Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 66
Текст из файла (страница 66)
А именно, из уравнения (9.1.1) следует, что чем меньше Ьг(Т), тем меньше и г,„„„. Хаким образом, при оптимальном решении задачи произвольные параметры, от которых зависит только величина Лг(Т), нелепое должны быть выбраны таким обра- епедпе,п зом, чтобы Ьг(Т) имело минимально Е=Р возможное значение. Проиллюстрируем применение этого правила на В- —-- следующей задаче. ее Пусть нам даны орбиты, по кото- е е-г "е рым свободно, без использования управляющего ускорения, двигаются ле- бппуоепю Ф попеппе тательные аппараты. Соответствую- ппволо у~ро1летя щая схема изображена на рис. 9.1.4. На этом рисунке буквой А обозначен летательный аппарат, закон управления которым должен быть вы- Ряс. 9ЛА. бран для обеспечения встречи, а буквой Б — летательный аппарат-цель, с которым организуется встреча. Законы движения обоих летательных аппаратов по своим орбитам будем считать заданными.
В отличие от задачи, рассматривавшейся в предыдущем разделе, будем предполагать, что момент начала управления не задан и должен быть выбран оптимально. От этого момента зависят радиусы-векторы обоих летательных аппаратов при 7 = О в момент начала управления п, соответственно, величина конечного промаха Лг (Т) . Из сказанного выше следует, что при оптимальном выборе этого момента величина вектора конечного промаха должна быть минимальна. Ясно, что минимальное значение этой величины может быть определено в результате рассмотрения свободного движения летательных аппаратов.
При свободном движении в какой-то момент времени летательные аппараты максимально сближаются, так что разность их радиусов-векторов становится равной известному фиксированному вектору Лг „. Положения летательных аппаратов в этот момент времени обозначены на рис. 9.1.4 буквамн Аз и Бс.
Если считать, что в результате управления встреча летательных аппаратов происходит в точке Бз, то ясно,что в этом случае Ьг(Т) = Лг „ (9.1.49) и уменьшить величину Лг(Т) более невозможно. Зафиксируем время перелета Т. Тогда оптимальные положения летательных зАЛАчн ыАнкВРиРОВАния В тонких слОях !ГЛ. 1Х аппаратов в момент начала управления при фиксированном зна ченин Т, очевидно, совпадут с теми их положениями, которые они занимали в прошлом в момент времени, отстоящий от момен та попадания в точки Аю и Бе на промел!уток времени Т. Заме тим, что при таком оптимальном выборе момента начала управления величина конечного промаха перестает зависеть от Т и раз!, а Йг „. Соответственно не зависит от Т н ориентация управляющего ускорения а.
Направление вектора а при всех значенизх Т совпадает с направлением вектора Ог „. От Т зависит только момент выключения двигателя 1,,„. В данном случае очень просто решается вопрос об оптимальном выборе величины 7. А именно, из рассмотрения (9.1.1) сразу видно, что если К(Т,-) при всех $ ен [О, Т~ возрастает с увеличением Т, то 1...„„ прн увеличении Т уменьшается. В однородном поле тяготения функция К(Т, $) возрастает при всех значениях Т (с11. (9.1.5)), а з однородном центральном поле тяготения (см. (8А.17)) этот факт имеет место при значениях безразмерного времени Т, меньших я/2 на величину порядка бг .
Таким образом, для достаточно больших значений времени перелета Т увеличение его приводит к уменьшению 1,„„,. Из (9.1.1) видно, что существует диапазон малых значений Т, при которых это уравнение не имеет решения для 1,„,„„. Возникает вопрос об определении минимально возможного значения Т = Т „, такого, что при Т> Т,„ (9А.50) возможен перелет при заданном значении Лг,„. Из (9.1.1) 'следует, что такое значение Т удовлетворяет уравнению 1 т!и К(Т;„, $)а „($)дэ = Лг 1„. (9.1.51) о Ясно, что левая часть этого уравнения является монотонно возрастающей функцией от Т „при всех тех значениях Т „, прн которых такой же функцией является К(Т „, э). Для этого интервала значений Т „уравнение (9А.51) имеет единственное решение для Т„1,.
Продолжим далее анализ рассматриваемой задачи в несколько модифицированной постановке. А именно, примем, что в нашем распоряжении имеется не только выбор момента начала управления летательным аппаратом А (см. рис. 9.1А), но также и выбор момента выведения его на свою орбиту. Другими словами, будем считать незаданным его положение, которое он имел бы при свободном движении по своей орбите в момент окончания перелета. Такая модификация постановки задачи соответствует достаточно интересному практическому случаю, когда оптимально выбирается момент старта летательного аппарата А.
Данная задача отличается от рассмотренной только способом задания в -'2! ИЗМЕНЕИИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ вектора Лг„„, который теперь определяет минимальное расстояние между орбитами летательных аппаратов А и Б. Заметим. что в исходной постановке величина Лг,„ представляла собой кратчайшее расстояние между летательными аппаратамн при дапиои движении их по орбитам. Теперь же Лгва!в — п11п (ГБ — ТА!. (9.1.52) (А,Б) десь газ гл — радиусы-векторы летательных аппаратов А п Б, минимум вычисляется среди всех возможных положений А и Б па своих орбитах. Особенно простой вид имеет решение рассматриваемой аадачи в случае, когда орбиты летательных аа ага аппаратов А и Б расположены в одной плоскости и, кроме того, орбита Б является круговой.
