с учетом (10.4.77), если ее рассмотреть в окрестности точкя (о, соответствует «поднятню» функции (10.4.74) над осью (, такому, что (см.
Рис. 10.43, переключения д,и, (8) рис. 10.4.1) ЬЯ) =0. (10.4 76) В разделе 2.2.3 показано,что при предельном переходе от ко печной тяги к импульсной функция переключбния О(() (10.4 ) ,4.67) непрерывно переходит в соответствующую функцию переключе в окрестности точки (а имеет вид дпмп(() = г„м„((о) 0, ' -)- О(( — (,)о, (10,4,75) В 1О И ОПТИЗП1ЗАЦИЯ СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТА ния 0„и,(г) (10.4.74) (см. рис.
2.2.3). Нормировка (10.4.76) в известном смысле соответствует обратному переходу от импульсной тяги к конечной, поэтому представляется во всяком случае достаточно рациональной (см. раздел 4.2.1 и формулу (4.2.43)). Что касаетсЯ вектоРа Р(ьг ), положим Р (1О ) = Ри (гО ) (10.4. 79) Такой выбор вектора р( ьг ) вместе с нормировкой (10.4.76) обеспечивает, с одной стороны, как следует из оценок (4.2.7), аз (4.2.8), достаточно точное определение величины — 1 +(10.4.73), с другой стороны — близость значений векторов з и р к соответствующим значениям векторов 3 и р на всем промежутке пассивпого полета.
Для получепия приближенных значений сопряженных переменных в начальной точке Г проиптегрируем сопряженную систепу от точки Гэ до точки 1с с начальными условиями (10.4.76). (10.4.77) и (10.4.79), в результате чего получим значения Р(го ), в(го )|РТ(го ) (10.4.80) Отметим важное для дальнейшего обстоятельство. Велпчипы (10.4.80) не удовлетворяют, вообще говоря, условию трапсверсальности (10.4.13), и точка ьг, в отличие от точки ьг, не является пулем функции перекл1очения 0(1) (см. рис. '!0.4.1): 0(гэ ) ге Прн этом, как нетрудно видеть, это условие удовлетворяется с точ- 2 постыл до величин порядка сььо Однако, в силу построения, величины (10.4.80) таковы, что если их, вместе с приближенными значениями фазовых переменных, задать в качестве начальных условий в точке го и проинтегрировать фазовую и сопряженную системы с учетом условий оптимальности для вектора тяги, то вектор тяги всюду па активном участке будет близок к вектору Т (10.4.65) и длина активного участка будет близка к Л1г.
3'б. Алгоритм численного решения краевой задачи, Зпая приближенное значение истинной аномалии точки схода с орбиты ИС (10.4.61) и приближенные значения сопряженных переменных (10.4.80), можно начать итерационный процесс получения численного решения краевой задачи. Как и в случае импульсных перелетов. Интегрпровапне систем фазовых и сопряженньгх уравпений целесообразно проводить от начальной точки гэ ==.1ьиа орбите ИС к конечной точке 21 на сфере влияния (см. выше пункты 2'а и 2'б). Приведем алгоритм решения краевой задачи. 31 В. А.
ильич, Г. Г 11уьиьи 482 оптнмхльныв пклвлкты соггл влияния — огвптг ис ~гл х 1) Задаем бо, например до, и топ самым г (го ) = р (Оо), У (го ) = = р(0,). 2) Задаем э(го ) р(го ) Ч(го ) = 0 ро(го ). На величины э (Го ) р(оо ) и ро (Ро ) наложено две связи — ра вепство гамнльтопиапа нулю: Н(оо ) =. )(Р Р) (э, — о) + и„— 6) ) — = — О, (10.4.82) и условие трансверсальности (10.4.13).
Как показано в разделе 2.2.3, одно из этих условий можно заменить условием равенства нулю функции переключения: 0(го) =г(го )+ро(го)=-0. (10.4.83) 3) Таким образом, при 1 = 1о можно задать шесть независимых величин, в качестве которых удобно взять до, ро (го ) и четыре компоненты векторов р, з. Эти величины надо брать так, чтобы для оставшихся двух компонент векторов р и э система из любых двух уравнений (10.4.13), (10.4.82) и (10.4.83) была разрешима.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
