Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Таким образом, это такие точки. которые достигаются за один и тот же про 9.4.1. Постановка задачи и решение для однородного п „ Рассмотрим задачу о перелете между произвольными пересека, щимися орбитами. Схема взаимного расположения орбит в окре стности точки пересечения указана на рис. 9.4.1. Радиусом-ве1; тором точки пересечения орбит Зааатааа аааата на этом рисунке является вектор гсс.
Через Чсо и Чю обозначены векторы скоростей, с кос у лу1 аа торыми происходит движение Ааэаааааа па начальной и конечной орбиаУаата тах в точке их пересеечния. т1е рез ЛЧс обозначен вектор ЛЧо = Ч1о — Чсо (9.4.1) Моменты начала и окончания Рис. 9.43. перелета предполагаются незаданными и подлежат рациональному выбору. В данной задаче можно, очевидно, предполагать, что эти моменты совпадают с моментами включения н выключения двигателя. Строгое обоснование этого утверждения будет проведено в разделе 9.4.3. При задании уравнений, описывающих движение по начальной и конечной орбитам, будем предполагать, что начальные условия для них заданы в точке пересечения.
Соответственно отсчет времени при записи уравнений движения по этим орбитам будет проиаводиться от точки пересечения. Обозначим это время буквой т. С учетом сделанных замечаний уравнения для движения по начальной орбите имеют вид ятс то тоо Чоот (О I 2) т с = Чоо+ Кт' зк ем пеРклет между пкРесекАющиыпся ОРБытАми 393 иежуток времени, если движение по этим орбитам начинается в один и тот же момент времени в точке пересечения орбит. Без ограничения общности можно, очевидно, считать, что точка С соответствует моменту х = Т, в который оканчивается перелет.
Основное упрощающее предположение, которое необходимо сделать для того, чтобы было можно свести рассматриваемую задачу к задаче, в которой при оптимальном управлении существу- ,пгу ет прямая управления, состоит втои,что траектория перелета С Лпмл оканчивается при 1 = Т в точгхп и е' ьп.: ке В, которая определяется формулами (9.4.3) при некотором значении т.
В разделе 9.4.4 будет выяснено,в каких случаях это предположение не приводит к перерасходу характеристической скорости. Данноепредположение, очевидно, эквивалентно специальному заданию точки 0 (см. Рис. 9.4.2), в которой в момент времени х = 0 начинается перелет. В настоящем и следующем разделах основное внимание будет уделено рассмотрению перелета с одним активным участком при произвольной зависимости а „(Г). Это связано с тем, что в дапной задаче перелеты с двумя активными участками нецелесообразны.
Факт этот достаточно очевиден, тем пе менее строгое доказательство его будет дало далее, в разделе 9.4.3. В случае однородного поля, для которого решается задача в настоящем разделе, выражения для векторов конечного промаха с помощью (9.4.2), (9.4.3) могут быть записаны в виде Лг(Т) = ЬЧэт, ЬЧ(Т) = 3Ча, (9.4.4) где вектор ЛЧа определяется формулой (9.4.1).
В соответствии с Результатами, полученпыми в 9 8.5, вектор управляющего уско- РениЯ а(х) напРавлен по вектоРУ ЛЧа. С Учетом этого факта гРаккчные условия для рассматриваемого случая записываются в виде т ( (Т вЂ” Е)пазах(з)33 = брат (9.4.5) о Рис. 9У.2 ) лп,ахи)3~=йра а (9.4.6) ~з последнего равенства видно, что потребная величина хавакгеристической скорости для рассматриваемого класса перелетов 394 3АдАчи мАнеВРКРОВАния В тонких слОях [гл.
ш совпадает с величиной характеристической скорости, которая и лучается при решении данной задачи в импульсной постановк (при переходе с помощью одного импульса) . Равенства (9.4.5) и (9.4.6) представляют собой систему урав пений для нахождения времени перелета Т и параметра т, апре деляющего координаты точки В, в которой оканчивается переле~ Равенство (9.4.6) служит для определения величины Т.
Затем из (9.4.5) можно определить т. Перепишем теперь (9.4.5) так: т ° =Т вЂ” — ~~ „„,®85, 1 оаа о (9.4.7) и попытаемся найти координаты точки, соответствующей началу перелета а = О. При этом рассуждать будем следующим образом. Если бы точка двигалась по начальной орбите, то за время Т она передвинулась бы в точку, время движения до которой по начальпой орбите от точки пересечения равняется т.
