Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов (1976) (1246628), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Оно не зависит от закона управления и целиком определяется начальными условиями. Таким образом, задача построения оптимальной пространственной траектории всегда сводится к оптимизаггии ее проекции на плоскость Оху, параллельную плоскости управления. В тех случаях, когда при г = Т не задаются некоторые из компонент векторов г(г) и Ч(г), векторы Лг(Т) п ЛЧ(Т) оказываются определенными с точностью до ряда параметров, которые следует выбрать оптимально. Тогда указанная плоская вариационная задача оказывается задачей с параметрами, которые входят в правые части равенств (8.1.20). После того как она решена, эти параметры становятся известными и плоскость управления может быть построена так же, как и ранее.
8.3.3. Случаи существования прямой управления. Остановимся далее па случаях, когда задача об управлепия оптимальпып пространственным движением сводится к одиомерноп задаче. Прп одномерпом управлепии вектор управляющего ускорения а(г) при 0 ( 1 ( Т параллелен некотороку фиксированному в пространстве направлению — прямой управления Г; в процессе движения возможно липзь изменение ориентации вектора а(г) на противоположное. Из (8.1.20) видно, что при таких условиях векторы Лг(Т) н ЛЧ(Т) должны быть коллинеарнымп. Таким образом, прямая управления может существовать в одном из следузощих трех случаев: а) задан вектор Лг(Т), а вектор ЛЧ(Т) произволен; б) задап вектор ЛЧ(Т), а вектор Лг(Т) может быть любым; в) заданы оба вектора Лг(Т) и ЛЧ(Т), и оии коллинеарпы.
22" 349 Оптпмлльнок млнкВРпРОВлнпк В ТОнкпх слоях 1г11 11 ':. Рц! й 8.4. Оптимальное управление в плоскости управления 8.4!П. Исходные соотношения. Иак было показано в предыдущем параграфе, прп неколлинеарных векторах конечного промаха задача об оптимальном пространственном движении сводится к плоской задаче оптимизации проекции траектории на плоскость управления !л', которая параллельна векторам Лг и ЛЧ. Движение по нормали и этой плоскости происходит свободно, без воздействия управля!ощсго ускорения.
Поэтому варнационная задачаставится следующим образом. Необходимо так выбрать управляющее ускорение а(!), удовлетворяющее условиям а(!) ( и„„,„(!), (8.4.1) ~ К (Т, ~) а Д) 1)ч: Лг (Т, т,,..., т„), о т ~ Ь (Т, 5) а (К) дй .-- !лЧ(Т, т„..., т„), о (8 41.2) (8.4.8) Докажем, что во всех этих случаях, когда граничные условия определяют лишь одно фиксированное направление в пространст ве, вектоР а(!) пРи оптимальнол1 УпРавлении лежит на пРллюи управления 11, которая проходнт через движущуюся точку и па раллельна в случае а) вектору 1лг(Т), в случае б) вектору (лЧ(Т) и в слУчае в) обоим заданным вектоРам Ьг(Т) и ЛЧ(Т), Дл„ доказательства, так же как и ранее, рассмотрим годограф вектора т(!) (см. (8.3.1) ). Длина дуги 1 этого годографа должна быть Мигни!аЛЬна.
Рассуждениями, аналогичными проведенным выше нетрудно установить, что миплмальпое значение 1 достигается в случаях, когда годограф вектора ч(!) состоит из отрезков прямых, совпадающих с прямой 41, причем на отдельных участках прямой сл этй отрезки могут совпадать. В последнем случае конец вектора Р(!) проходит вдоль прямой управления сначала и одпом, а затем в протпвополоя1пом направлении.
При атом па. правление вектора а(!), совпадающее с прямой 11, изменяется па противоположное. Указанный тли годографа т(!), соответству1ощий оптимальному управлению, очевидно, доказывает искомос утверждение. После того как ориентация прямой управления определена, движение по направлению этой прямой устанавливается закошп! изменения величины и знака ускорения а(!), движение жо в направлениях, ортогопальных к прямой управления, происходит свободно, без воздействия управляющего ускорения. Таким образом, в рассматриваемых случаях исходная пространственная;и- дача сводится к одномерной. 8 зл! Оптимлльное упРАВление В плоскости упРАВления чтобы был минимален интеграл 1 =- ~ а(с) г)с, о (8.4.4) Все входящие в этп условия векторы располагаготся в плоскости управления Ог п соответственно являготся двумерными векторамп. Через гзг и ггЧ обозначены певязкп в граничных условиях соответственно по радиусу-вектору и вектору скорости, которые получаются, если движение при 0 < Г < Т происходит без воздействия управляющего ускорения.
Через тп ..., т„в равепствах (8.4.2), (8.4.3) обозначены свободные параметры, характеризующие возможный произвол в задании началаи конца перелета. При наличии такого произвола возникает задача об оптимальном определении этих параметров. Бремя перелета Т может быть либо задано, либо выбрано оптимальпо. Через а„„,„(г) обозпачена известпая функция времени. Приведем эту плоскую варнациоппую задачу и виду, удобпому для применения принципа максимума Л.