Схема,на которой изображено взаимное расположение орбит для этогослучая, показана парис. 9.1.5. Ясно, что в этом случае вектор Лг „имеет начало в эпоцентре орбиты А и направленпо вертикали в этой точке. Соответственпо по вертикали направлено и управляющее ускорение. Увеличение времени перелета Т, такя1е как иранее, при выполнении условия — > О при О < ф < 1' (9.1.53) Рис. 9Л.5. приводит к уменьшению затрат характеристической скорости. э 9.2. Изменение вектора скорости 9.2Л. Постановка задачи. Основные соотношения. Рассмотрим задачу об оптимальном изменении вектора скорости с минимальными затратами характеристической скорости.
Эта задача относится к числу тех, когда существует прямая управления. В $ 8.5 с использованием результатов общей теории было показано, что величина управляющего ускорения принимает свое максимальное значение, ориентация его постоянна в пространстве и совпадает с направлением вектора конечного промаха по скорости Ьв'(Т), активный участок один и располагается в конце траектории. Для момента включения двигателя ~,„, было получено уравнение Б (У~ ав) Яюав (ав) Нвв = ааввав %.
(9.2.1) 1вка 24 В. А Изввв Г. Е, Кта»аа 370 ЗАДАЧИ МАНЕВРИРОВАНИЯ В ТОНКИХ СЛОЯХ ~гл, гх Напомним, что в однородном поле тяготения Т(Т,2)=4, (9.2.2) а в однородном центральном поле тяготения при бг -«О Ь(Т, $) = соз(Т вЂ” ~). 9 2.3 АУ (т) а= а ашах (9.2.5) При использовании же для й(Т, $) выражения (9.2.3) получается следующий результат: ЗШ 7ЬХ, =— А (т) ~шах (9.2.6) Очевидно, что 7АГ, должно быть меньше, чем Т. Поэтому в случае однородного поля тяготения т(т)~Т шах (9.2.7) В случае же однородного центрального поля тяготения прн бг„ -+-0 п Т =.— — <з(НТ, (9.2.8) "шах Зтн неравенства позволяют сформулировать некоторые трсбовавия к величине времени перелета Т. В заключение настоящего раздела приведем выражение для ххр(Т) в случае однородного поля тяготения.
Обычно значение вектора скорости, которое должно быть в конце перелета, не зависит от Т. Обозначим его через Чь Зависимость же от Т вектора скорости Ча(Т) летательного аппарата, закон управления которым определяется, записывается в виде Ча(Т) =Час+ 9Т (9.2.9) ( ) Равенство (9.2.1) можно рассматривать как условие для опре деления момента окончания работы двигателя х= Т после того, как будет достигнуто нужное значение ЛЧ(Т). Важным являет ся то, что этот результат справедлив при произвольных вариациях в величине а „(з). Введем в рассмотрение продолжительность активного участка Лг, = Т вЂ” г,а„. (9.2.4) В случае а „(ь) = сопза уравнение (9.2Л) позволяет получить формулы для определения этой величины. В однородном поле тя- готения ИЗМЕНЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ .г1 оответствепно Ч (Т) = ~Ч, — ׄ— 9Т~ = ~йЧ вЂ” РТ( = = ф~ Лроз 2(ЛЧ» 9) Т+ даТа (9 2ЛО) е ааЧо = Ч1 — Чоо — разность между векторами скорости в кон' е и в начале перелета.
9.2.2. Оптимизация времени перелета. Обычно в задачах, связанных с изменением вектора скорости, величина времени перелета Т не задается заранее и может быть выбрана оптимально. Рассмотрим эту задачу для случая однородного поля тяготения. Выражение для М, в этом случае с помощью формул (9.2.5) и (9.2.10) можно записать в виде пааааМ» = — ~~ Луа 2(аа»Ч» е) Т + з»Т ° (9.2 11) Величина Т а М, должна быть выбрана так, чтобы длина активного участка М, была минимальна. Рассмотрим сначала эту задачу при условии (ЛЧ„д) ~ О. (9.2Л2) В этом случае угол между векторами ЛЧа и я тупой и ускорение силы тяжести действует противоположно нужному изменению вектора скорости. При условии (9.2Л2) выражение в правой части равенства (9.2.11) является монотонно возрастающей функцией Т.
Отсюда следует, что минимальное значение М, достигается при Т=М,. (9.2ЛЗ) Таким образом, в рассматриваемом случае оптимальная траектория не содержит пассивного участка. О использованием последнего равенства уравнение (9.2Л1) может быть переписано ввиде п,ажЛГя = ЛЪ'о — 2(ЛЧ, 9) йга+ даЫа (9 2 14) Зто уравнение является уравнением для М,. Заметим прежде всего, что при условии (9.2.12) это уравнение имеет неотрицательное решение только при условии (9.2.15) а„„~ я. Это сразу видно из сопоставления между собой правой и левой частей уравнения (9.2.14). При а „~ я и условии (9.2.12) правая часть этого уравнения при всех неотрицательных значениях Пта больше, чем левая. Полученный результат следует из того, что при условии (9.2.12) действие силы тяжести являетсявредным и при а „( д оно не может быть преодолено с помощью 24» 372 зАдАчи ыАнеВРиРОВАния В тонких слоях !гл.
зх (9.2.16) В последнем случае получающаяся формула, очевидно, соответствует решению задачи в импульсной постановке. Результаты Зго Рас. 9.24. расчетов величины М„l — в зависимости от величины отара поах ношения а „,/К для различных значений угла о)о между векторами я и ЛЧо представлены на рис. 9.2.1. Из графиков, изображенных на этом рисунке, а также из формулы (9.2.17) следует, что управляющего ускорения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