Поэтому время движения по начальной орбите до точки пересечения орбит равняется Т вЂ” т. Поэтому радиус-вектор и вектор скорости, соответствующие начальной точке траектории перехода, определяются равенствами (9.4.2) при то — — т — Т: з (т — ТР го!1=0 — газ+ ~ Оо(т 7) +' а 0 У~! г=а = Ум + и (т — Т). (9.4.8) Проведем далее вычисления для случая а„(0) = СОВЗС. Из формул (9.4.6) и (9.4.7) имеем лу, а 1 а~000 (9.4.9) а,т' т т =Т вЂ” — = —. 2ЛК0 2 С учетом этих результатов равенства (9.4.8) переписываются в виде т, т' ГОЬ=0 =Гаа УОО а Гй (9.4ЛО) Таким образом, в однородном поле траектория перелета симметрична относительно точки пересечения орбит.
9.4.2. Решение задачи для однородного центрального поля при бг =О. В настоящем разделе задача о переходе между пересекающимися орбитами будет рассматриваться в точно такой же постановке, в которой она рассматривалась выше. Отличия появ- ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ ПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ ОРБИТАМИ 395 з о.о! «яются из-за того, что в однородном центральном поле свободное движение и функции влияния описыв аются более сложными формул ами, чем это было ранее. В рассматриваемом случае, когда бг = О, начальная и конечная орбиты задаются формулами ( 8 . 2. 1 ) . Соответственно уравнения движения по начальной и конечной орбитам при задании начальных условий в точке их пересечения записываются в виде го = г„соя т+ Ч,оя1П т, Чо= гоо я1П т + Чоо соя т г, = г„сов т + Что в1пт, Ч,= — г„зшт+ Чм совт.
(9.4.11) Эти равенства представляют собой систему уравнений для определения полного времепи движения Т и времени движения т по начальной ичи конечной орбитам от точки пересечения орбит до момента окончания перелета. Пользуясь известными формулами тригонометрии, перепишем (9,4,13) так. 1, в1п Т вЂ” 1, соя Т = ЛР вант,) 1, соя Т + 1, я1п Т =- Л го соя т,) В этих формулах все обозначения те же самые, что и в предыдущем разделе. В соответствии с этими равенствами выражения для векторов конечного промаха Лг(Т) и ЛЧ(Т) записываются так: йг(Т) = ЛЧо в1пт 1 ЛЧ (Т) = ЛЧо соя т. ( (9.4 12) Отсюда видно, что при О < Т < п/2 управляющее ускорение а(г) направлено параллельно вектору ЛЧо. Это направление совпадает с направлением управляющего ускорения при решении задачи в импульсной постановке.
Рассмотрим сначала случай оптимального управления с одним активным участком при произвольной зависимости а (о). По- прежнему будем предполагать, что двигатель включается при г = = О и выключается при г = Т, а до и после этих моментов движение происходит соответственно по начальной и конечной орбитам. При таких предположениях, в соответствии с формулами (8.2.2), граничные условия записываются в виде ,.(Э. у — ЭоО=ы,о„,,~ о т ~ амоо (9) СОЯ (Т вЂ” 9) П$ — -- Л 'У'О СОЯ т.
о ЗАДАЧЯ ЫАНКВРИРОВАННЯ В ТОНКПХ СЛОЯХ !тл 396 где Т г,= (. „!1!-.1аа~ О т ) а = ~ Яшах (хэ) 21п Ф Жха. О (9.4.15) Из равенств (9.4.14) для интегралов Т, и Т, имеем следующие выражения: га = М~асоз(Т вЂ” х), 1 (9.4.16) Т, = ДУ, (Т вЂ”.). ) После возведения этих равенств в квадрат и сложения получки следующее уравнение для определения момента окончания перелета Т: ах+ Та )хг (9.4.17) С учетом (9.4.15) это равенство можно переписать так гт ')2 )т )2 ~~ашах($)созь1Ч + ~ ~ яшах(а)з)паэЖ~ = ах!а. О О (9.4.18) Если воспользоваться (9.4А6), то последние равенства можно переписать в виде ! га!1=О = „~ (Т.гоо — Т,~"ОО), О (9.4.20) уа! = =,~~ (Т,уаа+ Т,гаа).
а Эти формулы определяют начальные условия в момент включе- ния двигателя н схода с начальной орбиты. При известном Т можно считать известными интегралы У„. п 1, и определить т из равенств (9.4.16). Определим далее координаты точки, соответствующей началу перелета при г = О. Рассуждая точно так же, как и в предыду- щем разделе, нетрудно убедиться в том, что время движения п1 точки Авточку )9 на рис.9.4.2 равняется Т вЂ” т. Поэтому радиус- вектор и вектор скорости, соответствующие точке Й вЂ ' начальной точке траектории перелета, определяются равенствами (9.4.11) при тэ = т — Т. Таким образом, га ~ =О гаа соз (Т т) ~ОО э1п ( Т х) (9.1.19) ОО)1=О = хаа соя(Т вЂ” 1) + г„зап(Т вЂ” т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