С. Понтрягина (см. начало раздела 1.2.2 н Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелпдзе, Е. Ф. Мищенко 11) ) . Введем двумерные векторы гг и 8, скалярную перелгеннуго р н зададим для пх опроделепил следующую систему уравнении: — = К(7', 2)а „(2) и Д),1 — =- 1 (Т, $) а,„,, (с) и (с), ~ ! (8.4.5) Здесь и(";) — новый управлягощпй вектор: и ($) =- ', ) и (2) ) ( 1. так (8.4.6) Пусть при з = О векторы а = 8 = 0 и р = О, а прп с = Т сг(Т) = Кг(Т, ть..., т„), (1(Т) = КЧ(Т, ть ..., т„). (8.4,7) Сопоставляя равенство (8.4.4) с последним из уравнений (8.4.5), находим р(Т) = 1. Следовательно, исходная задача эквивалентна задаче вьгбора вектора п(г), входящего в уравнения (8.4.5), обеспечивающего выполнение условий (8.4.7) и минимизирующего конечное значение р. Последняя задача является стапдартпой для принципа максимума Л. С.
Понтрягина. Введем двумерные векторы сопряженных переменных р~ н рг, соответствующие векторам сг и р, и переменную р,, сопряженную 342 Онтимляьнок МАНвВРИРОВАННЕ В ТОНКИХ СЛОЯХ ~ГЛ, унз с р. Тогда гамильтониан Н для (8.4.5) можно записать в виде Н= а „Д) ([К(Т, $) р„+Т(Т, 1)рз1а+ р,и). (8.4.8) Так как Н не зависит от я, р и р, то сопряженные переменные р„, рз и р, постоянны, причем из условия минимума р(Т) следует р, = — 1 (см. В. П. Апоров [1), Л. С. Понтрягин, В.
Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко [1)). Тогда из условия максимума функции Н получается следующий закон оптимального управления: а(1) [1 при ) Ь(Т, $))) 1, х ~4~ [О при ) Ь (Т, Е) ) (1, где Ь(Т, с) =-К(Т, ь)Р,„+ Т.(Т, Е)Рю 1(Т, ь) =-,,' - . (8 4,10) Характер оптимального управления определяется поведением функций влияпия К(Т, $) и Т(Т, $). В $8.1 установлено, что при движении в тонком сферическом слое центрального поля тяготения функции влияния приближенно определяются формуламп К(Т, $) — з1п(Т вЂ” ~), Т(Т, $) — соз (Т вЂ” $). (8.4.11) Напомним, что в этих формулах в качестве единицы времепп взята 1/(2я)-я доля периода обращения спутника по круговой орбите, расположенной в середине слоя.
Как об этом уже говорилось ранее, анализ будем проводить в предположении Т « л/2. Основываясь па формулах (8.4.11), установим возможные типы оптимального управления величиной тяги. Выражение для )Ь(Т, е) ~ с учетом (8.4.11) можно записать в виде ~ Ь (Т, $) ~ = — 'г А, + А, соз 2(Т вЂ” $) + А, з1п 2 (Т вЂ” 5), (8.4.12) где Ао, А, и А, — константы. Функция 1Ь(Т, ~) ( имеет не более одного экстремума при 0 ~ г ( Т ( и!2. Поэтому при Т < я/2 возможны два режима оптимального управления величиной тяги: режим с одним активным участком, который принадлежит отрезку [О„Т~), и режим с двумя активными участками, примыкающими к концам отрезка [О, Т~). 8.4.2. Уравнения для определения произвольных постоянных.
Получим уравнения для определения векторов р„н рз и свободных параметров тп..., т и Т. Для вывода уравнений относительно векторов р и рз оптимальные зависимости (8.4.9) необходимо подставить в соотношения (8.4.2), (8.4.3). При этом (Кр,„+ Ера) =~/Кзр,,+ Азра+2КТ(р,„, ра) (8.4.13) а зл1 ОптимАльное упРАВление В пчоскости упРАВления 343 и получающиеся уравнения записываем в форме ( ра+ Рз)«4 )кр„+ьр ~ 0 ьа (кра + ьр „) кз ~кр,+ьр,,) ==. ЛЧ, а (8.4.14) где (а,„Д) пря / Кра -,,'— ! Рз ) ) 1 10 прн / Кра+ 7рз!(1, (8.4.15) Система (8.4.14) зквивалентпа четырем скалярным уравнениям. Однако из пее можно выделить независимую систему из трех уравнений.
Обозначим т Кза дц 7кк (Р ' Ра) = ~ ~ др -',- ьр„~ ' 1 3 7! ь(Р'.' Рз) ( (А р ) ьр ь-а к4 ~ .(р' ра — ( )н„, „,,) ! О (8.4.16) Тогда уравнения (8.4.14) записываются так: 7к,ра+7аьрз= Лг, !кар +1 Рз = ЛЧ, (8.4.17) Возводя каждое пз равенств (8.4.17) в квадрат, а затеи умножая пх скалярпо одно на другое, получим з г, з 1йкр + 7~ ьра+ 27кк7кь(р ра) = Лг' 7~~ьр + 7ььрв + 27кь7ьь(Р.- РЗ) !кк! зьр„+ !кь!Вьра+ (7кк7ьь+ 7кь)(ра.
Ра)— = (Лг, ЛЧ). (8 4.18) Система (8.4.18) является искомой системой из трех уравнений для трех неизвестных Р, рз и (р, рз). После того, как они определены, интегралы (8.4.16) также известны, и, разрешая систему (8.4.17), выражения для Р„н Рз можно записать в виде ! Дг — ь,.ьау ! .ау — ьк Аг Ра = з РЕ = ' з . (8.4.19) ьккььь ькь 7ккььь 7кь З44 оптпмхльггов оглнввгтгговлнив в тонких с~оих ~гл тц, (8.4.21) ~Р эт )+(Рю эт ) =(Рз — 1)а(Т)+ т + ~ (эт Р + т Рз) за)~' (8'4'22) о Первое нз этих равенств является следствием произвола ввыборе т„ а второе является условием для выбора Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
